03 第3章 流体运动学基础.docx

第1页：流体运动学基础

流体运动学基础

• 基本概念场－设在空间的某个区域内定义了标量函数或矢量函数，则称定义了相应函数的空间区域为场。如果研究的是标量函数则称此场为标量场；如果研究的是矢量函数，则称之为矢量场；如果同一时刻场内各点函数的值都相等，则称此场为均匀场，反之为不均匀场，如果场内函数不依于时间，即不随时间改变，则称此场为定常场，反之称为不定常场。场的分类如下：密度场压力场标量场力场速度场矢量场流场―充满运动流体的场称为流场。
• 研究流体运动的欧拉法欧拉法―欧拉法是通过下列两个方面来描述整个流场情况的：1在空间固定点上流体的各种物理量（如速度、压力）随时间的变化。2在相邻的空间点上这些物理量的变化
• 速度表示法欧拉法是以流场中每一空间位置作为描述对象，描述在这些位置上流体的物理参数随时间的变化。显然，同一时刻，流体内部各空间点上流体质点的速度可r以是不同的，即V是（x,y,z）的函数。同一空间点上，不同时刻，流体质点的r速度也是不同的。即V又是t的函数。另一方面x,y,z又可以看作是流体质点的坐标，而流体质点的坐标又是时间的函数。因此：x=x (t)y=y (t)z=z (t)

第2页：研究流体流动的方法（续）

uu(x,y,z,t)(x,y,z,t)ww(x,y,z,t)__故：V=V(x,y,z,t)同理：pp(x,y,z,t)(x,y,z,t)2、流体质点的加速度dt流体质点的加速度为：a_dV则：dttxtytzttxyzduuuxuyuzuuuuwuaxayazduwdttxyzdwwuwwwwdttxyz用矢量表示为：__(V)Vdtta_dVVixjyky__其中_为哈密顿算式。

对于密度有：d_(V)dttuwtxyz显然dtdtd对可压缩流体0对不可压流体d0

第3页：研究流体运动的拉格郎日法拉格郎日

三、研究流体运动的拉格郎日法拉格郎日法—着眼于个别流体质点运动的研究（既跟踪流体质点），研究流体内个别流体质点在不同时间，其位置、流速、压力的变化，综合所有流体质点的运动，即可得到整个流场的运动规律（在研究流体的波动与震动时用到）。令流体质点的矢径为r_r_(a,b,c,t)，其中a、b、c代表初始时刻（t=t0时）流体质点的坐标。显然，不同的a、b、c代表不同的流体流点，则在直角坐标系中，流体质点的坐标为：x=x(a、b、c、t)y=y(a、b、c、t)z=z(a、b、c、t)a、b、c、t又称为拉格朗日变数。

若固定a、b、c而令t变，得某一流体质点的运动规律；若固定t，令a、b、c变，则得到某一时刻，不同流体质点的位置分布函数。注意，r_的定义域不是场，因它不是空间坐标x、y、z的函数，而是质点标号a、b、c的函数。

第4页：系统与控制体

系统与控制体

• 系统系统的特点：
• 从流体中取出的一定质量的流体；
• 与周围流体无质量交换（即运动过程始终包含这些确定的流体质点）dm0；dt
• 系统的体积和形状可以随时间改变，例如研究某一班同学。
• 在系统的边界上可以有能量交换。
• 控制体控制体的特点：
• 从该场中取出某一固定的空间区域，该体积称为控制体，其表面为控制面。
• 控制体的形状可根据研究的需要任意选定，但一旦选定以后，其形状位置均不变。（例如研究某教室）
• 在控制面上可以存在质量及能量交换。
• 欧拉法中物理量对时间的全导数设N为t瞬时，系统内流体具有的某种物理量；η表示单位质量流体具有的这种物理量。在流场中任选一控制体（实线）II在t瞬时，系统与所选的控制体相重合，系统所占的空间体积为II。在这里用v代表体积，V代表速度。系统IIIIIIIxzt+t瞬时，由于系统内流体的流动，系统所占的空间体积为III＋II’，则t时间间隔内，系统内某种物理量η的增量为：yo

