05 第五章 方差分析.ppt

第1页：第五章 方差分析

第五章方差分析t检验法适用于样本平均数与总体平均数以及两个样本平均数间的差异显著性检验，但在生产和科学研究中经常会遇到比较多个处理优劣的问题，即需进行多个平均数间的差异显著性检验。多个样本平均数间的差异显著性检验，t检验法是不适宜的，原因有三：

第2页：一试验包含5个处理

例如，一试验包含5个处理，如采用t检验法进行检验，需作=10次两两平均数的差异显著性检验；若有k个处理，则要作k(k-1)/2次类似的检验。1、检验过程烦琐2、无统一的试验误差，试验误差估计的精确性和检验的灵敏性低对同一试验的多个处理进行比较时，应该有一个统一的试验误差的估计值。若用t

第3页：试验有5个处理

例如，试验有5个处理，每个处理重复6次，共有30个观测值。进行t检验时，每次只能利用两个处理共12个观测值估计试验误差，误差自由度为2(6-1)=10；若利用整个试验的30个观测值估计试验误差，显然估计的精确性高，且误差自由度为5(6-1)=25。可见，在用t检法进行检验时，由

第4页：方差分析是将k个处理的观测值作

方差分析是将k个处理的观测值作为一个整体看待，把观测值总变异的偏差平方和及自由度分解为相应于不同变异来源的偏差平方和及自由度，进而获得不同变异来源的总体方差估计值；由总体方差估计值构造F统计量，计算F值，检验各样本所属总体平均数是否相等。方差分析(analysis of variance)是由英国统计学家

第5页：1方差分析的基本原理与步骤

1方差分析的基本原理与步骤1.1线性模型与基本假定假设某单因素试验有k个处理，每个处理有n次重复，共有nk个观测值。试验资料的数据模式如表5-1所示。

第6页：表5-1k个处理每个处理

表5-1k个处理每个处理有n个观测值的数据模式表中表示第i个处理的第j个观测值i=1,2,…,k；j=1,2,…,n）；

第7页：表示第i个处理n个观测值之

表示第i个处理n个观测值之和；表示全部观测值的总和；表示第i个处理的平均数；表示全部观测值的总平均数；可以分解为：表示第i个处理n个观测值的总体平均数。（5-1）

第8页：比较各处理的影响大小

为了比较各处理的影响大小，将再进行分解，令（5-2）（5-3）则（5-4）其中μ表示所有试验观测值（nk个）总体的平均数；

第9页：ai是第i个处理的效应

ai是第i个处理的效应（treatmenteffects）表示处理i对试验结果产生的影响。显然有（5-5）εij是试验误差，相互独立，且服从正态分布N（0，σ2）。叫做单因素试验的线性模型（linear model）亦称数学模型。观察值xij表示为总平均数μ、处理效应αi、

第10页：由εij相互独立且服从正态分布N（0

由εij相互独立且服从正态分布N（0，σ2），可知各处理Ai（i=1，2，…，k）所属总体亦应具正态性，即服从正态分布N(μi，σ2)。尽管各总体的均数可以不等或相等，σ2则必须是相等的（外界试验条件尽可能保持一致，处理效应才可比）。所以，单因素试验的数学模型可归纳为：效应的可加性（

第11页：表5-1中的观测值xij

若将表5-1中的观测值xij（i=1,2,…,k；j=1,2,…,n）的数据结构（模型）用样本符号来表示，则（5-6）与（5-4）式比较可知，分别是μ、（μi-μ）=、（xij-）=的估计值。每个观测值都包含处理效应（μi-μ或），与误差（或)，故kn

第12页：1.2方差分析的基本步骤

1.2方差分析的基本步骤1.2.1偏差平方和与自由度的分解在方差分析中是用样本方差即均方（meansquares）来度量数据资料的变异程度。将总变异分解为处理间变异和处理内变异，就是要将总均方分解为处理间均方和处理内均方。总偏差平方和：分解为处理间偏差平方和与处理内偏差平方和两部分；总自由度：

第13页：总偏差平方和的分解在表5-1中

（1）总偏差平方和的分解在表5-1中，反映全部观测值总变异的总偏差平方和是各观测值xij与总平均数的离均差平方和，记为SST。即

第14页：试验处理个数

说明：k，试验处理个数；n，每个处理的重复数

第15页：其中所以（5-7）为各处理平均数

其中所以（5-7）为各处理平均数与总平均数的离均差平方和与重复数n的乘积，反映了重复n次的处理间变异，称为处理间偏差平方和，记为SSt，即 离均差和为零

第16页：为各处理内离均差偏差平方和之

为各处理内离均差偏差平方和之和，反映了各处理内的变异即误差，称为处理内偏差平方和或误差偏差平方和，记为SSe，即于是有SST=SSt+SSe（5-8） 总偏差平方和=处理间偏差平方和+处理内偏差平方和或=因素偏差平方和+误差偏差平方和所以

第17页：总自由度的分解在计算总偏差平方和时

（2）总自由度的分解在计算总偏差平方和时，资料中的各个观测值要受这一条件的约束，故总自由度等于资料中观测值的总个数减1，即kn-1。总自由度记为dfT 各偏差平方和计算公式：(5-9)其中，C= /kn称为矫正数或修正项。dfT=kn-1

第18页：在计算处理内平方和时

在计算处理内平方和时，要受k个条件的约束，即（i=1,2,…,k。故处理内自由度为资料中观测值的总个数减k，即kn-k。处理内自由度记为dfe，在计算处理间平方和时，各处理均数要受这一条件的约束，故处理间自由度为处理数减1，即k-1。处理间自由度记为dft， dft=k-1dfe=kn-k=k(n-1)

