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本课件介绍动静法，通过虚加惯性力把动力学问题转化为形式上的平衡问题，系统给出平动、定轴转动与平面运动刚体惯性力系的简化结果，并讨论定轴转动刚体的轴承动反力与静平衡、动平衡的概念。
本章介绍动力学的一个重要原理——达朗伯原理。应用这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题，从而根据关于平衡的理论来求解，这种解答动力学问题的方法因而也称动静法。
[注] 质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施力体反作用力的合力。
二、质点的达朗伯原理：非自由质点 M 质量为 m，受主动力、约束反力，其合力与惯性力在形式上构成平衡力系。
该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最大优点，是可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题一种统一的解题格式。
[例1] 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时单摆左偏角度 α 并相对于车厢静止，求车厢的加速度。
解：选单摆的摆锤为研究对象，虚加惯性力，由动静法列平衡方程解得加速度。α 角随加速度变化，当加速度不变时 α 角也不变，只要测出 α 角就能知道列车的加速度，这就是摆式加速计的原理。
§13-2 质点系的达朗伯原理：设质点系由 n 个质点组成，对每一个质点列式后将质点系受力按内力、外力划分，则对整个质点系来说，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上构成平衡力系，这就是质点系的达朗伯原理。
表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程只是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
对平面任意力系、空间任意力系均有相应的平衡方程。用动静法求解动力学问题时，实际应用时同静力学一样任意选取研究对象、列平衡方程求解。
§13-3 刚体惯性力系的简化：简化方法就是采用静力学中的力系简化理论，将虚拟的惯性力系视作力系向任一点 O 简化而得到一个惯性力和一个惯性力偶。无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
一、刚体作平动：向质心 C 简化，刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。
二、定轴转动刚体：先讨论具有垂直于转轴的质量对称平面的简单情况，把空间惯性力系化为平面惯性力系，O 为转轴 z 与质量对称平面的交点，向 O 点简化可得主矢与主矩的表达式。
向 O 点简化得作用在 O 点的主矢与主矩，向质心 C 点简化得作用在 C 点的相应量，两者等效。
讨论：①刚体作匀速转动、转轴不通过质心 C 时，惯性力系简化为一个通过 O 点的惯性力。
讨论：②转轴过质心 C 但 ε≠0 时，惯性力系简化为一个惯性力偶，其转向与 ε 相反。
讨论：③刚体作匀速转动且转轴过质心时，惯性力系的主矢、主矩均为零。
三、刚体作平面运动：假设刚体具有质量对称平面并平行于该平面作平面运动，此时惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。平面运动可分解为随质心 C 的平动和绕通过质心轴的转动，故惯性力系简化为作用于质心的惯性力与惯性力偶。
对于平面运动刚体，由动静法可列出三个方程（两个投影方程与一个力矩方程）。
[例1] 均质杆长 l、质量 m，与水平面铰接，杆由与平面成 φ0 角位置静止落下，求开始落下时杆 AB 的角加速度及 A 点支座反力。解：选杆 AB 为研究对象，虚加惯性力系，根据动静法列式。
本页源文件未提取到正文文字，仅有图示，内容为均质杆落下例题的惯性力系图与动静方程，建议对照原课件图片补充本页要点说明。
用动量矩定理 + 质心运动定理再求解此题：解：选 AB 为研究对象，由动量矩定理求得角加速度，再由质心运动定理求支座反力。
[例2] 牵引车的主动轮质量为 m、半径为 R，沿水平直线轨道滚动，设车轮所受主动力可简化为作用于质心的两个力及驱动力偶矩 M，车轮对通过质心 C 并垂直于轮盘的轴的回转半径为 ρ，轮与轨道间摩擦系数为 f，试求在车轮滚动而不滑动的条件下驱动力偶矩 M 之最大值。解：取轮为研究对象，虚加惯性力系，由动静法列式。
由(1)得摩擦力，由(2)得 N=P+S；要保证车轮不滑动必须 F<fN=f(P+S)，可见 f 越大越不易滑动，Mmax 即为上式右端的值。
§13-4 定轴转动刚体的轴承动反力·静平衡与动平衡的概念。一、刚体的轴承动反力：刚体的角速度 ω、角加速度 ε（逆时针），主动力系向 O 点简化得主矢与主矩，惯性力系向 O 点简化得主矢与主矩。