第5页：系统与控制体（续）

△NNtttNt(IIdvIIIdv)ttt(IIdv)t式中dv为微元体积，上式右边加上并减去(Id)ttt，用t通除再取极限得：tNttNttlimlimt0t0(Ⅲdv)ttt(Ⅰdv)ttttt(ⅡdvⅠdv)ttt(Ⅱdv)t(a)对（a）式左端取极限为：tdtlimNtttNtdNt(b)上式称为系统导数或系统内某种物理量对时间的变化率。下面分析（a）右端各项的物理意义。

其中（a）式右端第一项的物理意义，对（a）式右端第一项取极限为：t(IIdId)ttt(IId)tt0limt(IId)ttt(IId)tt0limdIItcvd(c)t（c）式表示控制体内流体所具有的某种物理量对时间的变化率。IId这一项既是时间的函数，又是所取积分体积的函数，所以用偏导数。并且cv=Ⅱ，而cv表示对控制体的积分。（a）式右端第二项的物理意义Ⅲd是δt时间内从控制体Ⅱ流出的流体质量，Ⅲd是δt时间内从t(Ⅲd)ttt控制体Ⅱ流出的流体所具有的某种物理量。

则表示单位时间内从控制体Ⅱ流出的某种物理量的平均值。dAVα

第6页：系统与控制体（续）

_如上图，在面积A2上取微元面积dA，其上流速为V，单位时间从微元面积______上流出的流体质量为VdA，单位时间从微元面积上流出的流体所具有的某种物理量为VdA，则单位时间为从A2流出的物理量应是VdA。A2而limt0t(dv)ttt__VdAA2Ⅲ（a）右端第三项的物理意义：(Ⅰdv)ttt表示δt时间间隔内流进控制体的流体具有的某种物理量。同理，单位时间内从A1流进的这种物理量应是：t(dv)ttt__VdAAlimt0Ⅰt(Ⅰdv)tttAAt(IIIdv)tttt0VdAVdAlim21__________而：VdAVdAcsVdA(d)(Ⅲdv)ttttt0t(Ⅰdv)tttlimA2A1其中A1+A2=CS（控制面），对(1)取极限，将(b)、(c)、(d)代入(a)则；

limNtttNtt0(ⅡdvⅠdv)ttt(Ⅱdv)tdtdNtcvcs__dvVdA(e)dAα_V__“－”号是因为在流入条件下，VdA或（cosα）为负值。其中dA表示控制面的微元面积矢量，dAdAn_，n为dＡ的法向单位矢量，垂直于控制面，规定向外为“＋”。经过整个控制面的某种物理量的通量为：

第7页：系统与控制体（续）

或dNcvdttcsndvVdA(f)式中：Vn―为控制面法线方向的分速度。式(e)表明：控制体内部Ｎ对时间的变化率＝控制体内Ｎ对时间的变化率＋单位时间经过控制面的Ｎ的净通量对定常流动tcvdv0则：dtdNcsnVdA(g)即在定常流动的条件下，整个系统内部的流体所具有的某种物理量的变化只与通过控制面的流动有关。

第8页：流体流动的几个基本概念

流体流动的几个基本概念

• 迹线、流线
• 迹线―某一流体质点在一段时间内运动的轨迹。对应拉格朗日方法。
• 流线―流线是这样一条空间曲线，在某一瞬时，此曲线上每一点的速度矢量总是在该点与此曲线相切。下面推导流线微分方程：_设流线上某点Ｍ（x、y、z）处的速度为V，在坐标轴上的投影为u、、w，而ds为过Ｍ点的微元流线段，在三个坐标轴的分量为dx、dy、dz。根据流线定义。_V与ds相切

第9页：流体流动的几个基本概念（续）

流体流动的几个基本概念（续）

• 流管、流束、流量流管―在流场内任取一不是流线的封闭周线（曲线），通过封闭曲线上各点的流线所构成的管状表面称为流管。流束―流管中的流线族称为流束。总流―当流体在管道中流动时，把整个管子（或渠道）中的流体看总的流束，又称为总流。根据流线定义，因流动速度总是与流线相切，垂直于流线的速度分量必定为零，所以：
• 流体不能穿过流管流进流出，否则流线相交，即流管与真实管道相似。

