05 第四章 统计推断概述.ppt

第1页：统计推断概述

章节导览页，概括抽样分布、参数估计简介与假设检验基本原理三部分内容。

第2页：抽样分布的概念

• 样本统计量的概率分布称为抽样分布（sampling distribution）
• 样本是通过对总体的随机抽样获得的
• 样本统计量是随机变量，有一定的概率分布
• 简单随机样本
• 抽样是完全随机的-总体中的每个个体都有相同的机会被抽中
• 抽样是彼此对立的-每次抽样的结果都不会影响到其他抽样的结果

第3页：抽样分布的形成示意

抽样分布的概念原总体样本1样本2样本n…………新总体n→∞统计量

第4页：卡方分布的定义

• χ2 (chi-square)分布
• 定义
• 设随机变量X1, X2, …, Xn彼此独立且都服从标准正态分布N(0, 1)，则随机变量服从自由度为n的χ2分布，记为

第5页：卡方分布曲线

本页为卡方分布曲线的图示，源文件仅保留分布名称。卡方分布由若干相互独立的标准正态随机变量的平方和构成，其取值恒大于0，曲线形状随自由度变化：自由度较明显偏斜，自由度增大后逐渐趋于对称。

第6页：卡方分布的性质

• χ2 分布
• 性质
• χ2 分布随机变量的取值范围为（0，∞）
• 若Y1~ χ2 (n)，Y2~ χ2 (m)，且相互独立，则•Y1±Y2~ χ2 (n ±m)
• χ2 分布为非对称分布，其分布曲线的形状由自由度决定，自由度越大，分布越趋于对称
• 当n→∞，χ2 (n) →N(n, 2n)

第7页：卡方分布上侧分位数表

查表页，指出卡方分布的上侧分位数可查附表3获得。

第8页：t分布的定义

• t 分布
• 定义
• 设Z~ N(0, 1)，Y~ χ2 (n)，且相互独立，则服从自由度为n的t 分布，记为

第9页：t分布曲线

本页为t分布曲线的图示，源文件仅保留分布名称。t分布由标准正态变量与卡方变量构造而成，形态与标准正态分布相近，关于t=0对称且只有一个峰，自由度越小尾部越厚。

第10页：t分布的性质

• t 分布
• 性质
• 与标准正态分布相似•关于t= 0对称•只有一个峰，峰值在t= 0
• 分布曲线受自由度影响，自由度越小，离散程度越大
• 当n→∞，t(n) →N(0, 1)

第11页：t分布与正态分布的比较

对比图页，比较t分布与标准正态分布曲线在峰部与尾部的差异，t分布尾部更厚。

第12页：t分布双侧分位数表

查表页，指出t分布的双侧分位数可查附表4获得。

第13页：F分布的定义

• F 分布
• 定义
• 若X~ χ2 (m)，Y~ χ2 (n)，且相互独立，则服从自由度为m（第一自由度）和n（第二自由度）的F 分布，记为

第14页：F分布曲线

本页为F分布曲线的图示，源文件仅保留分布名称。F分布由两个相互独立的卡方变量各除以其自由度之比构成，取值恒大于0，曲线形状同时受分子自由度与分母自由度影响。

第15页：F分布的性质

• F 分布
• 性质
• F分布随机变量的取值范围为（0，∞）
• F分布的分布曲线受两个自由度的影响
• 若F~ F(m, n)，则1/F~ F(n, m)
• 若X~ t(n)，则X2~ F(1, n)

第16页：F分布上侧分位数表

查表页，指出F分布的上侧分位数可查附表5获得。

第17页：正态总体样本平均数的期望和方差

• 正态总体样本平均数的分布
• 样本平均数的期望和方差
• 设样本来自均数为μ，方差为σ2的总体
• 设样本为简单随机样本

第18页：样本平均数的期望

公式页，说明样本平均数的期望等于总体均数μ。

第19页：样本平均数的方差与标准误

公式页，说明样本平均数的方差为σ²/n，其平方根即平均数的标准误。

第20页：正态总体样本平均数的分布

• 正态总体样本平均数的分布
• 设样本来自正态总体N(μ, σ2)，则样本平均数也服从正态分布，其总体均数为μ，方差为σ2/n。

第21页：中心极限定理

• 无论样本所来自的总体是否服从正态分布，只要样本足够大，样本平均数就近似服从正态分布，样本越大，近似程度越好。
• 所需的样本含量随原总体的分布而异，但只要样本含量≥30，无论原总体是何分布，都足以满足近似的要求。
• 设原总体的期望为μ，方差为σ2，则样本平均数的期望为μ，方差为σ2/n。

第22页：正态总体样本方差的期望和方差

• 正态总体样本方差的分布
• 样本方差的期望和方差
• 设样本来自均数为μ，方差为σ2的总体
• 设样本为简单随机样本

第23页：样本方差的分布

结论页，说明正态总体样本方差的抽样分布及其与卡方分布的联系。

第24页：参数估计的定义与基本形式

• 参数估计
• 参数估计的定义
• 以样本统计量对总体参数进行估计
• 基本形式
• 点估计（point estimation）
• 区间估计（interval estimation）

