11 第11章 动量矩定理.pptx

第1页：第11章目录

• §11-1 动量矩
• §11-2 动量矩定理
• §11-3 刚体定轴转动微分方程
• §11-4 刚体对轴的转动惯量
• §11-5 质点系相对于质心的动量矩定理·刚体平面运动微分方程
• 习题课

第2页：动量矩的概念

质点对点 O 的动量矩

矢量，等于矢径与动量的矢量积。

质点对轴 z 的动量矩

代数量，正负号规定与力对轴矩相同：对着轴看顺时针为负、逆时针为正。

动量矩定理建立了质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩之间的关系。

第3页：质点系的动量矩

二、质点系的动量矩：质系对点 O 的动量矩为各质点动量矩的矢量和，对轴 z 的动量矩为代数和，单位 kg·m²/s。动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点（轴）转动的强弱。

第4页：刚体动量矩的计算

• 1、平动刚体：对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点（轴）的动量矩。
• 2、定轴转动刚体：对转轴的动量矩等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积。
• 3、平面运动刚体：对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随质心平动时质心动量对该轴的动量矩与绕质心轴转动的动量矩之和。

第5页：例题1 滑轮系统的动量矩

[例1] 滑轮 A：m1、R1（R1=2R2）、转动惯量 I1；滑轮 B：m2、R2、转动惯量 I2；物体 C：m3。求系统对 O 轴的动量矩。解：分别计算各构件的动量矩后相加。

第6页：质点的动量矩定理

§11-2 动量矩定理。一、质点的动量矩定理：由牛顿第二定律两边叉乘矢径，左边可写成质点动量矩对时间的导数，故质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。

第7页：对固定轴的动量矩定理与守恒

• 将上式在通过固定点 O 的三个直角坐标轴上投影，即得质点对固定轴的动量矩定理（投影形式）：质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数等于力对同一轴之矩。
• 质点的动量矩守恒：若力对某点（轴）之矩为零，则动量矩为常矢量（常量）。

第8页：例题2 单摆的运动规律

[例2] 单摆：已知 m、l，t=0 时 φ=φ0，从静止开始释放，求单摆的运动规律。解：将小球视为质点，受力分析后由动量矩定理列式；微幅摆动时可线性化，解微分方程并代入初始条件得运动方程与摆动周期。

第9页：动量矩定理的应用与符号规定

• 质点动量矩定理的应用：质点受有心力作用时；质点绕某心（轴）转动的问题。
• 注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时针转向为正）。

第10页：质点系对固定点的动量矩定理

二、质点系的动量矩定理：对质点 Mi 列式后求和，交换求和与导数运算顺序，即得质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。

第11页：质点系的动量矩守恒

• 质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于所有外力对同一固定轴之矩的代数和。
• 质点系的动量矩守恒：外力主矩为零时动量矩为常矢量，对某轴外力矩为零时该轴动量矩为常量。
• 内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质点系的动量矩。

第12页：例题3 系统动量矩应用

[例3] 取整个系统为研究对象，受力分析如图示，运动分析 v=rω，由动量矩定理列式求解。

第13页：例题4 猴子爬绳问题

[例4] 已知猴子 A 重等于猴子 B 重，猴 B 以相对绳速度上爬，猴 A 不动，问猴 B 向上爬时猴 A 将如何动、速度多大（轮重不计）。解：系统的动量矩守恒，猴 A 与猴 B 向上的绝对速度是一样的。

第14页：刚体定轴转动微分方程

§11-3 刚体定轴转动微分方程：对于一个定轴转动刚体代入质点系动量矩定理，即得刚体定轴转动微分方程。它解决两类问题：已知外力矩求转动规律；已知转动规律求外力（矩），但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。

第15页：定轴转动的两种特殊情况

• 若外力矩为零，则角速度为恒量，刚体作匀速转动或保持静止。
• 若外力矩为常量，则 ε 为常量，刚体作匀变速转动。
• 与平动规律比较可知，刚体的转动惯量是刚体转动惯性的度量。

第16页：转动惯量的定义

§11-4 刚体对轴的转动惯量。一、定义：若刚体的质量连续分布，则转动惯量由积分定义，它是刚体对某轴转动惯性大小的度量，其大小表现了刚体转动状态改变的难易程度；转动惯量恒为正值，国际单位制单位为 kg·m²。

第17页：转动惯量的积分法

二、转动惯量的计算：1、积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）。[例1] 匀质细直杆长为 l、质量为 m，求对 z 轴与对 z' 轴的转动惯量。

第18页：回转半径

2、回转半径：由定义式所确定的长度称为刚体对 z 轴的回转半径。对于均质刚体它仅与几何形状有关而与密度无关，因此几何形状相同而材料不同的均质刚体其回转半径相同。机械工程设计手册中可查到简单几何形状或标准零件的转动惯量和回转半径。

第19页：平行移轴定理

3、平行移轴定理：同一个刚体对不同轴的转动惯量一般不相同。刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。

第20页：平行移轴定理的证明与结论

证明：设质量为 m 的刚体、质心为 C，按定义展开即得定理式。例如对于例1中均质细杆 z' 轴的转动惯量；刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。

第21页：计算转动惯量的组合法

4、计算转动惯量的组合法：当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分的转动惯量再相加；若物体有空心部分，要把此部分的转动惯量视为负值处理。[例2] 钟摆：均质直杆 m1、l，均质圆盘 m2、R，求 IO。