第19页：(5-11)(5-10)因

所以 (5-11)(5-10)因为综合以上分析：

第20页：各部分偏差平方和除以各自的自

各部分偏差平方和除以各自的自由度便可得到总均方、处理间均方和处理内均方，分别记为MST（或）、MSt（或）和MSe（或）。（5-12）即注意：总均方不等于处理间均方加处理内均方。

第21页：例5-1

【例5-1】以淀粉为原料生产葡萄糖过程中，残留的许多糖蜜可用于酱色生产。生产酱色之前应尽可能彻底除杂，以保证酱色质量。今选用5中除杂方法，每种方法做4次试验，试验结果见表5-2，试分析不同除杂方法的除杂效果有无差异？

第22页：单因素试验处理数k=5

单因素试验，处理数k=5，重复数n=4。各项偏差平方和及自由度计算如下：矫正数总偏差平方和

第23页：处理间（不同除杂方法间）的偏差平方

处理间（不同除杂方法间）的偏差平方和处理内（误差）的偏差平方和

第24页：总自由度处理间自由度处理内自由度用SSt

总自由度处理间自由度处理内自由度用SSt、SSe分别除以dft和dfe便可得到处理间均方MSt及处理内均方MSe。

第25页：假设各处理没有真实差异

假设各处理没有真实差异，那么和都是误差方差的估计量。以为分母，为分子，求其比值。统计学上把两个均方之比值称为F值。即1.2.2构造F统计量，进行F检验（1）F统计量构造～F（df1,df2）

第26页：F检验附表4是专门为检验代表的总体方差

（2）F检验附表4是专门为检验代表的总体方差是否比代表的总体方差大而设计的。若实际计算的F值大于，则F值在α=0.05的水平上显著，我们以95%的可靠性(即冒5%的风险)推断代表的总体方差大于代表的总体方差。这种用F值出现概率的大小推断两个总体方差是否相等的方法称为F检验（F-

第27页：在单因素试验结果的方差分析中

在单因素试验结果的方差分析中，无效假设为H0：μ1=μ2=…=μk，备择假设为HA：各μi不全相等，或H0：=0，HA: ≠0；F=MSt/MSe，也就是要判断处理间均方是否显著大于处理内(误差)均方。如果结论是肯定的，否定H0；反之，接受H0。

第28页：实际进行F检验时

实际进行F检验时，是将由试验资料所算得的F值与根据df1=dft（大均方，即分子均方的自由度）、df2=dfe小（均方，即分母均方的自由度）查附表所得的临界F值，相比较作出统计推断。若F＜，即P＞0.05，不能否定H0，统计学上，把这一检验结果表述为：各处理间差异不显著，在F值的右上方标记“ns

第29页：若≤F＜即0.01＜P≤0.05

若≤F＜，即0.01＜P≤0.05，否定H0，接受HA，统计学上，把这一检验结果表述为：各处理间差异显著，在F值的右上方标记“*”；若F≥，即P≤0.01，否定H0，接受HA，统计学上，把这一检验结果表述为：各处理间差异极显著，在F值的右上方标记“**”。

第30页：对于【例5.1】

对于【例5.1】，因为F=MSt/MSe=32.12/0.65=49.42**；根据df1=dft=4，df2=dfe=15查附表4，得F0.01(4，15)＝4.89；因为F＞F0.01(4，15)=4.89，P＜0.01表明5种不同除杂方法间的除杂效果差异极显著，不同除杂方法的除杂效果不同。

第31页：表5-3 表5-2资料方差分析表

在方差分析中，通常将变异来源、偏差平方和、自由度、均方和F值归纳成一张方差分析表，见表5-3。表5-3表5-2资料方差分析表变异来源偏差平方和自由度方差F值F临界值显著性处理间

F0.05（4,15)＝3.05F0.01(4,15)=4.89**处理内9.7225150.65总变异138.197519

第32页：F检验是整体检验

F检验是整体检验。F值显著或极显著，否定了无效假设H0，只能表明试验的总变异主要来源于处理间的变异或因素水平变化引起的变异，试验中各处理平均数间存在显著或极显著差异，但并不意味着每两个处理平均数间的差异都显著或极显著，也不能具体说明哪些处理平均数间有显著或极显著差异，哪些差异不显著。

第33页：统计上把多个平均数两两间的相互比较称

统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比较(multiple comparisons)。多重比较的方法甚多，常用的有最小显著差数法(LSD法)和最小显著极差法(LSR法)，现分别介绍如下。

第34页：此法的基本作法是

此法的基本作法是：在F检验显著的前提下，先计算出显著水平为α的最小显著差数，然后将任意两个处理平均数之差的绝对值与其比较。(LSD法，least significant difference)（1）最小显著差数法LSD法实质是t检验法

第35页：若＞LSDα时则与在α水平上差异显著

若＞LSDα时，则与在α水平上差异显著；反之，则在α水平上差异不显著。最小显著差数由下式计算，式中：为在F检验中的误差自由度下，显著水平为α的临界t值，为均数差异标准误，由下式求得， 其中为F检验中的误差均方，n为各处理的重复数。(5-17)（5-16）

第36页：当显著水平α=0.05和0.01时

当显著水平α=0.05和0.01时，从t值表中查出和，代入（5-17）式得：利用LSD法进行多重比较时，基本步骤如下：

• 列出平均数的多重比较表各处理按其平均数从大到小自上而下排列
• 计算最小显著差数和
• 将平均数多重比较表中两两平均数的差数与、

第37页：例5-1分析

对例5-1分析，均数之差的标准误查t值表得：t0.05(dfe)=t0.05(15)=2.131t0.01(dfe)=t0.01(15)=2.947所以，显著水平为0.05与0.01的最小显著差数为：

