12 第12章 动能定理.pptx

第1页：第12章目录

• §12-1 力的功
• §12-2 动能
• §12-3 动能定理
• §12-4 功率·功率方程
• §12-5 势力场·势能·机械能守恒定理
• §12-6 动力学普遍定理及综合应用

第2页：常力的功

力的功

力沿路程累积效应的度量，是代数量：力与位移夹角小于 90° 为正功，等于 90° 功为零，大于 90° 为负功，单位焦耳（J）。

与动量定理和动量矩定理用矢量法不同，动能定理用能量法研究动力学问题，它建立动能与作用力的功之间的联系。

第3页：变力的功

二、变力的功：力在曲线路程中所作的功由元功沿路径积分求得，可写成自然形式表达式、矢量式与直角坐标表达式。

第4页：合力的功

三、合力的功：质点 M 受 n 个力作用、合力为各力的矢量和，则合力的功等于各分力在同一路程上所作功的代数和。

第5页：重力的功

四、常见力的功：1、重力的功。质点情形由重力在三轴上的投影积分求得；质点系情形等于质点系的重量与其在始末位置重心高度差的乘积，与各质点的路径无关。

第6页：弹性力与万有引力的功

• 2、弹性力的功：弹簧原长为 l0，在弹性极限内 k 为弹簧刚度系数（表示使弹簧发生单位变形所需的力，单位 N/m、N/cm）；弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，与质点运动路径无关。
• 3、万有引力的功：所作的功只与质点的始末位置有关，与路径无关。

第7页：转动刚体上力与力偶的功

4、作用于转动刚体上的力的功、力偶的功：设在绕 z 轴转动的刚体上 M 点作用力 F，计算刚体转过角度 φ 时力所作的功；作用于转动刚体上力的功等于力矩的功，若 m 为常量则功为 m·φ（注意功的符号的确定）。

第8页：摩擦力的功

• (1) 动滑动摩擦力的功：N 为常量时 W=–f'·N·S，与质点的路径有关。
• (2) 圆轮沿固定面作纯滚动时滑动摩擦力的功：正压力与摩擦力作用于瞬心处，而瞬心的元位移为零，故不作功。
• (3) 滚动摩擦阻力偶 m 的功：若 m 为常量则功为 –m·φ。

第9页：质点系内力的功

五、质点系内力的功：只要 A、B 两点间距离保持不变，内力的元功和就等于零。因此不变质点系（刚体）的内力功之和等于零，不可伸长绳索的内力功之和等于零。

第10页：理想约束反力的功

六、理想约束反力的功：约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束，包括：1、光滑固定面约束；2、活动铰支座、固定铰支座和向心轴承；3、刚体沿固定面作纯滚动；4、联接刚体的光滑铰链（中间铰）；5、柔索约束（不可伸长的绳索拉紧时内部拉力的元功之和恒为零）。

第11页：质点的动能与柯尼希定理

动能

物体由于运动而具有的能量，是机械运动强弱的又一种度量，为瞬时量、与速度方向无关的正标量，量纲与功相同，单位 J。

柯尼希定理

对于任一质点系，其动能等于质心平动的动能与各质点相对质心运动动能之和。

第12页：刚体的动能

• 1、平动刚体：动能等于质量与质心速度平方乘积的一半。
• 2、定轴转动刚体：动能等于对转轴的转动惯量与角速度平方乘积的一半。
• 3、平面运动刚体：动能等于质量与质心速度平方乘积的一半加上对质心轴转动惯量与角速度平方乘积的一半（也可用速度瞬心 P 表示）。

第13页：质点的动能定理

§12-3 动能定理：1、质点的动能定理。将牛顿第二定律两边点乘以元位移，即得动能定理的微分形式；沿路径积分可得动能定理的积分形式。

第14页：质点系的动能定理

2、质点系的动能定理：对质点系中的质点列式后对整个质点系求和，即得质点系动能定理的微分形式；沿路径积分得积分形式。在理想约束条件下，质点系的动能定理可写成只有主动力作功的形式。

第15页：例题1 重物下落的速度与加速度

[例1] 图示系统中，均质圆盘 A、B 各重 P、半径均为 R，盘 A 上作用矩为 M（常量）的一力偶，重物 D 重 Q，问下落距离 h 时重物的速度与加速度（绳重不计、绳不可伸长，盘 B 作纯滚动，初始时系统静止）。

第16页：例题1 解答

解：取系统为研究对象，列出动能与功的表达式，由动能定理求得速度；上式对时间求导即得加速度。

第17页：练习题1 杆的初角速度

动能定理的应用练习题1：图示的均质杆 OA 质量为 30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态，设弹簧常数 k=3kN/m，为使杆能由铅直位置 OA 转到水平位置 OA'，在铅直位置时的角速度至少应为多大？解：研究 OA 杆，由动能定理求解。

第18页：练习题2 行星齿轮机构

练习题2：行星齿轮传动机构放在水平面内，动齿轮半径 r、重 P 并视为均质圆盘，曲柄重 Q、长 l，作用一力偶矩为 M（常量），曲柄由静止开始转动，求曲柄的角速度（以转角 φ 的函数表示）和角加速度。解：取整个系统为研究对象，由动能定理求得后再对 t 求导。

第19页：练习题3 双杆机构的速度

练习题3：两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示，OA 杆质量是 AB 杆质量的两倍，各处摩擦不计，机构在图示位置从静止释放，求当 OA 杆转到铅垂位置时 AB 杆 B 端的速度。解：取整个系统为研究对象。