第25页：点估计的含义

• 参数估计-点估计
• 以样本统计量作为总体参数的一个估计值例：样本观测值

第26页：点估计的四种构造方法

• 参数估计-点估计
• 基本方法-构造函数g(x)的方法•矩法：用与总体参数相应的样本统计量作为估计值，必要时可对统计量作适当调整•最大似然法：用使样本观测值的似然函数达到最大的统计量作为估计值•最小二乘法：用使估计误差平方和的统计量作为估计值•贝叶斯法：根据贝叶斯理论构造估计量

第27页：估计量的无偏性

• 参数估计-点估计
• 衡量估计值优劣的指标
• 无偏性：无偏估计：有偏估计：

第28页：样本方差是总体方差的无偏估计

结论页，说明样本方差s²的期望等于总体方差σ²，因此是σ²的无偏估计量。

第29页：抽样方差与标准误

• 参数估计-点估计
• 抽样方差/标准误：估计值的方差/标准差样本平均数的抽样方差：样本方差的抽样方差：

第30页：均方误差、一致性、有效性与充分性

• 参数估计-点估计
• 均方误差：
• 一致性：估计值随着样本的增大而更加接近真值
• 有效性: 抽样方差达到最小的无偏估计
• 充分性: 估计函数包含了关于被估参数的全部信息

第31页：区间估计的概念

• 参数估计-区间估计
• 以一定的置信度对参数可能取值范围的估计1 -α：置信度（置信水平）[t1, t2]：置信区间t1、t2：置信限（置信下限、置信上限）求统计量t1和t2，使得对于给定的α(0≤α≤1，常用α=0.05和α=0.01)，有

第32页：总体平均数的区间估计（方差已知）

• 参数估计-区间估计
• 正态总体平均数的区间估计当σ2已知标准正态分布两尾概率分位点

第33页：总体平均数的区间估计（方差未知）

方法页，说明σ²未知时以样本方差代替总体方差构造总体平均数的置信区间。

第34页：t分布两尾概率分位点

公式页，说明方差未知时置信区间采用t分布的两尾概率分位点作为临界值。

第35页：总体方差的区间估计

• 参数估计-区间估计
• 正态总体方差的区间估计χ2分布上尾概率分位点

第36页：置信区间与两侧尾部概率

置信区间上下限与两侧尾部概率α/2的对应关系，中间部分即置信度1−α。

第37页：假设与假设检验

• 假设检验
• 假设(hypothsis)
• 对总体的某些未知的或不完全知道的性质所提出的待考察的命题
• 假设检验
• 对假设成立与否做出的推断

第38页：问题的提出：平均背膘厚是否为9mm

• 假设检验的基本原理
• 问题的提出
• 例：某猪场称该场的猪在体重为100kg时的平均背膘厚度为9mm。
• 问题：此说法是否正确？有4种可能性（假设）1）正确：μ＝92）不正确：μ≠9（| μ－9| > 0）3）不正确：μ< 94）不正确：μ> 9
• 三对假设：μ＝μ≠，μ＝μ，μ＝

第39页：如何回答与抽样误差难题

• 假设检验的基本原理
• 如何回答
• 随机抽取一个样本
• 计算该样本的平均数
• 比较样本平均数与9mm
• 难题
• 存在抽样误差
• 当样本平均数与9mm之差达到多大时可否定μ＝9

第40页：假设检验的解决思路

• 假设检验的基本原理
• 解决的思路
• 针对要回答的问题提出一对对立的假设，并对其中的一个进行检验
• 找到一个样本统计量，它与提出的假设有关，其抽样分布已知
• 根据这个统计量观察值出现的概率，利用小概率事件原理对假设是否成立做出推断这个过程称为假设检验(hypothesis testing)

第41页：小概率事件原理

• 假设检验的基本原理
• 小概率事件原理
• 小概率事件在一次试验中几乎不会发生
• 如果某事件在一次试验中发生了，我们可认为它不是一个小概率事件
• 如果在某个假设下应当是小概率的事件在一次试验中发生了，可认为该假设不能成立

第42页：假设检验的四个基本步骤

• 假设检验的基本原理
• 假设检验的基本步骤1）提出一对对立的假设2）构造并计算检验统计量3）确定否定域4）对所作的假设进行推断

第43页：例：背膘厚检验的假设

• 假设检验的基本原理
• 例（续）设由该场随机抽取了10头猪，测得它们在体重为100kg时的平均背膘厚为8.7mm。已知该场猪的背膘厚服从正态分布，总体方差为σ2＝2.5mm21）提出假设•原假设(null hypothesis)：H0: μ= 9mm•备择假设(alternative hypothesis)：HA: μ≠9mm