第10页：流体流动的几个基本概念（续）

流体流动的几个基本概念（续）

• 对定常流动，流管就象形状不变的钢管（真实管道）。
• 截面无限小的流管称为微元流管。对微元流管，可认为截面上各点速度大小相同，方向均与截面垂直，极限为流线。
• 对断面有限大小的流管，其截面上各点速度不一定相同，且所有流线并不均与截面垂直。有效截面―若截面与流束中每一流线都正交，此截面称为有效截面。对不同的截面，有效截面可以如图选取。质量流量kg/s流量―单位时间通过有效截面的流体量称为流量重量流量N/s计算流过任意曲面的流量时，由于速度并不与截面相垂直，所以，必须将速体积流量m3/s度在面积的流线方向投影，然后对面积积分。体积流量为：QAVcos(V-n)dA--上式中VV，dAdA，n为截面法线。在工程计算中，为简化问题，一般取平均流速VQA其中：Ｑ―体积流量；Ａ―有效截面积

第11页：层流与紊流现象

层流与紊流现象一、雷诺实验1883年(即100年前)英国物理学家雷诺，通过实验发现了流体流动的两种流动。雷诺实验装置如下图：通过阀门3来调节管2中水的流速。其中4为装有墨水的瓶，通过细管5源源流入玻璃管2中1当管2中V较小时，可看到水流中有一条细小的红线，且不与周围水流相混，如图(a)所示，在此情况下，流体成层状运动，这种流动称为层流或片流。2开大阀门，当管2中V增大时，如图(b)所示，着色流束振荡（即抖动），流动处于不稳定状态。

3)继续开大阀门，如图（c），当管2中V很大时，振荡破裂，着色流束迅速与周围流体相混，这意味着流体质点作复杂的无规则运动，发生大量流体质点的横向交换，这种流动称为紊流或湍流。但我们在这里看到的仅仅是现象，关于紊流到底是怎样形成的，以及紊流的物理本质直到现在还没完全研究清楚。并且紊流理论到目前为止，还未达到成熟阶段。上临界速度―由层流过渡到紊流的速度的极限值称为上临界速度，以Vc’表示。

下临界速度

把上述实验反方向进行，逐渐降低流速，由紊流转变为层流的速度称为下临界速度，以Vc表示。实验证明：Vc’<Vc即下临界速度＜上临界速度。当Vc<V<Vc’时，可能abc

第12页：层流与紊流现象（续）

是层流，也可能是紊流，具体的流动状态与实验的起始状态、有无扰动等因素有关。二、雷诺数由实验发现，判别流态仅靠临界速度是很不方便的。因为V临界＝f(μ, ρ,l)，所以，随μ,ρ，l变化，V临界也在变化。并且V临界本身也不易测量。所以，雷诺根据大量实验，得出了一个判别流态的无因次准则，称为雷诺准则（或雷诺数），用Re表示。ReVlVl其中，称为运动粘性系数，或运动粘度，单位为米２／秒读音[nju:]式中：l―为流体通道的特征尺寸（又叫定性尺寸）。

对圆管l=d则：ReVd临界雷诺数为：V临界d临界Re雷诺实验的结果指出：不论什么流体，以及管径如何变化，有：Re上临界13800Re2320下临界改善实验条件，Re上临界可继续提高，现在已经达到的最高临界雷诺数是50000。当ReRe下临界时为层流，ReRe上临界时为紊流，Re下临界<Re<Re上临界时，流动不稳定，可能是层流，也可能是紊流。若小心实验，可以保持层流，但稍有扰动，即转变成紊流。

因此，Re上临界在工程上没有实用意义。工程上对圆管的阻力计算，一般取临界雷诺数为：Re临界＝2000并且认为ReRe下临界层流下临界ReRe紊流

第13页：流体微团运动的分析、有旋流动和无旋流动

流体微团运动的分析、有旋流动和无旋流动我们知道，刚体运动一般可分为两部分转动移动，流体由于它具有流动性，极z设t瞬时，有一边长为dx、dy、dz的平行六面体的流体微团。在它形心处，沿三个坐标轴的速度分量为u，υ，w八个顶点处速度分量由泰勤级数展开，并略去高于一阶的无穷小量。图上只标明了x方向的速度分量。我们写出A点沿三个坐标轴的速度分量为：22wwdxwdywdzuudxudyudzdxdydzx2y2zx2y2zx2y2z2AAAwu为简化讨论，先分析流体微团的平面运动，如下图所示：角变形线变形变形运动易变形，所以流体微团的运动一般分为三部分：移动转动yυwρdzdxxAudyx2y2z2uudxudyudzAuAx2y2z2下面进行运动分析，如图所示：dxdydz

