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本课件讲解边界层理论，先说明边界层的形成与厚度定义，再建立不可压层流边界层微分方程与卡门动量积分方程，随后给出平板层流、紊流与混合边界层的近似计算方法，最后分析边界层分离现象与减小绕流阻力的措施。
第八章边界层理论边界层的基本概念实际流体和理想流体的本质区别就是前者具有粘性。对层流而言，单位dy面积摩擦力的大小du，可以看出，对于确定的流体的等温流场，摩擦力的大小与速度梯度有关，其比例函数即动力粘度。速度梯度du大，粘性力也dy大，此时的流场称为粘性流场。若速度梯度du很小，则粘性力可以忽略，称dy为非粘性流场。对于非粘性流场，则可按理想流体来处理。则N-S方程可由欧拉方程代替，从而使问题大为简化。
惯性力mdul3Vl2V2dtt粘性力duAvVl2vVldyl当空气、蒸汽，水等小粘度的流体与其它物体作高速相对运动时，一般雷诺数很大。由Re惯性力Vl，则在这些流动中，惯性力>>粘性力，所1粘性力v以可略去粘性力。但在紧靠物体壁面存在一流体薄层，粘性力却与惯性力为同一数量级。所以，在这一薄层中，两者均不能略去。这一薄层就叫边界层，或叫速度边界层，由普朗特在1904年发现。
y层外，u0，粘性忽略，无旋流动。层内，粘性流，主要速度降在此，有旋流动。c．由边界层外边界上u99%V，来定义，为边界层厚度。d．按流动状态，边界层又分为层流边界层和紊流边界层。由于在边界层内，流体在物体表面法线方向(即u)速度梯度很大，所以，y边界层内的流体具有相当大的旋涡强度；而在层外，由于速度梯度很小。所以，即使对于粘度很大的流体，粘性力也很小，故可忽略不计，所以可认为，外部区域边界层图8-2空气沿平板边界层速度分布a.流体流过固体壁面，紧贴壁面处速度从零迅速增至主流速度，这一流体薄层，就叫边界层或速度边界层。
b.整个流场分为两部分2
边界层的基本概念（边界层外）
vVx，x流的雷诺数为：Re其中：x—为所测点与物体前缘点的距离。V—为边界层外边界上的速度V(x)。对平板面言，层流转变为紊流的临界Re为：Rex临510~310，Re(来流紊流度，物体壁面粗糙度)56x临界Rex临与边界层外势流的紊流度以及物体壁面的粗糙度有关。实验证明，若使层外Re，或增加壁面粗糙度Rex临(相当于增加扰动)，提前使边界层内的流动由层流转变为紊流。
工程上还常常遇到一种管流边界层。如图所示。流体从大容器流入管道，管道入口呈圆角，则在进口断面上处流速分布均匀。由于粘性，流体在近壁处形成边界层，且边界层厚度沿流动方向增大。根据流体流动的连续性，边界层内流速的减小，必将使中心部分流速增大，因此，沿流动方向的各断面上速度分布不断改变。直至在离进口距离为L的c-c断面上，边界层基本上扩展至管轴，此时断面中心最大流速已等于完全扩展段的最大流速的0.98-0.99，则认为该断面上流动基本上已完全扩展。
从进口a-a至c-c断面的距离L称为管道的起始段长度，c-c断面以后则为充分发展的管流。当起始段边界层为层流时，起始段长度L较大，约为L/d=0.058Re。起始段除了摩擦损失之外，还有流体动能变化而导致的附加损失（从进口处的V2/2逐渐增大至V2）。若设附加损失为kV2/2，则起始段内的总压强损失pl为24VLV2plpapc32d2k理论分析和实验研究的结果表明：k=1.16~1.33若加大管道入口流速，使边界层由层流转变为紊流，由于紊流流体质点的脉动混杂，边界层比层流增长得快，因此起始段比层流时要小，约为L/d=30。
实际在距进口12d，边界层已扩展至接近管轴，之后边界层的继续扩展就很
缓慢，在距进口12d，以后，沿程阻力系数已与充分扩展时相同，这就是说，紊流起始段很短，影响也小，一般情况下可以忽略不计，但在工程测量及管道阻力实验时，需避开起始段的影响。5
不可压层流边界层方程边界层特性的确定，关系到流动阻力、能量损失、传热传质等重要的工程实际问题。德国人普朗特和匈牙利人冯·卡门(普朗特的学生)在这方面作出了巨大贡献。他们除了提出边界层的概念以外，还推导了边界层的解析计算法和动量计算法。前者算为边界层的微分方程式，后者称为边界层的积分方程式。下面，我们首先讨论边界层的微分方程式。由于在边界层以外，u很小，可认为是无旋运动，则可利用理想流体的y势流理论进行处理。
