第1页：流体动力学基本方程
流体动力学基本方程
- 实际流体中的应力在理想流体中，由于没有摩擦力，故表面力只有压力。对于粘性流体，除法向应力外，还有切向应力(摩擦力)，则每一作用面上的表面力的合力不再垂直于作用面，而与作用面成一夹角。下面我们研究流场中A点中的应力状况。通过A点作一微元直六面体的流体微团，(图中只画了三个可见面的应力)，当dx，dy，dz趋于零时，这九个应力分量描述了A点的应力状态。中第一个角标表示应力所在平面的法线方向，第二角标表示应力本身方向。下面证明切应力相关性：现在对平行六面体的中心M并与z轴平行的轴取矩(力矩“－”，“+”)，则只有“前后左右”四个面的力对此轴有矩，而质量力和惯性力本身就是三阶无穷小量，而产生的力矩则是四阶无穷小量，故忽略不计，则力矩平衡方程如下：2222xyxyyxxyyxyxdxdzdy(d)dxdzdydydzdx(d)dydzdx0由转动定律，合力矩=转动惯量×角加速展开，则：2xyxyyxyxdxdydzddxdzdydxdydzddxdydz0yxxy0xyyxyzzy同理，xzzx，则九个应力只有六个是独立的。
- 应力和变形速度之间的关系xyzdxAyx(x,y,z)yzyzxxMxydzdyzxzzydyyx1zdxMyxyx+dyxxy+dxyxy
第2页：实际流体中的应力与变形速度（续）
现在推导应力和变形速度之间的关系：二维运动情况：ufx,y；若ufy，则为一维流动。对一维运动，仅有x方向速度u，υ=0，其角度变形速度为：dydtgddudt则ddudtdy而duddydt在二维运动情况下，先考虑xy平面，若不考虑伸缩变形(即线变形)，即认xy为u0(实际并不等于0，否则与后面矛盾)有：dddudtdtdtxydxxdxdt∵tgdxdt·d∴ddtx同理：dudty假定在各个方向均为同一数值(为各向同性)，根据牛顿内摩擦定律dtd有：xydyduddxdxxyυyuudyyxydyxdxuuxdxxydydudtuu+dud2
第3页：实际流体中的应力与变形速度（续）
zxxzzxyzyzzyxyxyyxzxyzxywuw222这就是广义牛顿内摩擦定律。广义牛顿内摩擦定律：即切向应力等于动力粘度与角变形速度的乘积。三、法向应力和线变形速度之间的关系粘性流体的法向应力=理想流体的压力+粘性引起的应力则：xpxxpxx，ypyypyy，zpzzpzz。由于p与σ反向，故p前加“－”号。又类似于虎克定律有：kwzzxxyyxyzku,k,(其中，同名偏导数相当于应变，k相当于弹性模量)，经复杂推导：k=2zwxzzzxxxpp2所以：ypyyp2ypp2u三式相加，则：xyzxyz3p2(uw)33xyzp1()即：x、y、z三个法向应力的算术平均值恰好等于理想流体的压力。
第4页：实际流体中的运动微分方程
xdt实际流体中的运动微分方程在流场中取一平行六面体的流体微团，由牛顿第二定律得Fma_，在x方向du则有Fm，则：xzxyxxxzxzxxxxdudtdxdydzdxdydz)dxdydzfxyz(dy)dzdxfdxdydzxyxdzdx(yxxxyxFdydz(xdx)dydzdxdy(zxdz)dxdyzx)yx1(xxyzx化简为：dufdtzxuw()xzxxup2u将yx(xy)代入上式，则：xyzdxfzdzdyfyfxzxxyzzx4xzxdzxxdx(x,y,z)xyxxyxdy
第5页：实际流体中的运动微分方程（续）
实际流体中的运动微分方程（续）