第14页：流体微团运动的分析、有旋流动和无旋流动

流体微团运动的分析、有旋流动和无旋流动

• 线变形运动如果仅考虑A与D，B与C，在x轴方向有相同的速度差，即：x22udxADBCuuuuydxdyBACDx2y2dxdy(x,y)udxudyx2y2uudxudyx2y2udxudyuux2y2udxudyx2y2dxdyx2y2dxdyx2y2dxdyuυBDCAdtux2y2x由于流体微团各点的速度不同，在dt时间间隔中，经过移动、转动，线变形和角变形运动，微团的位置和形状都发生了变化。下面进行详细分析：
• 移动yudtxO

第15页：流体微团运动的分析、有旋流动和无旋流动

同理，A与B，D与C在y轴方向有相同的速度差，即：y2ABDc2dy那么，经过t时间后，AD边与BC边均向左向右伸长udydt距离，若不x2考虑流体微团沿z轴方向的变化，并考虑到连续性条件(不可压)，那么，AB边y2和DC边均向上向下缩短dydt的距离。并且可见，线变形运动是由同名偏导数u和来决定的。xy(3)角变形运动和旋转若仅仅考虑A与D，B与C在y轴方向有相同的速度差，即：x22dx。

ADBC同理，A与B，D与C在x轴方向有相同的速度差，即：y22udyABDCuuuu若u及均为正值，则经过t时间后，A点向上移动了dxdt距离，向yxx2右移动了udydt距离；C点向下移动了dxdt距离，向左移动了udydt距y2x2y2离；而D点则向右移动udydt，向下移动了dxdt；B点向左移动了udydt，y2x2y2向上移动了dxdt距离。结果AD边和BC边反时针旋转了微小角度d，ABx2边和DC边顺时针旋转了d，通过形心的平行于x轴y轴的中心线也分别旋转dx2x了d和d的角度，当α很小时，tg，所以有：dxdtdtgdx2dt

第16页：流体微团运动的分析、有旋流动和无旋流动

流体微团运动的分析、有旋流动和无旋流动

• ddd
• 2
• +
• d1(dd)
• -
• d1(dd)2而流体微团旋转角速度沿z轴的分量1()1(u)t2tt2xyz1(uw)2zxy同理得：1(w)2yzx而x222yz

第17页：流体微团运动的分析、有旋流动和无旋流动

流体微团运动的分析、有旋流动和无旋流动

• x2y2z2dxdydzA
• x2y2z2wwdxwdywdzwA
• 将
• 右边加上：1dy1wdz2x22x2将
• 右边加上：1wdz1udx2y22y2将
• 边加上：2z22z21udx1dy经整理，则有：2y2zyAzdzdy)x222uuudx(edyedz)(

第18页：流体微团运动的分析、有旋流动和无旋流动

流体微团运动的分析、有旋流动和无旋流动

• 平移运动
• 旋转运动
• 变形运动通常，又根据流体微团是否有旋转将流体流动分为两大类型：_有旋流动：_0，即，rotV0_无旋流动：_0，即，rotV0这也是判别有旋、无旋的方法。以上是有旋无旋的数学判别法。但必须指出，有旋、无旋仅根据流体微团本身是否旋转来判定，而与流体微团的运动轨迹无关。参见图。结论：1.流体微团的旋转与变形均是由于流场中的速度分布不均匀引起的；很显然，各速度分布均匀，则速度对坐标的偏导数(异名偏导数)应为零，则rotV0。2.和刚体运动不同，流场中每一个流体微团都有它自己的旋转角速度。3.可根据是否为零将流场划分为无旋流动和有旋流动两大类。线变形角变形4132有旋1324无旋

第19页：流体运动的分类

流体运动的分类

• 均匀流与非均匀流均匀流—同一瞬时，流场中流体的物理参数处处相等，即流体各物理量的位移变化率为零，称为均匀流。反之，为非均匀流。
• 定常流动与非定常流动（又叫恒定流动和非恒定流动）
• 定常流动―流动参量不随时间而变。（但流动参量仍是空间坐标的函数）
• 非定常流动―流动参量随时间变化的流动。称为非定常流动。a)若流动参量随时间变化得非常缓慢，那么，在较短的时间内近似的可作为定常流动来处理。b）与坐标的选择有关：例如：船在静水中等速直线航行，对岸上的人来说（静止的坐标），船两侧的水流流动，是非定常流动。对船上的人来说，（动坐标）船两侧的水流流动是H1H2H3大容器小孔口