所以，对流体的流动阻力，我们可近似地认为全部发生在边界层以内。(这就是研究边界层内的流动的意义之一)xy并且边界层内，由u≥υ，故认为或由连续方程u0，u~1，υ~△，(x)V6xx图8-5不可压平板层流边界层前提：在边界层以内，取值范围：0≤x≤l，0≤y≤l，由于x≥y，我们认为x的数量级是1，y的数量级是△，并且认为：△比1低一个数量级。所谓低一个数量级，一般可以这样认为，两个量之比，其中一个量可忽略时，则认为这个量比另一个量小一数量级。
即：x~1，y~△
不可压层流边界层方程（续）
不可压层流边界层方程（续）
适用。此时，x轴沿壁面方向，y轴沿壁面法线方向。边界层微分方程式是边界层计算的基本方程式。显然，此方程比一般的N-S方程要简单，但是，由于它的非线性(例如uuu，就并非一次函数)，9xy即使对于外形最简单的物体，求解也是十分困难的。目前，只能对最简单的平板绕流层流边界层进行计算，对复杂物体的绕流以及紊流边界层还不能用微分方程求解。为此，下一节讨论边界层问题的近似解法，即边界层动量积分关系式。
边界层动量积分方程一、边界层动量积分方程由卡门在1921年提出。推导前提：二元定常，忽略质量力，且u>>υ(由边界层微分方程的数量级比较可看出)，所以只考虑x方向的动量变化，不引入y方向的流速υ。取控制体如图所示，沿边界层取一块面积ABDC，AB、CD为两通直线，且垂直壁面的两者相距dx，BD为壁面，并且也为x轴。AC为边界层的外边界线(并非流线)。垂直纸面(黑板面)方向的尺寸为1，则单位时间内：AB面流进的流体质量mAB0u1dy；
02AB动量Kudydxx0udy；0CDudyCD面流出的流体质量m(x)wpxxppdxdxdxxACdBDx2ppdxx图8-6边界层微元控制体10ydyy
x002udydx2CD同理动量Kudy对定常流，由质量守恒：流进控制面的流体质量=流出控制面的流体质量又因边界层外边界线AC与流线并不平行，故AC面有质量流进。则AC面流进的流体质量，由mAB+mAC=mCDACCDABx0mmm(udy)dx动量=质量流量×速度ACex0KU(udy)dx其中Ue为边界层外边界上的速度。则单位时间内通过控制面的x方向的动量变化为：出口动量—入口动量x0e0xKCDKABKACudydxu2dyU而控制体在x方向的受力为：AB面：FAB=p·δ·1dxCDCD面：Fpd(p)dxAC面：FACx2dxppdxddxBD面：FBDwdx1负号是因为受力与x轴方向相反则x方向外力之和为：11xx2dxwFpppdxdpd(px)dxdx
wwx2dxdxdxppdxddpdpdxdxdpdxdx其中略去了二阶微量。那么，由动量定理，得到：定常运动条件下边界层的动量积分关系式。0wxudypex0u2dyUxy由于在边界层内，p0，∴，p=p(x)，且=(x)，所以，上述偏导数可改写成：0w0udydpeu2dyUddxdxddx上式即为边界层的动量积分关系式。由于在推导过程中，未知对w作任何本质的假设，所以上式适用于层、紊流。
对不可压流体，上式的未知数有三个，即u，w，，所以一个方程要解三个未知数，那么还要补充两个方程。二、边界层的位移厚度和动量损失厚度动量积分关系式0w0eu2dyUddxdxudydp，ddx212e先改写动量积分关系式，由势流伯努到方程：pUconstdxdx12dUe，e则dpU再由于0dy，
e0Udydx0dVdxdx则dpdUedy再对左边第二项做了变换，由乘积求导公式：dxdxdxdxdxdxed()dddd()d，令U=，00ee0UudyudyudyU000udyeeUudyudyde则UddUdxdxdx按上述变换代入，且左边第一项以及或边的w得：00w0ee0eeUdyudydxdxuUdydxu2dydddUdUdxweeedudy00UdUdyUuudxdx下面分析式中两次积分的物理意义：第一项积分：0Uedy0udy00eeUudy1Uudy表示速度为V的理想流体，流经高度为，垂直纸面尺寸为1的截面的流量与以实际流速u流过同样截面的流量之差。
图示如下：yUe-u1xV图8-7边界层位移厚度13