- 以上三式(即N-S方程)加连续方程uw0联立，成一封闭方程_组。原则上可解u，，w，p四个未知数。但实际上流动现象很复杂，而dV又dt是非线性的，所以，对大部分问题，N-S方程的求解，在数学上是很困难的，据有关书籍介绍，到目前为止，精确解(分析解)仅有一二十个。
- 应用条件：不可压流体，且=常数。
- 对理想流体有：=0，则N-S方程变成欧拉方程，所以N-S方程是不可压流体的普遍运动微分方程。
- 由于在推导N-S方程中便用了牛顿内摩擦定律，所以有人认为N-S方程仅适用于层流，但也有人认为，如美籍华人陈景仁教授就认为N-S方程也适用于紊流。35xxyyzz
- N-S方程中的压力p1(ppp)为任意三个互相垂直法向应力的算术平均值。
第6页：实际流体中的运动微分方程（续）
6(6)物理意义：单位流量流体的惯性力=单位数量流体的质量力、压力、粘性力之和，指向作用面的内法线方向。
第7页：理想流体的运动微分方程
z1pdtzdw＝fxx1pydtxx2x2dt(p－pdx)dzdy(ppdx)dzdyfdxdydzdxdydzdud1pdtxxdtpdxdydzfdxdydzdxdydzdudu＝f同理：＝fy上式即为理想流体的欧拉运动微分方程。写成矢量形式即为：zxy＿＿＿＿＿＿＿dVf1gradp(fifjfk)1(pipjpk)xyzdt＿＿其中f为单位质量流体的质量力。
又由于：uu[x(t),y(t),z(t),t][x(t),y(t),z(t),t]fxyxz由牛顿第二定律＿ma＿,在x方向有：F＝pdzdxdydudtx2pdxdydzpdydzx2pdxp理想流体的运动微分方程在流动的流体中，取出一边长为dx、dy、dz的平行六面流体微团(系统)，平均密度为ρ。由于是理想流体，故作用在流体微团上的外力只有压力(只写出了x方向)和质量力。
fyfz7
第8页：理想流体的运动微分方程（续）
理想流体的运动微分方程（续）
- ytxyzyuwf1p
- ztxyzzwuwwwwf1p
- 很显然，若流体处于静止状态，即u＝υ＝w=0。则欧拉运动微分方程变成欧拉平衡微分方程，即：f1p0xxf1p0yyf1p0zz欧拉运动微分方程的另一形式是兰姆运动微分方程，将
- 式左边ww，则有：xx8
第9页：理想流体的运动微分方程（续）
理想流体的运动微分方程（续）
- 式左边wwuuzz
- 式左边uuV2d则有：()2(uw)dtty2zxV2()2(xuy)dttz2dww代入欧拉方程，得：tu1p2(wyz)fxx
- xV2tv1p2(uzwx)fyy
- yV2t9w1p2(xuy)fzz
- zV2此方程称为兰姆运动微分方程。与欧拉方程比较，兰姆运动微分方程由于含有x,y,z，更容易看出流动特性，若xyz0，则流动无旋，若有其中一项不等于零，流动有旋。
第10页：理想流体的伯努利方程
理想流体的伯努利方程
- 定常流动的伯努利积分
- 定常无旋流动的欧拉积分两个积分的前提条件是：
- 定常流，即uw0和0tttt
- 质量力有势，即满足：fffyzxxyz
- 正压性流体，即流体的密度只与压力有关(或不可压流体)即：f(p)(p)这时存在一个压力函数pF(x,y,z,t)定义为：dppdpFF(p)Fxyz由于dppFdxpFdypFdzdp1(pdxpdypdz)(p)xyzxxyyzzpF1ppF1p,故有：pF1p,对不可压流体const则有：PF(p)dpp
- 对等温流动的可压缩流体，由pRT则pRT010
第11页：理想流体的伯努利方程（续）
理想流体的伯努利方程（续）