第38页：表5-6中的10个差数与

将表5-6中的10个差数与，比较：小于者不显著，在差数的右上方标记“ns”，或不标记符号；介于与之间者显著，在差数的右上方标记“*”；大于者极显著，在差数的右上方标记“**”。

第39页：表5-4 5种除杂方法除杂效果多重比较结

表5-4 5种除杂方法除杂效果多重比较结果（LSD法）对于【例5-1】各处理进行多重比较，结果见表5-4。除杂方法A428.47.1**3.2 **1.4*0.9A227.56.2 **2.3 **0.5A327.05.7 **1.8 **A125.23.9 **A521.3注：LSD0.05=1.21，LSD0.01=1.68结论：除A4与A2、A2与A3差异不显著外，其余方法之间的差异达到显著或极显著水平。A4除杂效果最好，A5效果最差。

注：LSD0.05＝1.21，LSD0.01＝1.68；**表示差异极显著，*表示差异显著。差数按源文顺序排列（依次与A5、A1、A3、A2比较）。

第40页：1LSD法实质上就是t检验法

1、LSD法实质上就是t检验法。LSD法的应用说明：2、LSD法适用于各处理组与对照组比较而处理组间不进行比较的比较形式。对于多个处理平均数所有可能的两两比较，LSD法的优点在于方法比较简便，克服一般检验法所具有的某些缺点，但是由于没有考虑相互比较的处理平均数依数值大小排列上的秩次，

第41页：LSR法的特点是把平均数的差数看成

LSR法的特点是把平均数的差数看成是平均数的极差，根据极差范围内所包含的处理数（称为秩次距）k的不同而采用不同的检验尺度，以克服LSD法的不足。在显著水平α上依秩次距k的不同而采用的不同的检验尺度叫做最小显著极差LSR。(LSR法，Least significant ranges)（2）最小显著极差法

第42页：有10个要相互比较

例如有10个要相互比较，先将10个依其数值大小顺次排列，两极端平均数的差数（极差）的显著性，由其差数是否大于秩次距k=10时的最小显著极差决定(≥为显著，＜为不显著）；而后是秩次距k=9的平均数的极差的显著性，则由极差是否大于k=9时的最小显著极差决定；……

第43页：LSR法克服了LSD法的不足

LSR法克服了LSD法的不足，但检验的工作量有所增加。常用的LSR法有q检验法（q-test，Tukey法）和新复极差法两种（SSR法，Duncan法）。

第44页：式中R为极差

式中，R为极差，为标准误，其分布依赖于误差自由度dfe及秩次距k。利用q检验法进行多重比较时，为了简便起见，是将极差与比较，从而作出统计推断。①q检验法(q-test)Tukey，1949年提出此法是以统计量q的概率分布为基础的。q值由下式求得：（5-18）称为α

第45页：当显著水平α=0.05和0.01时

当显著水平α=0.05和0.01时，从附表5（q值表）中根据自由度及秩次距k查出和代入（5-19）式求得LSR即其中（5-19）

第46页：q检验法进行多重比较时

利用q检验法进行多重比较时，步骤如下：

• 列出平均数多重比较表
• 由自由度dfe、秩次距k查临界q值，计算最小显著极差LSR0.05,k，LSR0.01,k
• 将平均数多重比较表中的各极差与相应的最小显著极差LSR0.05,k，LSR0.01,k比较，作出统计推断

第47页：MSe=0.65

因为MSe=0.65，故标准误为根据dfe=15，k=2、3、4、5，由附表5查出α=0.05、0.01水平下临界q值，乘以标准误求得各最小显著极差，所得结果列于表5-8。对于【例5.1】，各处理平均数q法多重比较见表5-7。在表5-7中，极差0.9、0.5、1.8、3.9

本页含数据表（表5-8），源文本数字粘连严重，无法安全切分，表格待人工还原。

第48页：表5-75种除杂方法除杂效果多重比较

表5-7 5种除杂方法除杂效果多重比较结果（q法）除杂方法A428.47.1**3.2 **1.40.9A227.56.2 **2.3 **0.5A327.05.7 **1.8 **A125.23.9 **A521.3dfe秩次距kq0.05q0.01LSR0.05LSR0.011523.014.171.211.6833.674.841.481.9544.085.251.642.1254.375.561.762.24表5-8q值及LSR值

本页含数据表（表5-7），源文本数字粘连严重，无法安全切分，表格待人工还原。

第49页：表5-7中的均数差数

将表5-7中的均数差数（极差）与表5-8中相应秩次距k下的LSR比较，检验结果标记于表中。检验结果，A4、A2、A3三者差异不显著，其余两两均数间的差异极显著。随着秩次距的增加，检验尺度LSR值也在增加，可以有效地控制犯Ⅰ型错误的概率。

第50页：新复极差法（new multiple

②新复极差法（new multiple rangemethod）Duncan，1955年此法是由邓肯(Duncan)于1955年提出，故又称Duncan法，此法还称SSR法(shortest significant ranges)。新复极差法与q检验法的检验步骤相同，唯一不同的是计算最小显著极差时需查SSR表（附表6

第51页：显著水平α误差自由度dfe

根据显著水平α、误差自由度dfe、秩次距k，由SSR表查得的临界SSR。α=0.05和α=0.01水平下的最小显著极差为：对于【例5.1】分析，=0.403，依dfe=15，k=2、3、4、5，由附表6查临界SSR0.05(15,k)和SSR0.01(15,k)值，乘以，求得各最小显著极差，所得结果列于表5-9

本页含数据表（表5-9），源文本数字粘连严重，无法安全切分，表格待人工还原。

第52页：表5-9 SSR值与LSR值

dfe秩次距kq0.05q0.01LSR0.05LSR

差数按源文顺序排列（依次与A5、A1、A3、A2比较）；**表示差异极显著，*表示差异显著。

第53页：式中k为试验的处理数

式中k为试验的处理数，（i=1,2,…,k）为第i处理的重复数。当各处理重复数不等时，为简便起见，不论LSD法还是LSR法，可用下式计算出各处理的平均重复数n0，以代替计算或时所需的n。（5-21）