而曲边三角形的面积总可用一个矩形面积来代替，令0e1eUudyU00eee1Uudy1dyUu1U1就称为位移厚度。比较同一平板表面的粘性流和理想势流流动，由于粘性流体边界层内的流动受阻，在无穷远处来流中每一条确定的流线在理想势流流场中的位置被向外排挤了一段距离。方程第三项积分的物理意义为：00eeuUudyuUudy0e显然uUudy表示了因粘性影响而产生的流体动量的减少量。
0e22eUudy令1Uu140ee02e1dyUUuuuUeudy1U22称为动量损失厚度，它的物理意义为：当理想流体流过平板时，某一断面处通过的质量流量为0Uedy；若是粘性流体通过该断面，其质量流量为00eudy，因此在同一断面损失的理想流体的质量为Uudy，损失的动量为0eUu2udy，把这部分动量损失折算为厚度，的理想势流所具有的动量，边界层内的流体动量损失，其数值相当于平板表面上的厚度为2的一层理想流体的动量。
212pVconstdx2dx两边对x求导，则：dp12VdV0dxdp0y即：p=常数，即边界层外边界上压力为常数。而边界层内，p0。所(x)平板层流边界层的近似计算作为应用边界层的积分关系式来决实际问题的例子，下面我们来研究不可压粘性流体定常流流经平板的问题。如图所示：V(x)外部速度Vx边界层15边界层l图8-8平板层流边界层设x轴沿着平板，y轴为平板法线方向。
坐标原点在平板前缘点上，来流的V沿x轴，板长为l。假定来流V流经平板时，平板上下两层形成层流边界层，如图所示。现在要求的是边界的厚度的变化规律和摩擦阻力FD。由于顺来流方向放置的平板很薄，可以认为不引起流动的改变。所以，在边界层外边界上，Vx·V，由势流的伯努利方程：
平板层流边界层的近似计算（续）
平板层流边界层的近似计算（续）
21xvxV5.84vVxx5.84xRe，Re21x它的精确解为5xRe，并且的表达式为的三次方时，得出的解比四次方精确。其系数为4.64。因此，不能认为选择速度分布时，多项式数越多越好。由上式可看出：x—>；V—>。将表达式，代入(c)式，得切向应力：221wx0.365VRe从上式可以看出：沿平板长度方向(x方向)，w越来越小，这是因随x，速度边界层越来越厚，边界层内速度变化渐趋缓和之故。
总摩擦阻力为：h0212DwLbdx0.73blVReF其中b为板宽，且FD为平板一面的摩擦阻力，一块板两面的摩擦阻力为2FD。摩擦阻力系数为：218f12LVblF1CD1.46Re2。其中Cf为无量纲数
平板紊流边界层近似计算
10.383()5xCVx确定积分常数C，x=0，=0，得C=0，得：10.383xRex5代入(c)得：521wx0.0297VRe则平板一个壁面上的总摩擦阻力LL0512wDbdx0.0371bLVReF摩擦阻力系数为：2f12LVbLFCD0.074Re51根据实验测量：Cf的系数比较精确的数值是0.074，则：1Cf0.074ReL5上式仅适用于5×105≤Re≤107L当Re>107时，速度分布的1/7次规律与实际出入较大，此时层内速度L分布相当于对数规律式，则：2.5820lgRef0.455LC表8-1给出了平板层流边界层和紊流边界层的近似计算公式。
从表中可看出，平板层流边界层和紊流边界层的重大差别有：1)紊流边界层沿平板壁面法向截面上的速度比层流边界层的速度增加得快，也即使说紊流边界层的速度分布曲线比层流边界层的速度分布曲线要
饱满得多，这与圆管的情况相似；2)沿平板壁面紊流边界层的厚度比层流边界层的厚度增长得快，因为紊41流的与x5成比例，而层流的则与x2成比例，在紊流边界层内流体微团发生横向运动，容易促使厚度迅速增长；3)在其他条件相同的情况下，沿平板壁面上紊流边界层的切向应力沿着壁面的减小要比层流边界层的减小慢些；4)在同一ReL下，紊流边界层的摩擦阻力比层流边界层的大得多，这是因为层流中的摩擦阻力只是由不同流层之间发生相对运动而引起的，紊流中还有流体微团的很剧烈的横向掺混，因而产生更大的摩擦阻力。