- 绝热流动的可压缩流体p1由kC1则CpkCPkPkdp(p)dpdp1C11则pFkpk1CpkkCk11k1p1p111k1而对不可压流体constF则pdp将uw0tttzfzyyf,xxf,zzpF1ppF1p以及，pF1pxxyy代入兰姆运动微分方程，则变成yzpF2)2wx(2Vzx2uwpF2)y(2Vxy11upF2)2z(2V下面分别研究方程组在有旋、无旋流动中的积分。
- 欧拉积分条件：定常无旋流
第12页：理想流体的伯努利方程（续）
对无旋流，即_0，则有：V2V2V2x(pF2)0y(pF2)0z(pF2)0再将上式分别乘以流场中任意微元线段ds的三个分量dx,dy,dz，相加，再积分，则得：欧拉积分式：V2pF常数2欧拉积分式的物理意义为：对可压或不可压的理想流体，满足正压性，在有势的力作用下作定常无旋2V2流动时，在流场中任一点单位质量流体的位势能π，压力势能pF和动能之和为常数。
二、伯努利积分：(有旋流动)条件：沿流线。将三式两边分别乘以流线上任一微分方程ds的三个分量dx,dy,dz得：yzdx2VpF2)dx2wx(z2uwxdy2VpF2)dyy(x2udzy2VpF2)dzz(对定常流动，流线与迹线重合，对迹线而言dxudt,dzwdt，dydt,则：12V2V2V2x(pF2)dxy(pF2)dyz(pF2)dz0
第13页：理想流体的伯努利方程（积分得）
V2积分得：d(pF2)0V2积分得：pF2const上式即伯努利积分式，其物理意义为：对可压缩或不可压缩的理想流体，满足正压性，在有势的质量力作用下作定常有旋流动时，沿同一流线上各点单位质量流体的位势能π，压力势能pF和动V2能之和为常数。三种机械能可以互相转化。但对不同流线，该常数值一般是2不同的。三、伯努利方程如果质量力仅仅是重力fmg，则对单位质量流体的质量力，则xyzzff0，fg。
g的前面加负号是由重力方向垂直向下，而取z轴F正向向上，则gz。对不可压流体，＝const，则pp。得：V2pzg2g常数上式即为伯努利方程。方程中：z为单位重量流体具有的位势能，又称位置高度或位置水头；gp为单位重量流体具有的压强势能，又称压强高度或压强水头；V22g13为单位重量流体具有的动能，又称速度水头或动压头。因此伯努利方程物理意义为：对不可压理想流体在重力作用下作定常流动时，对有旋流动，沿同一流线单位重量流体的位势能、压力势能以及动能之和为常数。
对无旋流动，整个流场所有各点的总机械能为一常数。
第14页：粘性流体总流的伯努利方程
粘性流体总流的伯努利方程
- 粘性流体沿微元流束的伯努利方程我们已经知道，对理想不可压流体在重力场下沿流线作定常流动时，流体的总机械能沿流线不变。即：V2pzg2gconstpp或：z2V2V2111z22g2gg2g即总水头线始终是一条水平线。而对于粘性流体，由于存在摩擦阻力，耗掉了流体的部分机械能，所以总机械能逐步减少。pp即：z2V2V212211zg2gg2gwpp若写成等号即：zV222h2V211z1g2gg2g上式即：粘性流体沿流线（或微元流束）的伯努利方程。其中：hw为单位重量流体自截面1到截面2的能量损失，单位：(米流体柱高）。
- 粘性流体总流的伯努利方程总流―在流动周界内，全部微小流束的总和称为总流（即打斜线部分流体）。由于在总流的任一有效截面上，流体质点的位能z，速度υ，压力p均有差别。因此，要把沿流线的伯努利方程扩到总流，必然要进行修正。下面推导应用于总流的两缓变流截面的伯努利方程。对管道总流中每一微元流束，写出伯努利方程：wppzV222h2V211z1g2gg2g14