第54页：以上介绍的三种多重比较方法

以上介绍的三种多重比较方法，其检验尺度关系如下：当秩次距k=2时，取等号；秩次距k ≥3时，取小于号。在多重比较中，LSD法的尺度最小，q检验法尺度最大，新复极差法尺度居中。一般地讲，一个试验资料，究竟采用哪一种多重比较方法，主要应根据否定一个正确的H0和接受一个不正确的H0

第55页：多重比较结果的表示常用的表示方法

• 多重比较结果的表示常用的表示方法有以下两种
• 三角形法此法是将多重比较结果直接标记在平均数多重比较表上，如表5-4所示。此法的优点是简便直观，缺点是占的篇幅较大
• 标记字母法此法是先将各处理平均数由大到小自上而下排列；然后在最大平均数后标记字母a，并将该平均数与以

第56页：表5-10

对于【例5.1】，多重比较结果用字母标记见表5-10。

表5-10 5种除杂方法除杂效果多重比较结果（SSR法）除杂方法差异显著性0.050.01A428.4aAA227.5abAA327.0bAA125.2cBA521.3dC由表5-10可以看出，在α＝0.05水平下，A4与A2、A2与A3均数间差异不显著，其余均差异显著；在α＝0.01水平下，A4、A2、A3三者均数间差异不显著，其余差异显著。

本页含数据表（表5-10），源文本数字粘连严重，无法安全切分，表格待人工还原。

第57页：表5-9SSR值与LSR值表5-

dfe秩次距kq0.05q0.01LSR0.05LSR0.011523.014.171.211.6833.164.371.271.7643.254.501.311.8153.314.581.331.85表5-9SSR值与LSR值表5-10 5种除杂方法除杂效果多重比较结果（SSR法）除杂方法差异显著性0.050.01A428.4aAA227.5abAA327.0bAA125.2cBA521.3dC

本页含数据表（表5-9），源文本数字粘连严重，无法安全切分，表格待人工还原。

第58页：1资料总偏差平方和与自由度的分解

1资料总偏差平方和与自由度的分解；2列出方差分析表，计算各项均方和F值，进行F检验，以判断各变异因素的影响大小；3若F检验显著，则进行多重比较。方差分析的基本步骤归纳如下

第59页：2单因素试验资料的方差分析

2单因素试验资料的方差分析根据各处理内重复数是否相等，单因素试验资料的方差分析又分为重复数相等和重复数不等两种情况。本节各举一例予以说明。

第60页：例5-2

【例5-2】对某地区5类海产食品中无机砷含量进行检测，测定结果见表5-12，其中藻类以干重计，其他4类以鲜重计。试分析不同类型海产品的砷含量差异是否显著。2.1各处理重复数相等的方差分析表5-12五种不同类型海产品中无机砷含量0.57

第61页：这是一个单因素试验

这是一个单因素试验，k=5，n=7。现对此试验结果进行方差分析：1、计算各项平方和与自由度

第62页：2列出方差分析表

2、列出方差分析表，进行F检验表5-13不同类型海产品无机砷含量方差分析表

第63页：df1=dft=4,df2=dfe=

根据df1=dft=4,df2=dfe=30查临界F值得：F0.05(4,30)=2.69，F0.05(4,30)=4.02因为F＞F0.01(4,30)，即P＜0.01，表明品种间无机砷含量差异达到1%显著水平，有极显著差异。3、多重比较采用新复极差法SSR

第64页：MSe=0.0084

因为MSe=0.0084，n=7，所以为：根据dfe=30，秩次距k=2，3，4，5由附表6查出α=0.05和α=0.01的各临界SSR值，乘以，即得各最小显著极差，所得结果列于表5-14。

本页含数据表（表5-14），源文本数字粘连严重，无法安全切分，表格待人工还原。

第65页：表5-14SSR值及LSR值

表5-14SSR值及LSR值

本页含数据表（表5-14），源文本数字粘连严重，无法安全切分，表格待人工还原。

第66页：表5-14不同类型海产品无机砷含量差异

表5-14不同类型海产品无机砷含量差异重比较结果(SSR法) 结论：藻类中无机砷含量极显著高于贝类、软体类、甲壳类以及鱼类；贝类、软体类、甲壳类3种海产品无机砷含量差异不显著，但均极显著高于鱼类。类型平均数/（mg/kg）差异显著性α=0.05α=0.01藻类（D）1.341aA

第67页：设处理数为k各处理重复数为n1

设处理数为k；各处理重复数为n1，n2，…，nk；试验观测值总数为N=Σni。则 2.2各处理重复数不等的方差分析（5-22）（5-23）修正项1平方和与自由度的分解

第68页：2多重比较

2多重比较因为各处理重复数不等，应先计算出平均重复次数n0来代替标准误中的n，

第69页：表5-16

【例5-3】在食品质量检查中，对4种不同品牌腊肉的酸价进行了随机抽样检测，结果见表5-16，试分析4种不同品牌腊肉的酸价指标有无差异。

品牌（Ai）酸价（xij）xi.niA11.61.52.01.91.31.01.21.411.91.49 8A21.71.92.02.52.71.812.62.10 6A30.91.01.31.11.91.61.59.31.33 7A41.82.01.72.11.52.52.213.81.97 747.628xi.表5-16 4种品牌腊肉酸价检测结果

