页数：61页文件大小：1.08 MB来源： 结构力学ppt课件
本课件为第七章位移法：先建立杆件单元的形常数与载常数并导出转角位移方程，再依次讨论无侧移刚架、有侧移刚架与剪力分配法、对称结构的半边结构取法以及位移法基本体系的典型方程，最后归纳超静定结构的受力特性。
第7章 位移法：位移法将结构拆成杆件，以杆件的内力和位移关系作为计算基础；再把杆件组装成结构，这是通过各杆件在结点处的力的平衡和变形的协调来实现的。取刚架的独立结点位移作为基本未知量，由结点位移相应的平衡条件建立位移法方程。位移法方程有两种表现形式：直接写平衡方程的形式和基本体系典型方程的形式。
§7-1 位移法的基本概念：选择基本未知量 Δ，依次满足物理条件（单元刚度方程）、变形条件（变形连续）与平衡条件（结点或截面平衡）。
位移法要点小结：
位移法计算刚架的基本思路：
§7-2 杆件单元的形常数和载常数——一、由杆端位移求杆端内力（1）由杆端弯矩 M_AB、M_BA。
杆端力和杆端位移的正负规定：① 杆端转角 θ_A、θ_B，弦转角 φ＝Δ/l 都以顺时针为正；② 杆端弯矩对杆端以顺时针为正，对结点或支座以逆时针为正。
（2）由于相对线位移 Δ 引起的杆端弯矩，与前面由杆端转角引起的杆端弯矩叠加；由杆端位移求杆端力，变换上面的式子可得转角位移方程。
方法二：用力法求解单跨超静定梁：取基本未知量 X₁、X₂，分别令 Δ = 1/l、X₂ = 1、X₁ = 1，作出 M₁、M₂ 图，由力法方程求出单位杆端位移引起的杆端力。
写成矩阵形式即得弯曲杆件的刚度方程：{M} = [k]{δ}，其中 [k] 为单元刚度矩阵，由刚度系数组成。
形常数：只与杆件的长度、截面尺寸和材料性质有关的常数。
几种不同远端支座的刚度方程：
由单位杆端位移引起的杆端力（刚度系数，形常数）：本页给出单跨超静定梁简图及相应的 M_AB、M_BA、Q_AB = Q_BA 数值（4i、2i、3i、i、－i 等，i = EI/l）。
二、由荷载求固端内力——载常数：如两端固定梁在均布荷载q作用下的固端弯矩。
在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式（转角位移方程），由固端弯矩项与杆端位移项叠加而成。
表7-1 等截面杆件的固端弯矩和固端剪力：载常数是只与荷载形式有关的常数。
需记忆的编号：1，4，6，10，12。
第二、三种梁的固端弯矩与第一种梁固端内力的关系：
第二、三种梁的固端弯矩与第一种梁固端内力的关系：
§7-3 位移法解无侧移刚架：如果除支座以外，刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架称为无侧移刚架。
例题：刚架ABC，跨度3m、3m、6m，P = 20 kN，q = 2 kN/m。
5、各杆端弯矩及弯矩图：M_BA、M_BC 等为 16.72、15.85、11.57、3.21 等，本页给出最终M图。
超静定结构分析必须满足的三个条件：（1）变形连续条件——在确定基本未知量时得到满足；（2）物理条件——即单元刚度方程；（3）平衡条件——即位移法基本方程。
例1：试用位移法分析图示刚架。尺寸 4m、4m、5m、4m、2m，q = 20 kN/m，惯性矩为 4I₀、5I₀、3I₀、3I₀。
（3）位移法方程：由结点B、C的力矩平衡条件建立方程；本页给出梁与柱的线刚度取值（设 EI₀ = 1）。
（4）解方程（相对值）；（5）杆端弯矩及弯矩图：图中标注 43.5、46.9、24.5、14.7、3.45、1.79、9.84、4.89 等。
小结：
基本未知量的选取：