第15页：粘性流体总流的伯努利方程（续）
粘性流体总流的伯努利方程（续）
- 2两截面总流的所有微元流束的能量进行积分，则：ppwQQQgdQ'222V2V211g2gg2g(z1)gdQ(z)gdQh对于缓变流截面流线与有效截面垂直，沿与流线垂直方向，即对整个截面有：zpconstggdQhgdQppQwQQV222V211gggdQ(z2)gQ(z1)gQ2g2g用gQ通除上式，再经过化简整理，得：ppV2V211z11z2222hwg2gg2g上式即为粘性流体总流的伯努利方程。其中：1(V)3dAAAVα为总流的动能修正系数，恒大于1，在工业管道中α=1.01～1.1，通常不加特别说明，均取α＝1，且用符号V代替V。w15而h1gQQhgdQ为
- 2截面总流的平均单位重量流体的能量损失。适用条件：不可压粘性流体在重力作用下，作定常流动的任意两缓变流截面，而缓变流之间有无急变流存在，均可适用。如果流动满足下列两个条件，我们称之为缓变流：1流线的切线之间夹角很小，即流线近乎平行；2流线的曲率很小，即流线近乎为直线。
第16页：伯努利方程的应用
伯努利方程的应用
- 文特里管用于测量管道中的流量。组成部分：收缩段、扩张段部分，在入口前的直管段的截面1和部口喉部截面2测量静能头差。（或静水头差）ppV2V211z222g2gg2g1则：z由流量不变方程：VＡ=VA112A112２VVA2代入伯努利方程得：22Ap21
- A112Vp1)(z)2g(zgg在实际应用中，考虑到粘性引起的截面上速度分布的不均匀。以及流动中的能量损失，还应乘以修正系数β。则：QV2A2如果用Ｕ形管压差计来测量压差，则：ρ汞设截面1：A
- V
- z
- p1，截面2：A
- V
- z
- p２p1p2h16
第17页：伯努利方程的应用（续）
伯努利方程的应用（续）
- 22gh(汞)2QAＡ点与Ｂ点位于同一水平流线上。Ｂ点：p,z,V2BBBg2gＡ点：p,z,V2AAAg2g列两点伯努利方程：pV2pV2AAAzg2gBBBzg2gBA由于收缩段的能量损失比扩张段小得多，因此不能用扩张段的压强来计算流量，以免增大误差。
- 皮托管皮托在1773年用一根弯成直角的玻璃管，测量了法国塞纳河的流速。原理如图所示，在液体管道某截面装一个测压管和一个两端开口弯成直角的玻璃管（皮托管），皮托管一端正对来流，一端垂直向上，此时皮托管内液柱比测压管内液柱高h，这是因为流体流到皮托管入口A点受到阻滞，速度降为零，流体的动能变化为压强势能，形成驻点A，A处的压强称为总压，与A位于同一流线且在A上游的B点未受测压管的影响，其压强与A点测压管测得的压强相等，称为静压。在A、B两点列伯努利方程有：h17
第18页：伯努利方程的应用（续）
2g(pABp)2ghgBV可见，对于流场中的一点，若其静压为p，流速为V，则当这点的由流动状态变为滞止状态，流速全部转化为压强时，其总压为pV22Ａ、Ｂ截面均是缓变流截面，故服从静力学方程。若测封闭管通内流体的静压(p)，（p沿管道横截面的变化可忽略不计）则可直接在管壁上开一个小孔。gg静压：pHg若流体的静压力沿管截面的变化不能忽略时，则用直角静压管测量静压，如图所示：若将皮托管和静压管组合成一体，称为皮托静压管。
三、孔板流量计H18
第19页：伯努利方程的应用（续）