本页含数据表（表5-16），源文本数字粘连严重，无法安全切分，表格待人工还原。

第70页：处理数k=4各处理重复数不等

处理数k=4，各处理重复数不等。方差分析如下： （1）计算各项偏差平方和与自由度

第71页：

第72页：表5-174个品牌腊肉酸价方差分析表变

临界F值为：F0.05(3,24)=3.01，F0.01(3,24)=4.72，因为品牌间的F值为7.287＞F0.01(3,24)，故P＜0.01，表明4个品牌腊肉的酸价有极显著差异。（2）列出方差分析表，进行F检验表5-17 4个品牌腊肉酸价方差分析表变异来源SSdfMSF值显著性品牌间2.802730.93427.287**误差

本页含数据表（表5-17），源文本数字粘连严重，无法安全切分，表格待人工还原。

第73页：各处理重复数不等

因为各处理重复数不等，应先计算出平均重复次数n0， （3）多重比较那么，标准误为：

第74页：表5-18 q值及LSR值

根据dfe=24，秩次距k=2,3,4，从附表5中查出α=0.05与α=0.01的临界q值，计算最小显著极差，所得结果列于表5-18。 dfe秩次距kq0.05q0.01LSR0.05LSR0.012422.92

第75页：表5-194个种品牌腊肉酸价多重比较

表5-19 4个种品牌腊肉酸价多重比较（q法） 多重比较结果表明，A2与A4、A1与A3在5％水平上差异不显著，但A2，A4与A1，A3在5%水平上差异显著，即A2，A4的酸价高于A1，A3；A2，A4，A1在1%上差异不显著，但A2，A4与A3差异显著，A1与A3在1

本页含数据表（表5-19），源文本数字粘连严重，无法安全切分，表格待人工还原。

第76页：4两因素试验资料的方差分析

4两因素试验资料的方差分析两因素试验按水平组合的方式不同，分为交叉分组和系统分组两类，这里仅以两因素交叉分组资料为例来说明如何进行方差分析。考查两个因素对试验指标的影响情况

第77页：4.1交叉分组资料的方差分析设试验考察A

4.1交叉分组资料的方差分析设试验考察A、B两个因素，A因素分a个水平，B因素分b个水平。所谓交叉分组是指A因素每个水平与B因素的每个水平都要搭配，两者交叉搭配形成ab个水平组合即处理，试验因素A、B在试验中处于平等地位。如果将试验单元分成ab个组，每组随机接受一种处理，因而试

第78页：AB两个试验因素的全部ab个水平组合

对于A、B两个试验因素的全部ab个水平组合，每个水平组合只有一个观测值（无重复），全试验共有ab个观测值，其数据模式如表5-20所示。4.1.1两因素无重复试验资料的方差分析

第79页：表5-20两因素无重复观测值

表5-20两因素无重复观测值的试验数据模式注：A因素有a个水平，B因素有b个水平，共计有ab个水平组合，每一组合观测一次，有ab个观测值（表5-20），xij为A的第i水平与B的第j水平组合观测值。

第80页：A的第i水平b个观测值之和A

A的第i水平b个观测值之和A的第i水平b个观测值的平均数B的第j水平a个观测值之和B的第j水平b个观测值的平均数ab个观测值的总和ab个观测值的总平均数

第81页：两因素无重复观测值试验资料的数学模型为

两因素无重复观测值试验资料的数学模型为：式中，μ为总平均数； (5-26)αi，βj分别为Ai、Bj的效应；αi=μi-μ，βj=μj-μ，μi、μj分别为Ai、Bj观测值总体平均数，且Σαi=0，Σβj=0；εij为随机误差，相互独立，且服从N(0，σ2)

第82页：交叉分组两因素无重复观测值的试验

交叉分组两因素无重复观测值的试验，A因素的每个水平有b次重复，B因素的每个水平有a次重复，每个观测值同时受到A、B两因素及随机误差的作用。因此全部ab个观测值的总变异可以分解为A因素水平间变异、B因素水平间变异及试验误差三部分；自由度也相应分解。偏差平方和与自由度的分解如下：(5-27)

第83页：矫正数总平方和A因素偏差平方

矫正数总平方和A因素偏差平方和B因素偏差平方和(5-28)各项偏差平方和与自由度的计算公式为:误差平方和SSe=SST-SSA-SSB总自由度dfT=ab-1A因素自由度dfA=a-1B因素自由度dfB=b-1误差自由度dfe= dfT-dfA–dfB=(a-1)(b-1)

第84页：相应均方为

相应均方为

第85页：例5-4

【例5-4】某厂现有化验员3人，担任该厂牛奶酸度（°T）的检验。每天从牛奶中抽样一次进行检验，连续10天的检验分析结果见表5-22。试分析3名化验员的化验技术有无差异，以及每天的原料牛奶酸

第86页：A因素（化验员）有3个水平

A因素（化验员）有3个水平，即a=3；B因素（天数）有10个水平，即b=10，共有a×b=3×10=30个观测值。1计算各项偏差平方和与自由度

第87页：

第88页：

第89页：表6-22表5-22资料的方差分析表变

2列出方差分析表，进行F检验 表6-22表5-22资料的方差分析表变异来源SSdfMSF值显著性化验员间0.028320.01420.550日期间26.759192.9732115.240**误差0.4635180.0258合计27.250929结果表明，3个化验员的化验技术没有显著

本页含数据表（表6-22），源文本数字粘连严重，无法安全切分，表格待人工还原。

第90页：例5-4分析

3多重比较在两因素无重复观测值试验中，A因素每一水平的重复数恰为B因素的水平数b，故A因素的标准误为；同理，B因素的标准误 对例5-4分析，a=3，MSe=0.0258。故根据dfe=18，秩次距k=2，3，…，10，查临界q值，计算最小显著极差LSR，见表5-24。