第20页：功率

功率

力在单位时间内所作的功，是衡量机器工作能力的一个重要指标；功率是代数量并具有瞬时性。

表达式

作用力的功率、力矩的功率；单位瓦特（W）、千瓦（kW），1W=1J/s。

第21页：功率方程与机械效率

二、功率方程：由动能定理微分形式两边同除以 dt 即得。分析：起动阶段（加速）输入功率大于输出功率；制动阶段（减速）输入功率小于输出功率；稳定阶段（匀速）两者相等。机器稳定运行时，机械效率 η 是评定机器质量优劣的重要指标之一，一般情况下 η<1。

第22页：势力场

• 1、力场：若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为力场。
• 2、势力场：在力场中，如果作用于质点的场力作功只决定于质点的始末位置而与运动路径无关，这种力场称为势力场；质点在势力场中受到的场力称为有势力（保守力），如重力、弹力等。重力场、万有引力场、弹性力场都是势力场。

第23页：势能

势能

在势力场中，质点从位置 M 运动到任选位置 M0，有势力所作的功称为质点在位置 M 相对于位置 M0 的势能，用 V 表示；M0 为基准位置（零势能点），势能具有相对性，是坐标的单值连续函数。

等势面

质点位于该面上任何地方势能都相等。

第24页：常见势场中的势能

• 1、重力场：质点势能为 mgh，质点系按各质点求和。
• 2、弹性力场：取弹簧自然位置为零势能点。
• 3、万有引力场：取与引力中心相距无穷远处为零势能位置。
• 有势力的功等于质点系在运动始末位置的势能之差。

第25页：机械能守恒定律与例题1

四、机械能守恒定律：机械能是系统的动能与势能的代数和。设质点系只受到有势力（或同时受到不作功的非有势力）作用，则机械能守恒，这样的系统称为保守系统；对非保守系统需计入非保守力的功。

[例1] 长为 l、质量为 m 的均质直杆初瞬时直立于光滑桌面上，当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角 θ 和质心的位置表达）。

第26页：例题1 解答

解：由于水平方向不受外力且初始静止，故质心 C 铅垂下降；由于约束反力不作功、主动力为有势力，可用机械能守恒定律求解。写出初瞬时与任一瞬时的动能和势能，代入并化简即得质心速度。

第27页：动力学普遍定理的综合应用

§12-6 动力学普遍定理及综合应用：动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理、动量矩定理和动能定理。动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，还可用于研究其它形式运动的能量转化问题。综合应用包括：根据已知条件和待求量选择适当的定理求解（含守恒情况判断），以及对复杂问题选用两三个定理联合求解，求解中要正确进行运动分析并提供正确的运动学补充方程。

第28页：例题1 两杆铰接下落

[例1] 两根均质杆 AC 和 BC 各重为 P、长为 l，在 C 处光滑铰接，置于光滑水平面上，设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，C 点高度为 h，求铰 C 到达地面时的速度。

第29页：例题1 解法讨论

讨论：可用动量守恒定理与动能定理联合求解；计算动能时利用平面运动的运动学关系。解：由于不求系统的内力可以不拆开，研究对象为整体，水平方向质心位置守恒，代入动能定理求解。

第30页：例题2 圆盘与滑块系统

[例2] 均质圆盘 A：m、r；滑块 B：m；杆 AB 质量不计且平行于斜面，斜面倾角 θ、摩擦系数 f，圆盘作纯滚动，系统初始静止，求滑块的加速度。解：选系统为研究对象，由动能定理列式并对 t 求导。

第31页：例题3 圆盘与杆系统（一）

[例3] 重 150N 的均质圆盘与重 60N、长 24cm 的均质杆 AB 在 B 处用铰链连接，系统由图示位置无初速释放，求系统经过最低位置 B' 点时的速度及支座 A 的约束反力。解：（1）取圆盘为研究对象，圆盘作平动。

第32页：例题3 （二）动能定理求速度

（2）用动能定理求速度：取系统研究，初始时 T1=0，写出最低位置的动能与功，代入数据即得速度。

第33页：例题3 （三）角加速度与支反力

（3）用动量矩定理求杆的角加速度 ε，由于该瞬时外力矩为零所以 ε=0；再写出杆质心与盘质心的加速度。（4）由质心运动定理研究整个系统，代入数据求得支座 A 的约束反力。

第34页：例题4 综合解法要点

[例4] 基本量计算（动量、动量矩、动能）：可用相对质心动量矩守恒定理 + 动能定理 + 动量矩定理 + 质心运动定理联合求解；也可用积分形式的动能定理求导计算 ε，但要注意需取杆 AB 在一般位置进行分析。

第35页：例题5 杆置于两圆柱上

[例5] 质量为 m 的杆置于两个半径为 r、质量为 m/2 的实心圆柱上，圆柱放在水平面上，求当杆上加水平力时杆的加速度（设接触处都有摩擦而无相对滑动）。解：（1）用动能定理求解：取系统为研究对象，杆作平动、圆柱体作平面运动，写出系统动能与主动力元功之和，由动能定理微分形式求导即得。

第36页：例题5 用动量矩定理求解

（2）用动量矩定理求解：取系统为研究对象，根据动量矩定理列式即得杆的加速度。

第37页：例题6 绳剪断瞬间的角加速度

[例6] 均质杆 OA 重 P、长 l，绳子突然剪断，求该瞬时的角加速度及 O 处反力。解：取杆为研究对象，由质心运动定理与动量矩定理列式求解。