第20页：流体运动的分类（续）

流体运动的分类（续）

• 定常流动。
• 一维流动、二维流动、三维流动通常的流动都是三维流动，即Ｖ=ƒ（x、y、z）如图所示：若令z2+y2=r2则上述三维流动变为二维流动。则Ｖ=ƒ（r、x），若再把截而-速度取平均值，则变为一维流动，则V=ƒ（x），所以，流动属于几维流动，还和坐标系的选取有关，显然，自变量越少，处理过程就越简单。在工程技术中，在保证一定精度的条件下，尽可能地将三维流动简化为二维流动，甚至简化为一维流动来求近似解。
• 有旋流动与无旋流动有旋流动：_0，即，rotV_0无旋流动：_0，即，rotV_0船4有旋1324132无旋

第21页：流体流动的连续性方程

流体流动的连续性方程

• 积分形式的连续方程在流场中任取一体积为V，封闭面积为A的控制体，根据质量守恒定律，控制体内流体的质量m应保持不变，即dm0dt由输运方程dttcsncvdVVdAdN令N＝m，η＝1则输运方程变成dttdmcvcsndVVdA0上式为积分形式的流体流动的连续方程。也可写成tcvcsndVVdA负号表示流出控制体，若变化率为“+”，则流体流入控制体。上式表示：控制体内由于密度变化所引起的流体质量随时间的变化率＝单位时间内净流入(或流出)控制体的流体质量。cvt对定常流动或者ρ＝const，则dV0则csVndA0上式表示：对定常流动或不可压缩流体的流动，流入控制面的流体质量＝流出控制面的流体质量。
• 微分形式的连续方程下面推导流场中任一点的连续方程。在流场中任取一微元平行六面体作为控制体，如图所示：某一瞬时t，微元体形心流体质点的速度沿三个坐标轴的分量为u，υ，w，密度为ρ。把速度和密度按泰勤级数展开，并略去高阶项(二阶以上)则：VVnA

第22页：流体流动的连续性方程（轴方向单）

x轴方向单位时间流入微元体的流体质量为：(dx)(uudx)dydzx2x2x轴方向单位时间流出微元体的流体质量为：(dx)(uudx)dydzx2x2流出—流进，则单位时间控制体内x方向净得流体质量为：(udxudx)dydz(u)dxdydzxxx同理：y方向净得流体质量为：y()dxdydzz方向净得流体质量为：(w)dxdydzz三项相加，则单位时间内微元六面体内流体质量变化为：csnzxydA(u)()(w)dxdydz另一方面，微元控制体内由于密度变化，引起单位时间流体质量的变化为：tcvdV(dxdydz)dxdydzttuxzυwx2x2(dx)(uudx)dydzdxudx(x2)(ux2)dydzρdzdxdyy2y2(dy)(udy)dxdzy2y2(dy)(udy)dxdzz2y2(dz)(uwdz)dxdyz2y2y(dz)(uwdz)dxdy

第23页：流体流动的连续性方程（续）

流体流动的连续性方程（续）

• 一维流动的连续方程在流场中任取一微元流管，选
• 2两个截面以及它们之间的流管作为控制面（如图中实线所示）。有：面积dA1，速度V1，密度ρ1。面积dA2，速度V2，密度ρ2。根据质量守恒定律，在所选的控制体内流体系统的质量不会发生变化。即：

第24页：流体流动的连续性方程（续）

流体流动的连续性方程（续）

• Ａ２则：A1VndAA2VndA取V1,V2为有限截面的平均速度则：1V1A12V2A2对不可压流体有：12则：V1A1V2A2上式表明，对不可压流体的定常流动，沿任意有效截面的体积流量不变。对定常流动，流管类似于真实管道，V大，Ａ小，反之亦然。
• 圆柱坐标系中的连续方程对于叶轮机械，常用圆柱坐标中的连续方程：rθztrrz(V)(V)(V)0上式中Vr为径向速度，Vθ为周向速度，Vz为轴向速度。ρ2,dA2V2ρ1,dA1V1