第91页：表5-24 q值与LSR值

表5-24q值与LSR值dfe秩次距kq0.05q0.01LSR0.05LSR

0.38 33.614.70.34 0.44 44.00 5.090.37 0.47 54.285.380.40 0.50 64.495.60.42 0.52 74.675.790.43 0.54 84.825.940.45 0.55 94.966.080.46 0.57 105.076.20.47 0.58

第92页：B因素各水平均值多重比较结果见5-25测

B因素各水平均值多重比较结果见5-25测定日期x.jx.j-10.56x.j-10.7511.4411.7012.4312.4412.6812.7613.10B713.583.02**2.832.141.881.151.140.900.820.48B613.102.542.351.661.400.670.660.420.34B1012.76

第93页：附表：多重比较结果字母表示

处理均值5%显著水平1%极显著水平B713.58aAB613.10bABB1012.76bcBCB812.68bcBCB412.44cCB312.43cCB111.70dDB911.44dDB210.75eEB510.56eE附表：多重比较结果字母表示*注：DPS数据分析软件分析

不同小写字母表示5%水平差异显著，不同大写字母表示1%水平差异极显著（DPS数据分析软件分析结果）。

第94页：结果表明除B2与B5

结果表明，除B2与B5，B1与B9，B4与B3，B8与B3、B4，B10与B3、B4、B8差异不显著外，其余不同测定日间牛奶酸度均差异极显著或显著。酸度最高的是B7，最低的是B5和B2。从牛奶质量要求看，连续10d的牛奶酸度均在鲜奶范围内。

第95页：在进行两个因素或多个因素的试验时

在进行两个因素或多个因素的试验时，除了要研究每一个因素对试验指标的影响外，往往更希望知道因素之间的交互作用对试验指标的影响情况。例如，通过研究环境温度、湿度、光照、气体成分等环境条件对导致食品腐烂变质的酶和微生物的活动的影响有无交互作用，对有效控制酶

第96页：两个因素无重复观测值试验只适

两个因素无重复观测值试验只适用于两个因素间无交互作用的情况；若两因素间有交互作用，则每个水平组合中只设一个试验单位(观察单位)的试验设计是不正确的或不完善的。这是因为：

• 在这种情况下，SSe,dfe实际上是A、B两因素交互作用平方和与自由度，所算得的MSe是交互作用均方，主要反映由交互作用引起的变异

第97页：交互作用

交互作用交互作用：在多因素试验中一个因素对试验结果的影响依赖于另一因素所取的水平时，称两因素有交互作用。在多因素对比试验中，某些因素对指标的影响往往是互相制约、互相联系的。即在试验中不仅因素起作用，而且因素间有时联合起来起作

第98页：对两因素和多因素等重复试验结果进行的分析

对两因素和多因素等重复试验结果进行的分析，可以研究因素的简单效应、主效应和因素间的交互作用（互作效应）。4.2两因素等重复试验的方差分析基本概念1简单效应(simple effect)在某因素同一水平上，另一因素不同水平对试验指标的影响称为简单效应。

第99页：在A1（杀菌时间55min）水平上

水平上

B2-B1=5.30

水平上

B2-B1=-12.80

水平上

A2-A1=10.50

水平上

A2-A1=-7.60 简单效应A1（55min）A2(65min)A2-A1平均（Bj）B1（

第100页：表5-26中

在表5-26中，当A因素由A1水平变到A2水平时，A因素的主效应为A2水平的平均数减去A1水平的平均数，即A因素的主效应=74.40-72.95=1.45同理，B因素的主效应=71.80-75.55=-3.75由于因素水平的改变而引起的平均数发生改变的量称为主效应。主效应也就是简单效应的平均。2主效应

本页含数据表（表5-26），源文本数字粘连严重，无法安全切分，表格待人工还原。

第101页：3交互作用（互作效应，

3交互作用（互作效应，interactioneffect）在多因素试验中，一个因素的作用要受到另一个因素的影响，表现为某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同，这种现象称为该两因素存在交互作用。在表5-26中：A在B1水平上的效应=80.80-70.30=10.50A在B2水平上的效应= 68.00-75.60=-7.60B在A1

本页含数据表（表5-26），源文本数字粘连严重，无法安全切分，表格待人工还原。

第102页：可以看出A的效应随着B因素水平

可以看出，A的效应随着B因素水平的不同而不同，反之亦然，此时称A、B两因素间存在交互作用，记为A×B。或者说，某一因素的简单效应随着另一因素水平的变化而变化时，则称该两因素间存在交互作用。互作效应可由（A1B1+A2B2-A1B2-A2B1）/2来估计。表5-26中的互作效应为：（70.30+68.00-

第103页：互作效应实际是指由于两个或两个以上试验因

互作效应：实际是指由于两个或两个以上试验因素的相互作用而产生的效应。

第104页：设AB两因素

设A、B两因素，A因素有a个水平，B因素有b个水平，共有ab个水平组合，每个水平组合有n次重复试验，则全试验共有abn个观测值。试验结果的数据模式如表5-27所示。两因素等重复试验的方差分析

第105页：表5-27两因素等重复观测值试验数据模

表5-27两因素等重复观测值试验数据模式

第106页：A因素B因素Ai合计xi..B1B2…

A因素B因素Ai合计xi..B1B2…BbA1x1jlx111x121…x1b1x112x122…x1b2x1..x113x123…x1b3…………x11nx12n…x1bnx1j.x11.x12.x1b.x1j.x11.x12.x1b.A2………………………………两因素等重复试验数据模式（部分）

第107页：表5-27中 每个组合处理n次重复之

表5-27中 每个组合处理n次重复之和B因素第j水平an个数据之和abn个数据总和A因素第i水平bn个数据之和

第108页：其中为总平均数

其中，为总平均数；αi为Ai的效应；βj为Bj的效应；(αβ)ij为Ai与Bj的互作效应。(6-32)两因素等重复试验资料的数学模型为:分别为Ai、Bj、AiBj观测值总体平均数；且