本页源文件未提取到正文文字，仅有图示，内容为轴承动反力计算的受力图，建议对照原课件图片补充本页要点说明。
根据动静法列式，其中有五个式子与约束反力有关。设 AB=l，OA=l1，OB=l2，可得轴承反力的表达式。
轴承反力由两部分组成：一部分由主动力引起、不能消除，称为静反力；一部分是由于惯性力系的不平衡引起的，称为附加动反力，它可以通过调整加以消除。使附加动反力为零须满足相应条件。
当刚体转轴为中心惯性主轴时，轴承的附加动反力为零。对 z 轴的惯性积为零则 z 轴为刚体在 O 点的惯性主轴；通过质心的惯性主轴称为中心惯性主轴。
[例1] 质量不计的刚轴以角速度 ω 匀速转动，其上固结着两个质量均为 m 的小球 A 和 B，指出在图示各种情况下哪些是静平衡的、哪些是动平衡的。静平衡：(b)、(d)；动平衡：(a)。
[例2] 两个相同的定滑轮如图所示，开始时都处于静止，问哪个角速度大：(a) 绳子上加力 G；(b) 绳子上挂一重 G 的物体。
根据达朗伯原理，以静力学平衡方程的形式来建立动力学方程的方法称为动静法。应用动静法既可求运动（如加速度、角加速度），也可以求力，并且多用于已知运动求质点系运动时的动约束反力。它可以利用静力学建立平衡方程的一切形式便利，例如矩心可以任意选取、二矩式三矩式等，因此当问题中有多个约束反力时应用动静法求解就方便得多。
[注] 惯性力方向与惯性力偶转向已在受力图中标出，建立方程时只需按图代入即可。
[例1] 质量为 m1 和 m2 的两重物分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为 r1 和 r2 并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴 O 的转动惯量为 I，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。解：方法1 用达朗伯原理求解，取系统为研究对象。
虚加惯性力和惯性力偶，由动静法列式，再列出运动学补充方程，代入上式即得鼓轮的角加速度。
方法2 用动量矩定理求解：取系统为研究对象，根据动量矩定理直接列式求角加速度。
方法3 用动能定理求解：取系统为研究对象，写出任一瞬时系统的动能，两边除以 dt 并求导数即得角加速度。
[例2] 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮 O 均为均质物体，各重为 P 和 Q，半径均为 R，绳子不可伸长且质量不计，斜面倾角 α。如在鼓轮上作用一常力偶矩 M，试求：(1) 鼓轮的角加速度；(2) 绳子的拉力；(3) 轴承 O 处的支反力；(4) 圆柱体与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）。
解：方法1 用达朗伯原理求解。取轮 O 为研究对象，虚加惯性力偶列出动静方程；取轮 A 为研究对象，虚加惯性力 QC 和惯性力偶 MQA 如图示。
列出动静方程并写出运动学关系，将 MQ、RQ、MQA 及运动学关系代入并联立求解即得角加速度与绳拉力。
将求得结果代入其余方程，得轴承 O 处的支反力与圆柱体与斜面间的摩擦力。
方法2 用动力学普遍定理求解：(1) 用动能定理求鼓轮角加速度，取系统为研究对象后两边对 t 求导数。
(2) 用动量矩定理求绳子拉力：取轮 O 为研究对象，由定轴转动微分方程列式。(3) 用质心运动定理求解轴承 O 处支反力：取轮 O 为研究对象，根据质心运动定理列式。
(4) 用刚体平面运动微分方程求摩擦力：取圆柱体 A 为研究对象。方法3：用动能定理求鼓轮的角加速度，用达朗伯原理求约束反力（绳子拉力、轴承 O 处反力和摩擦力）。
[例3] 均质圆柱体重为 P、半径为 R，无滑动地沿倾斜平板由静止自 O 点开始滚动，平板对水平线的倾角为 α，试求 OA=S 时平板在 O 点的约束反力（板的重力略去不计）。解：(1) 用动能定理求速度和加速度：圆柱体作平面运动，初始位置处于静止故 T1=0，末位置设角速度为 ω，则 vC=Rω。
主动力的功由动能定理求得，对 t 求导数得加速度。(2) 用达朗伯原理求约束反力：取系统为研究对象，虚加惯性力 QC 和惯性力偶 MQC。
列出动静方程即可求得平板在 O 点的约束反力分量。
[例4] 绕线轮重 P，半径为 R 及 r，对质心 O 转动惯量为 IO，在与水平成 α 角的常力 T 作用下纯滚动，不计滚阻，求：(1) 轮心的加速度；(2) 分析纯滚动的条件。解：用达朗伯原理求解，绕线轮作平面运动（纯滚动），将惯性力 Q 与惯性力偶 MQ 代入即得。
纯滚动的条件：F ≤ fN，即所需摩擦力不超过最大静摩擦力。
思考题1：物体系统由质量均为 m 的两物块 A 和 B 组成，放在光滑水平面上，物体 A 上作用一水平力 F，试用动静法说明 A 物体对 B 物体作用力大小是否等于 F。
思考题2：质量为 M 的三棱柱体 A 以加速度向右移动，质量为 m 的滑块 B 以加速度相对三棱柱体的斜面滑动，试问滑块 B 的惯性力的大小和方向如何。
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