第22页：例题3 提升装置的加速度

[例3] 提升装置中，轮 A、B 的重量分别为 P1、P2，半径分别为 r1、r2，可视为均质圆盘，物体 C 重 P3，轮 A 上作用常力矩 M1，求物体 C 上升的加速度。解：取轮 A 为研究对象，再取轮 B 连同物体 C 为研究对象，补充运动学条件后分别化简求解。

第23页：质点系相对质心的动量矩定理

§11-5 质点系相对于质心的动量矩定理·刚体平面运动微分方程。一、质点系动量矩：质点系相对于质心和固定点的动量矩定理具有完全相似的数学形式，而对于质心以外的其它动点一般并不存在这种简单关系。二、质点系相对质心的动量矩的改变只与外力有关，与内力无关。

第24页：刚体平面运动微分方程的推导

三、刚体平面运动微分方程：设平面运动刚体具有质量对称平面，力系可简化为该平面内的一个力系，取质量对称平面为平面图形 S，质心位于 S 内。取质心 C 为动系原点，则平面运动可分解为随质心 C 的平动和绕质心 C 的转动，可由质心运动定理和相对质心的动量矩定理确定。

第25页：平面运动微分方程

写成投影形式即得平面运动微分方程：包括两个质心运动方程与一个相对质心的动量矩方程。

第26页：例题4 圆轮在斜面上的运动

[例4] 质量为 m、半径为 R 的均质圆轮置放于倾角为 α 的斜面上，在重力作用下由静止开始运动，设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数为 f、f'，不计滚动摩阻，试分析轮的运动。解：取轮为研究对象，取直角坐标系，一般情况下轮作平面运动，根据平面运动微分方程列式，未知量多于方程数需补充附加条件。

第27页：例题4 三种接触情形

• 1、设接触面绝对光滑：轮由静止开始运动，ω=0，轮沿斜面平动下滑。
• 2、设接触面足够粗糙：轮作纯滚动，可由补充条件解得加速度。
• 3、设轮与斜面间有滑动、又滚又滑：F=f'N，可解得轮作纯滚动的条件；当摩擦系数满足条件时分别适用不同解答。

第28页：习题课 基本概念

• 1、动量矩：物体某瞬时机械运动强弱的一种度量。
• 2、质点的动量矩；3、质点系的动量矩。
• 4、转动惯量：物体转动时惯性的度量；均匀直杆、细圆环、薄圆盘（圆柱）对过质心且垂直于质量对称平面的转轴的转动惯量要熟记。

第29页：习题课 刚体动量矩与质点定理

• 5、刚体动量矩计算：平动、定轴转动、平面运动各有对应公式。
• 二、质点的动量矩定理及守恒：质点对某点（轴）之矩为零时动量矩为常矢量（常量）。

第30页：习题课 质点系定理与守恒

• 三、质点系的动量矩定理及守恒：外力主矩为零时动量矩为常矢量，某轴外力矩为零时该轴动量矩为常量。
• 四、质点系相对质心的动量矩定理。

第31页：习题课 两类微分方程

• 1、刚体定轴转动微分方程。
• 2、刚体平面运动微分方程（矢量形式与投影形式）。

第32页：习题课 动量矩定理的应用

• 1、已知质点系的转动运动，求系统所受的外力或外力矩。
• 2、已知外力矩是常力矩或时间的函数，求刚体的角加速度或角速度的改变。
• 3、已知外力主矩或外力矩在某轴上的投影代数和为零，应用动量矩守恒定理求角速度或角位移。

对单轴传动系统尤为方便。

第33页：例题1 圆柱在墙角停止转动

[例1] 均质圆柱半径为 r、重量为 Q，置于墙角，初始角速度 ω0，墙面、地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为 f'，滚阻不计，求使圆柱停止转动所需要的时间。解：选取圆柱为研究对象（注意只是一个刚体），质心 C 不动，刚体绕质心转动，根据刚体平面运动微分方程列式并补充方程。

第34页：例题1 求解

将补充方程代入前两式求得约束反力，再将上述结果代入第三式，解得圆柱停止转动所需的时间。

第35页：例题2 T形杆的轴承反力

[例2] 两根质量各为 8kg 的均质细杆固连成 T 字型，可绕通过 O 点的水平轴转动，当 OA 处于水平位置时 T 形杆具有角速度 ω=4rad/s，求该瞬时轴承 O 的反力。解：选 T 字型杆为研究对象，由定轴转动微分方程求角加速度。

第36页：例题2 由质心运动定理求反力

根据质心运动微分方程，代入角加速度与质心坐标，即可求得轴承 O 的反力分量。

第37页：例题3 两圆柱与绳的系统

[例3] 均质圆柱体 A 和 B 的重量均为 P、半径均为 r，一绳缠在绕固定轴 O 转动的圆柱 A 上，绳的另一端绕在圆柱 B 上，绳重不计且不可伸长，不计轴 O 处摩擦。求：①圆柱 B 下落时质心的加速度；②若在圆柱体 A 上作用一逆时针转向的转矩 M，试问在什么条件下圆柱 B 的质心将上升。

第38页：例题3 分体研究

解：选圆柱 A 为研究对象列定轴转动方程，再选圆柱 B 为研究对象列平面运动方程，配合运动学关系，由两式联立求得加速度。

第39页：例题3 系统动量矩与上升条件

再取系统为研究对象，由动量矩定理并补充运动学关系代入，得当 M>2Pr 时加速度反向，圆柱 B 的质心将上升。

第40页：章末小结与注意问题

研究刚体平面运动的动力学问题，一定要建立补充方程，找出质心运动与刚体转动之间的联系。应用动量矩定理列方程时，要特别注意正负号规定的一致性。