第109页：4.2.1偏差平方和与自由度分解 （5-

4.2.1偏差平方和与自由度分解 （5-30）其中，SSA×B，dfA×B为A因素与B因素交互作用平方和与自由度。为随机误差，相互独立，且服从N（0，σ2）。

第110页：若用SSABdfAB表示A

若用SSAB，dfAB表示A、B水平组合间的平方和与自由度，即处理间平方和与自由度，则处理引起的变异可进一步剖分为A因素、B因素及A、B交互作用三部分，于是SSAB、dfAB可分解为： （5-31）

第111页：矫正数总平方和与自由度因素水平组合平方

矫正数总平方和与自由度因素水平组合平方和与自由度A因素平方和与自由度（5-32）各项平方和、自由度及均方的计算公式如下：B因素平方和与自由度

第112页：交互作用平方和与自由度误差平方和与自

交互作用平方和与自由度误差平方和与自由度所以，相应均方为因素A的方差因素B的方差A、B互作的方差误差方差

第113页：4.2.2列方差分析表

4.2.2列方差分析表，进行F检验变异来源偏差平方和自由度方差F值显著性A因素SSAa-1SSA/(a-1)MSA/MSeB因素SSBb-1SSB/(b-1)MSB/MSeA×BSSA×B(a-1)(b-1)SSA×B/ (a-1)(b-1)MSA×B/MSe误差SSeab(n-1)总计SSTabn-1表5-

第114页：表5-293种食品添加剂对3种不同配方

配方（A）食品添加剂（B）B1B2B3A1876875866A2978997866A37810779689表5-29 3种食品添加剂对3种不同配方蛋糕质量的影响【例5-5】现有3种食品添加剂对3种不同配方蛋糕质量的影响试验结果，试作方差分析

本页含数据表（表5-29），源文本数字粘连严重，无法安全切分，表格待人工还原。

第115页：A因素（配方）有3个水平

A因素（配方）有3个水平，即a=3；B因素（食品添加剂）有3个水平，即b=3；共有ab=3×3=9个水平组合；每个水平组合重复数n=3；全试验共有=3×3×3=27个观测值。（1）计算各项平方和与自由度

第116页：

第117页：

第118页：表5-30 方差分析表

变异来源平方和自由度均方F值显著性A因素间

各项平方和合计40.67，自由度合计26，与总变异一致。

*B因素间1.5620.781.32AxB22.2145.559.41**误差10.67180.59总变异40.6726表5-30方差分析表（2）列出方差分析表，进行F检验查临界F值：F0.05（2,18）=3.55，F0.01（

第119页：配方因为A因素各水平的重复数为bn

• 配方因为A因素各水平的重复数为bn，故A因素各水平的标准误为：对本例而言
• 多重比较由dfe=18，秩次距k=2,3，从附表5中查出SSR0.05与SSR0.01的临界值，计算LSR值，结果列于表5-31

第120页：表5-31 配方各水平均数比较SSR值

表5-31配方各水平均数比较SSR值与LSR值dfe秩次距SSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR

因素A主效应分析表明：配方A3与A1之间差异极显著，A2与A1差异显著，A2与A3差异不显著。

处理均值5%显著水平1%极显著水平A37.9aAA27.7aABA16.8bB表5-32配方间平均数多重比较结果（SSR法）因素A主效应分析，结果表明配方A3与A1之间差异极显著，A2与A1差异显著，A2与A3差异不显著。

第121页：因B因素各水平的重复数为an

因B因素各水平的重复数为an，故B因素各水平的标准误为： 在本例，B因素的影响不显著，不必进行多重比较。以上所进行的多重比较，实际上是A、B两因素主效应的检验。若A、B因素交互作用不显著，则可从主效应检验中分别选出A、B因素的最优水平，得到最优水平组合；若A、B因素交互作用显著，则应

第122页：水平组合数通常较大(本例ab=4×

因为水平组合数通常较大(本例ab=4×4=16)，采用最小显著极差法进行各水平组合平均数的比较，计算较麻烦。为了简便起见，常采用T检验法。所谓T检验法，实际上就是以q检测法中秩次距k最大时的LSR值作为检验尺度检验各水平组合平均数间的差异显著性。

第123页：水平组合的重复数为n

因为水平组合的重复数为n，故水平组合的标准误为：本例 由dfe=18，k=2，3，…，9，从附表5中查出a=0.05、a=0.01的临界SSR值，计算出LSR值，然后进行比较判断得出结论。②各水平组合平均数间的比较

第124页：表5-34 各水平组合平均数多重比较结果

水平组合均值5%显著水平1%极显著水平A3B39.3aAA2B18.7abABA1B18.0abcABA3B27.7bcABCA2B27.3bcBCA2B37.0cdBCA1B26.7cdBCA3B16.7cdBCA1B35.7dC表5-34个水平组合平均数多重比较结果（SSR法）注：DPS软件分析结果分析结果表明，A3B3，A2B1，A1B1为优组合，按此组合选用配方和添加剂可望得到较好的蛋糕质量。

DPS软件分析结果；分析表明A3B3、A2B1、A1B1为优组合。

第125页：以上的比较结果可以看出

以上的比较结果可以看出，当A、B因素的交互作用显著时，一般不必进行两个因素主效应的显著性检验（因为这时主效应的显著性在实用意义上并不重要），而直接进行各水平组合平均数的多重比较，选出最优水平组合。

第126页：通常水平组合数较大（ab）

通常水平组合数较大（ab），采用最小显著极差法进行各水平组合平均数的比较，计算较麻烦。为了简便起见，常采用T检验法。所谓T检验法，实际上就是以q检测法中秩次距k最大时的LSR值作为检验尺度来检验各水平组合平均数间的差异显著性。

