04 第三章 随机变量与概论分布.ppt

第1页：第三章 随机变量与概率分布

第三章章节起始页，预告随机变量及其种类、概率分布、正态分布与二项分布四部分内容。

第2页：随机变量及其种类

• 随机变量（random variable）
  • 在一定范围内随机取值的变量
  • 以一定的概率分布取值的变量
• 分类
  • 离散型(discrete)随机变量：只取有限个可能值（通常为整数）
    • 例：发病个体数，产仔数
  • 连续型(continuous)随机变量：在一定范围内可取无限个可能值（实数）
    • 例：产奶量，体长，日增重

第3页：概率函数、密度函数与分布函数

概率分布

• 概率函数(probability function)
  • 随机变量取某一特定值的概率函数（离散型随机变量）
• 概率密度函数(probability density function)
  • 随机变量取某一特定值的密度函数（连续型随机变量）
• 概率分布函数(probability distribution function)
  • 随机变量取值小于或等于某特定值的概率

第4页：离散型随机变量的概率函数与分布函数

离散型随机变量的概率分布

• 概率函数X ：随机变量，x：该随机变量的某一可能取值
• 概率分布函数

第5页：例1 掷一次骰子的概率分布

离散型随机变量的概率分布

• 例1：掷一次骰子所得点数的概率函数概率分布列

第6页：例2 掷两次骰子点数之和的分布

离散型随机变量的概率分布

• 例2：掷二次骰子所得点数之和的概率分布

第7页：离散型随机变量的概率分布图

柱状图直观表示离散型随机变量各取值对应的概率大小，横轴为取值、纵轴为概率。

第8页：随机变量的期望

离散型随机变量的概率分布

• 随机变量的期望(expectation) -总体平均数对于例1：

第9页：期望的性质

离散型随机变量的概率分布

• 期望的性质(a是常量)1.2.3.4.（当X和Y彼此独立）

第10页：随机变量函数的期望

离散型随机变量的概率分布

• 随机变量的函数的期望设H(X)是随机变量X的某个函数例：对于例1：

第11页：随机变量的方差

离散型随机变量的概率分布

• 随机变量的方差(variance) -总体方差对于例1：

第12页：方差的性质

离散型随机变量的概率分布

• 方差的性质1.Var(a) = 0 （a是常量）2. Var(aX ) = a2Var(X )3. Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y ) (X和Y彼此独立）4. Var(XY ) = Var(X )Var(Y )/

第13页：连续型随机变量的概率密度函数

连续型随机变量的概率分布

• 概率密度函数
  • 满足以下条件的函数f (x)称为连续性随机变量X的概率密度函数:(x是X的任一可能取值)

第14页：概率分布函数、期望与方差

公式页，列出连续型随机变量概率分布函数、期望与方差的积分表达式。

第15页：正态分布的定义

连续型随机变量的概率分布

• 正态分布（normal distribution）
  • 具有如下概率密度函数的随机变量称为正态分布随机变量：μ= 期望σ2= 方差（可以证明这个函数满足概率密度函数的3个条件）

第16页：正态曲线的几何意义

正态分布

• 正态分布概率密度函数的几何表示正态曲线f (x)x曲线下某区间的面积即为随机变量在该区间取值的概率μ

第17页：正态分布的四个特点

• 正态分布的特点
  • 只有一个峰，峰值在x = μ处
  • 曲线关于x = μ对称，因而平均数=众数=中位数
  • x轴为曲线向左、右延伸的渐进线
  • 由两个参数决定：平均数μ和标准差σ
    • μ决定曲线在x 轴上的位置
    • σ决定曲线的形状

第18页：平均数与标准差对曲线的影响

对比图页，说明平均数μ决定正态曲线在横轴上的位置、标准差σ决定曲线的陡缓形状。

第19页：标准正态分布

• 标准正态分布(standard normal distribution)令Z服从正态分布标准正态分布对于标准化

第20页：标准正态分布的概率密度函数

公式页，给出标准正态分布的概率密度函数形式及其在零点处的取值。

第21页：标准正态分布的概率计算

说明页，指出标准正态分布的累积概率可直接查附表1得到。

第22页：情形一 P(Z≤u) 与 P(Z≥−u)

正态分布(1) P( Z≤u) 或P(Z≥-u) (u> 0)直接查表

第23页：情形二 P(Z≤−u) 与 P(Z≥u)

查表页，说明u取负值与上尾概率的查表处理方式。

第24页：情形三 P(a≤Z≤b)

查表页，说明区间概率由上下两个分位点的累积概率相减得到。

第25页：标准正态分布概率计算例题

例：设Z~ N(0, 1)，求(1) P(Z≤0.64)(2) P(Z≥1.53)(3) P(-2.12 ≤Z≤-0.53)(4) P(-0.54 ≤Z≤0.84)正态分布

第26页：标准正态分布的常用概率

正态分布P( -1 ≤Z≤1) = 68.26%P( -2 ≤Z≤2) = 95.45%P( -3 ≤Z≤3) = 99.73%P( -1.96 ≤Z≤1.96) = 95%P( -2.58 ≤Z≤2.58) = 99%几个特殊的标准正态分布概率

第27页：标准正态分布面积示意图

标准正态曲线在±1、±2、±3范围内面积占比分别为68.3%、95.5%与99.7%，本页以图形标出各区间。

第28页：两尾概率的分位点

正态分布

• 对于给定的两尾概率α求标准正态分布在x轴上的分位点
  • 附表2 （p. 276）α/2α/2

第29页：一尾概率的分位点

正态分布用2α查附表2，可得一尾概率为α时的分位点uαα

• 对于给定的一尾概率α求标准正态分布在x轴上的分位点

第30页：一般正态分布的概率计算

• 一般正态分布的概率计算
  • 转换为标准正态分布计算例：设X~ N(30, 102)，求P(X≤40)X~ N(μ, σ2)

第31页：一般正态分布的常用概率

正态分布P(μ-σ≤X≤μ+σ) = 68.26%P(μ-2σ≤X≤μ+2σ) = 95.45%P(μ-3σ≤X≤μ+3σ) = 99.73%P(μ-1.96σ≤X≤μ+1.96σ) = 95%P(μ-2.58σ≤X≤μ+2.58σ) = 99%几个特殊的一般正态分布概率

第32页：一般正态分布区间示意图

正态分布μ-3σμ-2σμ-σμμ+σμ+2σμ+3σx68.3%95.5%99.7%

第33页：偏度与峭度

• 偏度（skewness）
  • 度量一个分布的对称性的指标
• 峭度（kurtosis）
  • 度量一个分布的尖峭或平坦程度的指标（总体）（样本）（总体）（样本）

第34页：二项分布的假设条件

离散型随机变量的概率分布

• 二项分布（binomial distribution）假设：1. 在相同条件下进行了n次试验2. 每次试验只有两种可能结果（1或0）3. 结果为1的概率为p，为0的概率为1-p4. 各次试验彼此间是独立的在n次试验中，结果为1的次数（X = 0，1，2，…，n）服从二项分布，表示为

第35页：二项分布的概率函数、期望与方差

离散型随机变量的概率分布

• 二项分布的概率函数
• 二项分布的期望
• 二项分布的方差

第36页：例3 一窝10头仔猪中公猪头数的概率

离散型随机变量的概率分布

• 例3：一头母猪一窝产了10头仔猪，分别求其中有2头公猪和6头公猪的概率。产公猪头数的期望值：产公猪头数的方差：

第37页：第三章习题

习题页，列出教材第36页第2、3、5、6、7题作为本章课后练习。