05 第五章 概率基础.ppt

第1页：第五章概率基础封面

第五章概率基础

第2页：本章主要内容

• 本章主要内容
• 概率论的发展史
• 随机事件(Random Events)
• 概率的统计定义
• 古典概型(Classical Probability)
• 几何概率（Geometric Probability)
• 条件概率(Conditional Probability)
• 事件的独立性(Independence of Events)

第3页：随机试验

• 第一节随机事件一、随机试验(Random experiment) 为研究随机现象规律性，往往进行试验。例如：
• 1. 抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。
• 2. 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。
• 3. 抛一枚骰子，观察出现的点数。
• 4. 记录车站售票处一天内售出的车票数。
• 5. 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
• 6. 记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。

第4页：随机试验的三个特点

• 这些试验都具有以下的特点：
• 可重复性：可在相同条件下重复进行
• 可预知性：试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；
• 随机性：一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验称为随机试验(Random experiment)，表示为E 。

第5页：事件的分类

• 二、事件（Event)
• 必然事件：某件事情在一次试验中一定发生如：“在一副扑克牌中任摸14张，其中有两张花色是不同”就是必然事件。
• 不可能事件：某件事情在一次试验中一定不发生如：“在一副扑克牌中任摸14张，其中没有两张花色是不同的”就是不可能事件。
• 随机事件（A,B,C,…) ：某件事情在一次试验中既可能发生，也可能不发生如：“掷一枚硬币，出现正面朝上”“扔一枚骰子，出想6点”

第6页：基本事件与复合事件

• 基本事件（）：试验的每一个结果都是一个事件，这些事件不可能再分解成更简单的事件
• 一般的事件由基本事件复合而成。例如：考察掷一个骰子一次的试验，可能发生的结果有6种
• “掷得1点”
• “掷得2点”
• “掷得3点”
• “掷得4点”
• “掷得5点”
• “掷得6点”
• “掷得奇数”
• “掷得偶数”基本事件复合事件

第7页：硬币连抛三次的基本事件

例1 对于试验E：将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况，若记“正面”为H，“反面”为T，则基本事件有：HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH ，TTT随机事件A＝“至少出一个正面”＝{HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH}；B=“两次出现同一面”={HHH,TTT} C=“恰好出现一次正面”={HTT，THT，TTH}

第8页：样本空间

• 20世纪，冯.米泽斯(Von Mises)开始用集合论研究事件。
• 1. 样本空间
• 样本点：随机试验E的每一个可能结果
• 样本空间：样本点的全体，即随机试验E的所有可能结果组成的集合，记为。
• 例1：掷一枚硬币，考察出现向上的面，试验的可能结果有：“正面向上”，“反面向上”两个，则样本空间为：三、事件的集合论定义

第9页：事件的集合论定义

• 2. 事件的集合论定义
• 事件可以看作是样本空间的子集事件A不发生不是A中的点事件A发生是A中的点事件A子集AA基本事件、样本点点（元素）不可能事件空集必然事件、样本空间空间概率论解释集合论解释符号

第10页：事件的包含与相等、和

• （1）事件的包含与相等
• 若“A发生必导致B发生”记为
• 若,则称事件A与B相等,记为A=B.
• （2）事件的和（并）
• “事件A与B至少有一个发生”,记作A∪B
• 3、事件间的关系与运算

第11页：事件的积与差

• （3）事件的积
• 事件A与B同时发生，记作A∩B＝AB
• n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作A1A2…An
• （4）事件的差
• 事件A发生而B不发生,记为A－B
• 思考：何时A-B=φ?何时A-B=A？

第12页：互斥事件与逆事件

• （5）互斥事件
• 若事件A与B不能同时发生,即AB=φ,则称事件A与B互斥,或互不相容
• （6）逆事件
• 设A，B为两事件,若AB=φ且A∪B=Ω,则称事件A与B互为逆事件或对立事件.记作，称为B是A的对立事件AΩ

第13页：

第14页：三人射击事件运算例题

• 解：
• A1：“至少有一人命中目标”：
• A2：“恰有一人命中目标”：
• A3：“恰有两人命中目标”：
• A4：“三人均命中目标”：
• A5：“三人均未命中目标”：
• A6：“最多有一人命中目标”：例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：

第15页：事件的频率

• 第三节概率的统计定义一、事件的频率(Frequency)
• 1.定义：设E为任一随机试验，A为其中任一事件，在相同条件下，把E独立的重复做n次，nA表示事件A在这n次试验中出现的次数(即频数)。比值称为事件A在这n次试验中出现的频率(Frequency).

第16页：频率的性质

• 2.频率的性质
• 非负性：0≤fn(A)≤1；
• 规范性：fn(Ω)＝1，fn(φ)=0；
• 可加性：若AB＝φ，则fn(A∪B)＝fn(A)＋fn(B).
• 稳定性：当试验次数n增大时，频率fn(A)逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率.