第127页：简单效应的检验

③简单效应的检验简单效应实际上是特定水平组合平均数间的差数。在A因素某水平下对B因素各水平平均数间的比较或在B因素某水平下对A因素各水平平均数间的比较。

第128页：*4方差分析的数学模型4.1数学模型方差

*4方差分析的数学模型4.1数学模型方差分析的数学模型就是指试验资料的数据结构或者说是每一观测值的线性组成，它是方差分析的基础。

第129页：数学模型中的处理效应αi(或βj

数学模型中的处理效应αi(或βj、βij)，由于处理性质的不同，有固定效应(fixedeffect)和随机效应(random effect)之分。若按处理效应的类别来划分方差分析的模型，则有三种，即固定模型、随机模型和混合模型。就试验资料的具体统计分析过程而言，这三种模型

第130页：固定模型（fixedmodel）

（1）固定模型（fixedmodel）在单因素试验的方差分析中，把k个处理看作k个明晰的总体。如果研究的对象只限于这k个总体的结果，而不需推广到其它总体；研究目的在于推断这k个总体平均数是否相同，即在于检验k个总体平均数相等的假设H0：μ1=μ2=…=μk；H0被否定，

第131页：在单因素试验中k个处理并非特别指定

在单因素试验中，k个处理并非特别指定，而是从更大的处理总体中随机抽取的k个处理而已，即研究的对象不局限于这k个处理所对应总体的结果，而是着眼于这k个处理所在的更大的总体；研究的目的不在于推断当前k个处理所属总体平均数是否相同，而是从这k个处理所得结论推断所在大总体的变异情况，检验的假设

第132页：处理效应并不固定

这样，处理效应并不固定，而是随机的，这种模型称为随机模型。随机模型在遗传、育种和生态试验研究方面有广泛的应用。如，为研究中国苹果不同品种间果肉软硬度的变异情况，从大量地方品种中随机抽取部分品种为代表进行试验，其结果推断中国苹果不同品种间果肉软硬度的变异情况，

第133页：混合模型（mixedmodel）

（3）混合模型（mixedmodel）在多因素试验中，若既包括固定效应的试验因素，又包括随机效应的试验因素，则该试验对应于混合模型。混合模型在试验研究中是经常采用的。

第134页：5方差分析的基本假定和数据转换

5方差分析的基本假定和数据转换

第135页：效应的可加性方差分析模型均为线性可加模型

（1）效应的可加性方差分析模型均为线性可加模型。这个模型明确提出了处理效应与误差效应是“可加的”，正是由于这一“可加性”，才有了样本平方和的“可加性”，亦即有了试验观测值总平方和的“可剖分”性。如果试验资料不具备这一性质，那么变量的总变异依据变异原因的剖分将失去根据，方差分析不能正确进行。5.1 方差分析的基本假定

第136页：分布的正态性是指所有试验误差是相互独立

• 分布的正态性是指所有试验误差是相互独立的，且都服从正态分布N(0，σ2)。只有在这样的条件下才能进行F检验
• 方差的同质性即各个处理观测值总体误差方差σ2应是相等的。只有这样，才有理由以各个处理均方的合并均方作为检验各处理差异显著性的共同的误差均方

第137页：在分差分析前发现有某些异常的观测值

如果在分差分析前发现有某些异常的观测值、处理或单位组，只要不属于研究对象本身的原因，在不影响分析正确性的条件下应加以删除。有些资料就其性质来说就不符合方差分析的基本假定。其中最常见的一种情况是处理平均数和均方有一定关系(如二项分布资料，平均数，均方；泊松分布

第138页：对不能直接进行方差分析的资料应考虑采

对不能直接进行方差分析的资料应考虑采用非参数方法分析或进行适当数据转换后再作方差分析。常用的数据转换方法：①平方根转换（square root transformation）此法适用于各组均方与其平均数之间有某种比例关系的资料，尤其适用于总体呈泊松分布的资料。转换的方法是求出原数据的平方根

第139页：对数转换

②对数转换（logarithmictransformation）如果各组数据的标准差、全距与其平均数大体成比例或变异系数CV接近常数时，或者效应为相乘性或非相加性，则将原数据变换为对数(lgx或lnx)后，可以使方差变成比较一致而且使效应由相乘性变成相加性。

第140页：反正弦转换（arcsine

③反正弦转换（arcsine transformation）平方根反正弦转换适用于服从二项分布的资料。转换的方法是求出每个原数据（用百分数或小数表示）的平方根反正弦。一般，若资料中的百分数介于30%—70%之间时，因资料的分布接近于正态分布，数据变换与否对分析的影响

第141页：倒数转换（reciprocal

④倒数转换（reciprocal transformation）当各处理标准差与其平均数的平方成比例时，可进行倒数转换。这种转换常用于以出现质反应时间为指标的数据资料，也可用于数据两端波动较大的资料，可使极端值的影响减小。对于一些分布明显偏态的二项分布资料，有人通过以下转换，可使x呈良好的正态分布。

第142页：一般非连续性的数据

对于一般非连续性的数据，最好在方差分析前先检查各处理平均数与相应处理内均方是否存在相关性和各处理均方间的变异是否较大。如果存在相关性，或者变异较大，则应考虑对数据作出变换。有时要确定适当的转换方法并不容易，可事先在试验中选取几个其平均数为大、中、小的处理试验作转换。哪种方法能使

第143页：方差分析的基本思想

波动由两方面引起

因素水平的不同引起

差分析的基本思想

试验数据波动分解成两部分，一部分反映由因素水平不同引起的波动，另一部分反映由试验误差引起的波动