根据连续性方程和伯努利方程有：V1A1VcAcpp'V2V211ccg2gg2g流束最小截面积Ac与孔板圆孔面积A0的关系可以表示为：AcCcA0其中Cc为流体的收缩系数。令：mA0A1则：cc2(p1pc)1C2m2V由于有能量损失，且孔板上的取压位置并非在截面A1与Ac处，另外考虑到管壁的粗糙和孔板边缘不尖锐等因素，并用实测的p1和p2代替p1和pc，应加上修正系数，即：孔板流量计是电厂常用测量给水和蒸汽流量的节流装置，其基本原理是流体在管道中流动时，其流通截面突然缩小，在孔板后某一距离流速达最大，流体静压下降，同时伴随有能量损失，通过测量孔板前后的压降，可算出流体的流量。
A1V1A0d0p1’Achp1’p119p2pcpx
第20页：伯努利方程的应用（续）
c1C2m2c2(p1p2)V用实际测量的代替则2(p1p2)Cc0ccAQVAc1C2m2令：Ccc1C2m2则：2(p1p2)200QA其中为孔板的流量系数，可由实验得到，标准孔板的流量系数可查表得到。在特殊的情况下，如果管流的实际雷诺数小于孔板的极限雷诺数，则查得的流量系数应乘于粘度校正系数Kμ，Kμ通过查表得到。
第21页：动量方程
- 动量方程动量方程
- 解决流体与固体间相互作用时产生的作用力的问题。质点系动量定理：作用在质点系上所有外力的矢量和，应等于该质点系的动量矢对时间的导数。即：miViFidtd__Vdtd__FVdv__其中：Vdv为系统内流体的动量；F为作用在系统上外力的矢量和。VddtCSCVV____VdvtVdvVVndAF对定常流动：tCVVdv0_CS__则VVndAF上式表明：在定常流动的条件下，单位时间内经过控制面的流体动量的通量，等于作用在系统上外力的矢量和。
_上式说明：对定常流动，要计算作用在系统上的外力F时，先取控制面，而后“计算控制面上单位时间内净流出的动量。”把上式写成投影形式为：uVndAFxCS现在，我们研究流体的一个系统，则根据质点系动量定理，系统内的流体动量对时间的导数，等于作用在系统上外力的矢量和。用v代表体积。系统（又是控制体）体积为v21
第22页：动量方程（续）
动量方程（续）
- 动量方程是矢量方程，要考虑力和速度的方向和坐标方向一致。
- 应用条件：定常流动
- 不论粘性流体，还是理想流体，可压、不可压均适用V2FV1122122
第23页：动量矩方程
动量矩方程
- 由于对称性，重力对转轴的力矩为零。
- 内外圈边界上表面力的径向力矩为零。V1e2VVr2r11上式即为定常流动的动量矩方程，由于在推导过程中利用了定常流动的条件，仅适用于定常流动。下面利用动量矩方程来推导涡轮机械的基本方程，如图所示为离心泵或风机的叶轮流体自内圈流入，经流通从外圈流出。取整个叶轮（即转子）外侧为控制面，则控制面包括叶轮的侧面轮盘和内外圆周流通截面。V2V2rV2eV1V1r23
第24页：动量矩方程（叶轮机械）
动量矩方程（叶轮机械）
- ___
- 叶片对流道内某一流体质点的作用力为Fi，力矩为riFi，其总和__riFi，就是叶片对流道内流体的作用力对转轴这一点的力矩。应用动量矩方程：A1rFMdnCSA2Q(V2r2cos2V1r1cos1)Q(r2V2r1V1)CSV2r2cos2V2ndAV1r1cos1V1ndAA2A1V2r2cos2V2ndAV1r1cos1V1ndA(rV)cosVdAnCS(rV)VndA(rV)sinVdAii________其中：Ａ
- Ａ2，代表叶轮周边入口与出口的总面积。则外力矩为：MdQ(r2V2r1V1)若叶轮的角速度为ω，则叶轮功率：NMd(r2V2r1V1)再由NMdgQH得涡轮机械基本方程：gQg24M12e21e1Hd(VVVV)其中H又叫水泵或风机的扬程，它的物理意义是：单位重量的流体通过叶轮时提高的能量。H反映了涡轮机械的基本性能。