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平板混合边界层近似计算为了求平板混合边界层的摩擦阻力，作出下面两个假设：1)在A点由层流边界层突然转变为紊流边界层，即在某一截面上突然发生转变。2)在计算紊流边界层的厚度变化(即)，层内速度和切应力的分布时都认为是从前缘点O开始的(否则前面的有关公式则不能用)。222crbLLxCCCbx2CbxCbLCfTfLfTcrcrfLfTfTV2V2V2V2图8-9平板混合边界层由以上两个假定，则平板混合边界层的总摩擦阻力：FDMOBFDTABFDLOA其中：FDM——代表混合边界层总摩擦力；
平板混合边界层近似计算（续）
边界层的分离现象前面几节讲座的是绕平板流动的边界层问题，这类问题比较简单，这是因为整个流场包括边界层内压力保持不变。但是当粘性流体流经曲面物体时，边界层外边界上沿曲面方向的流体速度V是改变的，即dV0，dp0，所以，曲面边界层内的压力也将发生变dxdx化。图8-10边界层分离示意图(a)流线型物体(b)非流线形物体24
dx下面我们就来分析由于压力的变化，即dp0对边界层内流动的影响，y进一步说明流动离开物体而分离的原因。并且，由于层内p0，故dpdp。dxdx那么，什么叫边界层分离呢？指边界层从某个位置开始脱离物面，此时物面附近出现回流现象，这样的现象又称作边界层脱体现象。流体绕流机翼，无穷远处来流速度为V，压力为p。下面我们只研究上dx半表面并把它放大，如图所示，沿上表面流体先加速，即dV0，到最小截面M处，流速最大为Vmax，反之，压力沿x下降，即dp0，到最小截面处dx压力最小为pmin。
图中实线处表示流线，虚线表示边界层的外边界。过了M点以后，由于截面扩大，流体减速，即dV0，压力上升，即dp0，于是，dxdx到某一截面，S点以后，发生边界层分离。下面我们进一步分析分离现象的物理过程，我们知道粘性力，即摩擦力Vpxp(x)图8-11曲面边界层分离形成示意图25
对流体的流动起阻碍作用，即损耗动能，减低流速，而越靠近物体壁面(因dudy越大)受粘性力的阻滞作用越大，那么动能损耗越大，减速越快。而在曲面降压加速段中，由于流体的部分压能转变为流体的动能，由于，所以，虽然粘dx性力阻碍流体运动，但由于dp0，推动流体前进，对摩擦力起着抵消作用。所以，流体仍能前进。但在曲面减速升压段中，于前述恰恰相反，一方面流体的动能部分地能转变为压能(由于做减速运动)，即dp0，另一方面，粘性力的阻碍作用又dx继续损耗功能，即压力的沿流程上升和摩擦阻力一起同时流动起阻碍作用。
从而使流速降低，边界层增厚。当流体流到曲面的某一点S时，这时，靠近壁面的流体微团动能已全部损耗。所以，这部分流体微团便停滞不前，速度为零，并且阻碍了后面流体微团的前进，后面的流体微团只能绕道前进，与此同时，由于dp0，即压力继续升高，迫使下部分流体微团向反方向逆流，26dx并迅速向外扩张，于是，后面的来流由于受这部分流体的阻碍，则被迫离开物体壁面。这样，便形成了边界层分离。
并且，S点为曲面上流体的流动方向发生改变的点，称为分离点。ST线上一系列流体微团速度均等于零。线以上流体正向流动，线以下流体反向流动(即倒流)，由于间断面(注意当数学上意义不一样)的不稳定性，所以，很小扰动就会引起ST线的波动，形成旋涡，被主流带走，并在物体的后面开成尾涡区。边界层分离的结果是在流场中形成旋涡区，由于旋涡运动损耗大量功能(变成热量耗散)，因而边界层分离现象应尽量避免。
并且，从上述分析可看
边界层的分离现象（续）
边界层的分离现象（续）
曲线由凹到凸，说明速度分布曲线在0≤y≤的周围内存在拐点。速度到面沿流程的变化趋势为，即速度到面越来越瘦。于是在某一点x=xs处，xxsyy0uy0y0，而在x=xs左侧，u0，流体沿流动方向流动；在x=xs右侧，y0uy0，流体微团停止前进，xxsyy00，流体反方向流动；则x=xs处，u而是在(y=0+△y)流体发生分离。而x>xs处，二阶导数y20为凹，到y02u2uy2ysy22u0为凸，中间必然存在一个拐点，0，并且速度由正方向到反方向中间必有速度为0的点，此点的速度等于0。
结论：边界层分离只可能发生在压力沿流程升高的区域，即p0，逆x压梯度的情况下(但不是充分条件)。并且，分离点后的区域不再保持边界层特性。x继续增加雷诺数，即使柱体的后半部分的p0，继续增加那么分离点S就一直前移。ST线上流体正方向流动ST线下流体反方向流动形成旋涡，消耗能量29
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