线位移数也可以用几何构造分析方法确定：将结构中所有刚结点和固定支座代之以铰结点和铰支座，分析新体系的几何构造性质；若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的几何不变体系，所需增加的链杆数即为原结构位移法计算时的线位移数。
复习转角位移方程中的杆端剪力：Q_AB、Q_BA、Q_DC 等由杆端弯矩与荷载求得。
绘制弯矩图的方法：（1）直接由外荷载及剪力计算；（2）由转角位移方程计算。
例1：作图示刚架的弯矩图，忽略梁的轴向变形。柱高 h₁、h₂、h₃，惯性矩 I₁、I₂、I₃。
剪力分配法：结点集中力作为各柱总剪力，按各柱的侧移刚度分配给各柱，再由铰结点开始即可作出弯矩图。
复习转角位移方程中的杆端剪力：本页给出梁的M图（×ql²）以及 Q_DC、Q_BA 的计算。
例2：用位移法分析图示刚架。BC跨8m、4m，线刚度 i、i、2i，承受3 kN/m。
（3）位移法方程：由结点B的力矩平衡与截面平衡条件 Q_BA + Q_CD = 0 建立两个方程。
（4）解位移法方程；（5）弯矩图：M_AB = －13.896 kN·m，M_BA = －4.422 kN·m，M_BC = 4.422 kN·m，M_DC = －5.685 kN·m；Q_BA = －1.42 kN，Q_CD = 1.42 kN。
例3：用位移法分析图示刚架（承受m与q）。基本未知量包括结点角位移与侧移Δ；列出 M_BA、M_BC、M_CB、M_BE、M_EB、M_CD、M_CF、M_FC 以及 Q_BE、Q_CF。
承接例3：本页给出另一种基本未知量的选取方式，列出 Q_CE、Q_CA、Q_DB 与 M_CE、M_CA、M_CD 等，据此建立位移法方程。
习题：7-2(c, f)，4，6，8，10，11。
位移法要点：
位移法计算刚架时的特点：基本未知量是独立的结点位移；计算单元是一组单跨超静定梁；位移法方程根据力矩和截面平衡条件建立。应用位移法求解刚架需要解决三个问题：①单跨超静定梁的内力分析；②位移法基本未知量的确定；③位移法方程的建立与求解。
由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。本页再次给出单跨超静定梁简图及其 M_AB、M_BA、Q_AB = Q_BA 数值（4i、2i、3i、i、－i 等）。
直接平衡法的计算步骤：
例题：12 kN/m、25 kN·m、32 kN，跨度4m、4m、2m、2m，刚度 2EI、EI、EI、EI。
§7-5 位移法解对称结构：对称结构在对称荷载作用下内力和变形是对称的，在反对称荷载作用下内力和变形是反对称的；利用这些特点，可以取结构的一半简化计算。
本页对照对称与反对称两类情形下对称轴位置的荷载、位移和内力属性：
1、对称荷载作用下奇数跨对称结构的半边结构：正对称荷载作用下，对称轴截面只产生对称内力（轴力和弯矩）和对称位移（竖向位移）。
2、反对称荷载作用下奇数跨对称结构的半边结构：反对称荷载作用下，对称轴截面只产生反对称内力（剪力）和反对称位移（水平位移、角位移）。
一、奇数跨：
二、偶数跨（1）对称荷载：正对称荷载作用下，对称轴截面只产生对称内力（轴力、弯矩、竖柱轴力）和对称位移（竖向位移，可忽略）；反对称内力 M = Q = 0。
二、偶数跨（2）反对称荷载：反对称荷载作用下，对称轴截面只产生反对称内力（剪力、竖柱弯矩和剪力）和反对称位移（水平位移、角位移）；对称内力 N = 0；可取无限短跨加反弯点的半结构。
例题：四跨刚架，每跨4m，承受12 kN/m与24 kN/m，刚度为 EI、2EI。把荷载分解为对称与反对称两组分别计算，得到 M_对称 与 M_反对称，叠加得最终M图（kN·m）。
承接上页：本页给出取半结构后的计算简图（4m、4m，刚度EI）与 M_P 图，用于反对称情形下的位移法计算。