第17页：频率稳定于概率

• 实践证明：频率稳定于概率
• （1）历史上曾有人做过试验，试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。

本页以图示与公式为主，源文件仅提取到少量文字，建议对照原课件图片补充本页要点说明。

第18页：男女性别比率稳定于0.5

男女性别比率稳定于0.5：从人口普查资料看，男性占全体人数的比例几乎年年不变。

第19页：概率的统计定义

定义：设有随机试验，若当试验的次数充分大时，事件的发生频率稳定在某数附近摆动，则称该数为事件的概率(Probability)，记为：注：1 事件出现的概率是事件的一种属性。也就是说完全决定于事件本身的结果，是先于试验客观存在的。2 概率的统计定义只是描述性的。3 通常只能在充分大时，以事件出现的频率作为事件概率的近似值－－（monto calo方法的基本思想）二、概率的统计定义

第20页：概率的公理化定义

• 第四节概率的公理化定义
• 1.定义：若对随机试验E所对应的样本空间Ω中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：
• (1)非负性：P(A)≥0；
• (2)规范性：P(Ω)＝1；
• (3)可列可加性：设A1，A2，……是一列两两互不相容的事件，即AiAj＝φ，(i≠j)，i,j＝1,2,…,有P(A1∪A2∪…)＝P(A1)＋P(A2)+…
• 则称P(A)为事件A的概率。

第21页：概率的性质

2. 概率的性质

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第22页：

第23页：整除概率例题

• 例.在1～10这10个自然数中任取一数，求
• （1）取到的数能被2或3整除的概率，
• （2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，
• （3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。
• 解:设A=“取到的数能被2整除”; B=“取到的数能被3整除”。则
• P(A)=1/2 P(B) = 3/10 P(AB) = 1/10
• (1)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=7/10
• (3)P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/2-1/10=2/5

第24页：古典概型

• 第五节古典概型
• “古典概型”是最简单、最直观的概率模型。
• 定义：若某实验E满足：
• 1.有限性：样本空间Ω＝{ω1,ω2, … ,ωn}
• 2.等可能性：P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。则称E为古典概型也叫等可能概型。

第25页：概率的古典定义

设在古典概型中，试验E共有n个基本件，事件A包含了m个基本事件，则事件A的概率为二、概率的古典定义

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第26页：投掷两枚硬币例题

• 例：任意投掷两枚均匀的硬币，求A＝“恰好发生一个正面向上”的概率。
• 解：试验的所有结果：
• （正，正）（正，反）（反，正）（反，反）
• 根据硬币的均匀性、对称性、抛的任意性，四种结果具有等可能性，这是一个古典概型。
• A＝{（正、反）（反、正）}
• 所以，概率P=2/4＝

第27页：三个子女家庭例题

• 例：有三个子女的家庭，设每个孩子是男是女的概率相等，则至少有一个男孩的概率是多少?
• 解：设H=“某个孩子是男孩”，A=“至少有一个男孩”
• 试验所有结果为：{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT，TTT}
• 事件A={HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT}
• 从而，n=8，m=7
• P(A) = m/n= 7/8

第28页：几何概型的定义

• 1.几何概型：若一个试验具有两个特征：
• （1）每次试验结果有无限个，且全体可以用一个有度量的几何区域来表示
• （2）每次试验的各种结果等可能的。则称这样的试验是几何概型。
• 2.几何概率：设几何概型的样本空间可表示成有度量的区域，记为，事件A所对应的区域记为A，则定义事件A的概率为：第六节几何概型（一）几何概型的定义

第29页：电台报时等待时间例题

• 例某人发现他的表停了，他打开收音机想听电台报时，试求它等待的时间不超过10分钟的概率。
• 解：因为电台每隔60分钟(即1小时)报时一次,因此，可认为此人打开收音机的时刻处在[0，60]上任何一点都是等可能的，其样本点有无限多个，样本空间就是区间Ω=[0，60]。设事件A=“等待时间不超过10分钟”，则导致事件A发生的样本点是打开收音机的时刻处于区间[50，60]上的任一点。这个区间长度为10(单位:分) 。而Ω的长度为60(单位:分)。由几何概率的定义，

第30页：布丰投针问题

例（布丰问题）平面上有距离为d的一族平行线，向此平面任意投掷一长为l(l<d)的针，求针与平行线相交的概率。dlxMxd/20

第31页：蒙特卡洛方法

• 从而，应用：
• 历史上不少学者用此来计算近似值。方法是：投针n次，记录针与平行线相交的次数，
• 再以频率作为概率的近似值，就有：Monto Carlo方法

第32页：条件概率的思考

• 第七节条件概率思考：袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球(不放回)，问：
• 第一个人取得红球的概率是多少？
• 第二个人取得红球的概率是多少？
• 若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？

第33页：条件概率的定义

• 一、条件概率
• 已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为A条件下B的条件概率，记作P(B|A)
• 定义：设A、B为两个事件，且P(B)>0，则事件B已经发生的条件下，事件A发生的条件概率P(B|A)定义为：

第34页：甲乙两市下雨例题

• 例：甲乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录知道一年中雨天的比例占20％，乙市占14％，两地同时下雨占12％，试求：
• （1）甲市下雨的条件下，乙市出现雨天的概率
• （2）乙市出现雨天的条件下，甲市下雨的概率
• （3）甲市或乙市下雨的概率
• 解：记A=“甲市出现雨天”，B=“乙市出现雨天”
• 根据题意，P(A)=
• 0.20，P(B)=
• 0.14，P(AB)=
• 从而，在乙市下雨的条件下，甲市有
• 5.7％的可能要下雨，可能性很大。因此，如从乙市出差到甲市，又适逢乙市下雨，那么最好携带雨具。

第35页：

第36页：概率的乘法公式

• 设A、B∈Ω，P（A）>0,则
• P(AB)＝P(A)P(B|A).上式就称为事件A、B的概率乘法公式。
• 上式还可推广到三个事件的情形：
• P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).
• 一般地，有下列公式：
• P(A1A2…An)＝(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1)二、乘法公式

第37页：

第38页：第八节事件的独立性

第八节事件的独立性

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第39页：

第40页：两门高射炮例题

• 例两门高射炮彼此独立的射击一架敌机，设甲炮击中敌机的概率为
• 0.9，乙炮击中敌机的概率为
• 0.8，求敌机被击中的概率？

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