第44页：检验统计量的构造条件

• 假设检验的基本原理2) 构造并计算检验统计量
• 检验统计量：用于检验原假设能否成立的统计量，满足以下条件
• 必须利用原假设提供的信息
• 抽样分布已知

第45页：否定域与显著性水平

• 假设检验的基本原理3）确定否定域
• 在检验统计量抽样分布的尾部（1侧或2侧）中划定一小概率区域，一旦计算的检验统计量的实际值落入此区域，就否定原假设，接受备择假设。
• 这个小概率也称为显著性水平，用α表示
• 通常取α＝5％或α＝1％

第46页：双侧检验的否定域

假设检验的基本原理若取α＝5％，则接受域95%否定域2.5%1.96-1.96否定域：Z> 1.96 或Z < -1.96，即|Z|> 1.96否定域2.5%

第47页：统计推断的三种结论

假设检验的基本原理4）对所作的假设进行推断－差异不显著：在α＝5％水平下，检验统计量的观察值落在接受域中－差异显著：在α＝5％水平下，检验统计量的观察值落在否定域中－差异极显著：在α＝1％水平下，检验统计量的观察值落在否定域中

第48页：例：z=−3.162 的统计推断

假设检验的基本原理z= -3.162 < -1.96 （落入否定域）否定原假设结论：该场猪的平均背膘厚与9mm差异显著若取小概率为1%，可得否定域为Z> 2.58 或Z< -2.58仍有z= -3.162 < -2.58 结论：该场猪的平均背膘厚与9mm差异极显著

第49页：双侧检验与单侧检验

• 假设检验的基本原理
• 几个相关概念1）双侧检验和单侧检验•双侧检验：否定域在检验统计量分布的两尾•单侧检验：否定域在检验统计量分布的一侧–左侧检验：否定域在检验统计量分布的左侧–右侧检验：否定域在检验统计量分布的右侧

第50页：例：左侧检验

• 假设检验的基本原理
• 例（续）
• 左侧检验1）假设：H0: μ= 9，HA: μ<92）检验统计量：同双侧检验，z= -3.162 3）否定域：取α= 0.054）推断：5%-1.64∵z= -3.162 < -1.64 ∴否定原假设

第51页：例：右侧检验

• 假设检验的基本原理
• 例（续）
• 右侧检验1）假设：H0: μ= 9，HA: μ>92）检验统计量：同双侧检验，z= -3.162 3）否定域：取α= 0.054）推断：5%1.64∵z= -3.162 < 1.64 ∴接受原假设

第52页：相伴概率的计算

假设检验的基本原理2）相伴概率P检验统计量观察值以及所有所有比它更为极端的可能值出现的概率之和双侧检验：P = P(Z < -3.162) + P(Z > 3.162)= 0.002左侧检验：P = P(Z < -3.162) = 0.001右侧检验：P = P(Z > -3.162) = 0.999

第53页：相伴概率的尾部面积

假设检验的基本原理-3.1623.162-3.162双侧检验的相伴概率左侧检验的相伴概率

第54页：相伴概率与否定域的等价性

• 假设检验的基本原理相伴概率可用于对假设的统计推断:
• 检验统计量的观察值落在否定域中等价于相伴概率小于显著性水平，即P < α
• 可以用否定域，也可用相伴概率对原假设进行推断
• 如果检验统计量是连续分布的，用否定域进行推断
• 如果检验统计量是离散分布的，用相伴概率进行推断

第55页：两类错误

• 假设检验的基本原理3）两类错误任何假设检验的结果都有犯错误的可能
• 一类错误：以真为假-原假设正确但被否定。P(一类错误) = α
• 二类错误：以假为真-原假设错误但被接受。P(二类错误) = β一般无法计算！

第56页：两类错误对应的分布区域

假设分布与真实分布重叠图中一类错误α与二类错误β所对应的区域，本页以图形标出。

第57页：假设检验基本原理（续一）

本页以图示方式呈现假设检验的基本原理，源文件未提取到图内文字，建议对照原图补充图注要点。

第58页：假设检验基本原理（续二）

本页继续以图示呈现假设检验的基本原理，源文件未提取到图内文字，建议对照原图补充图注要点。

第59页：影响二类错误概率的因素

假设检验的基本原理影响II 型错误概率大小的因素－显著性水平－样本含量n－假设分布与真实分布总体平均数之差－两个分布的总体方差

第60页：检验功效

假设检验的基本原理4）检验功效一个错误的原假设能够被否定的概率检验功效＝1 －II 型错误概率

第61页：关于假设检验的几点说明

• 假设检验的基本原理
• 几点说明
• 关于假设
• 关于统计推断的结论
• 关于单侧检验的假设
• 假设检验与置信区间的关系

第62页：假设与决策的错误矩阵

说明：本表按源文件图示整理，I型错误对应以真为假，II型错误对应以假为真。

第63页：统计推断概述习题

习题页，列出教材第59页第6、7题作为本部分课后练习。