取半结构后：∑M_A = 0，M_AC + M_AB = 0，据此求得 θ_A；
进而得各杆端弯矩（图中标注 20、－20、8、－8、－4 kN·m 等）。
例题：12 kN/m，尺寸4m、3m、4m、4m，刚度 4I、4I、5I、4I、5I，i = 1。
由 ∑M_A = 0 求得 θ_A，进而得到各杆端弯矩（－8、20、8、4 kN·m 等）。
结论：1）斜梁（静定或超静定）受竖向荷载作用时，其弯矩图与同水平跨度同荷载的水平梁弯矩图相同；2）对称结构在对称荷载作用下，与对称轴重合的杆弯矩=0，剪力=0。
习题：7-12，13，14。
§7-6 位移法的基本体系——一、超静定结构计算的总原则：欲求超静定结构先取一个基本体系，然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。
二、基本未知量的选取：
三、选择基本体系；四、建立基本方程：在原结构上加附加刚臂与附加链杆得到基本体系，由附加约束上的总反力为零建立方程。
例题：8m、4m，线刚度 i、i、2i，承受3 kN/m。
由单位位移 Δ₁ = 1、Δ₂ = 1 分别求出刚度系数：
典型方程：k₁₁Δ₁ + k₁₂Δ₂ + F₁P = 0；k₂₁Δ₁ + k₂₂Δ₂ + F₂P = 0。
五、计算结点位移：由 M_P 图求得自由项 F₁P = 4 kN·m、F₂P = －6 kN，代入位移法方程解得 Δ₁、Δ₂。
六、绘制弯矩图：本页给出M图（kN·m），标注 4.42、13.62、5.69、1.4 等数值。
具有n个独立结点位移的超静定结构：
k₁₁Δ₁ + k₁₂Δ₂ + … + k₁ₙΔₙ + F₁P = 0；k₂₁Δ₁ + k₂₂Δ₂ + … + k₂ₙΔₙ + F₂P = 0；…；kₙ₁Δ₁ + … + kₙₙΔₙ + FₙP = 0
由反力互等定理有 k_ij = k_ji，刚度矩阵 K 对称、正定。
例1：试用位移法分析图示刚架。尺寸 4m、4m、5m、4m、2m，q = 20 kN/m，惯性矩为 4I₀、5I₀、3I₀、3I₀。
（3）位移法方程：k₁₁Δ₁ + k₁₂Δ₂ + k₁₃Δ₃ + F₁P = 0 等三式。
（4）计算系数：k₁₁ = 3 + 4 + 3 = 10，k₁₂ = k₂₁ = 2，k₂₂ = 4 + 3 + 2 = 9，k₁₃ = k₃₁、k₂₃ = k₃₂ 由相应单位位移图求得。
（5）计算自由项：
另有 k₃₃ = (1/6) + (9/16) = 35/48，k₃₁ = k₁₃ = －9/8，k₃₂ = k₂₃ = －1/2。
（6）建立位移法基本方程；（7）解方程求结点位移；（8）绘制弯矩图：本页给出M图（kN·m），标注 18.6、42.8、47.8、26.7、23.8、14.9、53.6、8.9、3.97 等数值。
（9）校核：结点及局部杆件的静力平衡条件的校核。
§7-7 超静定结构的特性：
本页对比同一刚架（8m、6m，20 kN/m）在 I₁/I₂ 取不同比值时的弯矩图：
一般情况下，非荷载外因引起的内力与各杆的刚度绝对值成正比。因此，为了提高结构对温度改变和支座移动等因素的抵抗能力，增大结构截面尺寸并不是明智的选择。
工程实践应用：1）设计结构要注意防止、消除或减轻自内力的影响（设置沉降缝、温度缝）；2）利用自内力来调节超静定结构的内力（预应力结构）。
4、温度改变、支座移动、材料收缩、制造误差等因素对超静定结构会产生内力（自内力状态）：Σδ_ij·X_i + Δ_iC + Δ_it = 0；δ_ij 与各杆刚度成反比，Δ_iC 与刚度无关，Δ_it 由温度变形算式计算。
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