页数：107页文件大小：1.36 MB来源： 食品试验设计优化ppt课件
本课件从事件与概率入手，引入随机变量与概率分布的概念，讲解二项分布、波松分布与正态分布的条件、概率计算与实际应用，并说明样本平均数的抽样分布、标准误以及t分布的特点，为假设检验与参数估计提供依据。
第三章理论分布与抽样分布为了便于理解统计分析的基本原理，正确掌握和应用统计分析方法，本章在介绍概率论中最基本的两个概念－事件、概率的基础上，重点介绍科学研究中常用的几种随机变量的概率分布－正态分布、二项分布、波松分布以及样本平均数的抽样分布和t分布。
1事件与概率1.1事件1.1.1必然现象与随机现象在自然界与生产实践和科学试验中，人们会观察到各种各样的现象，把它们归纳起来，大体上分为两大类：
随机现象或不确定性现象，有如下特点：在一定的条件实现时，有多种可能的结果发生，事前人们不能预言将出现哪种结果；对一次或少数几次观察或试验而言，其结果呈现偶然性、不确定性；但在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果却呈现出某种固有的、特定的规律性——频率的稳定性，通常称之为随机现象的
1.1.2随机试验与随机事件1随机试验通常我们把根据某一研究目的，在一定条件下对自然现象所进行的观察或试验统称为试验（trial）。当一个试验如果满足下述三个特性，则称其为一个随机试验（random trial），简称试验。
2随机事件随机试验的每一种可能结果，在一定条件下可能发生，也可能不发生，称为随机事件（random event），简称事件(event），通常用A、B、C等来表示。（1）基本事件我们把不能再分的事件称为基本事件（elementary event），也称为样本点（sample point）。
例如，从编号为1、2、3、…、10的十个篮球中随机抽取1个篮球，有10种不同的可能结果：“取得一个编号是1”、“取得一个编号是2”、…、“取得一个编号是10”，这10个事件都是不可能再分的事件，它们都是基本事件。由若干个基本事件组合而成的事件称为复合事件（
1.2概率1.2.1概率统计定义研究随机试验，仅知道可能发生哪些随机事件是不够的，还需了解各种随机事件发生的可能性大小，以揭示这些事件的内在的统计规律性，从而指导实践。这就要求有一个能够刻划事件发生可能性大小的数量指标，这个指标应该是事件本身所固有的，且不随人的主观意志而改变，人们
概率统计定义：在相同条件下进行n次重复试验，如果随机事件A发生的次数为m，那么m/n称为随机事件A的频率（frequency）；当试验重复数n逐渐增大时，随机事件A的频率越来越稳定地接近某一数值p，那么就把p称为随机事件A的概率。
从表3-1可看出，随着实验次数的增多，正面朝上这个事件发生的频率越来越稳定地接近0.5，我们就把0.5作为这个事件的概率。在一般情况下，随机事件的概率p是不可能准确得到的。通常以试验次数n充分大时随机事件A的频率作为该随机事件概率的近似值。即P（A）=p≈m/n
1.2.2概率的性质
2概率分布事件的概率表示了一次试验某一个结果发生的可能性大小。若要全面了解试验，则必须知道试验的全部可能结果及各种可能结果发生的概率，即必须知道随机试验的概率分布(probability distribution)。为了深入研究随机试验，我们先引入随机变量(random variable)的概念。
2.1随机变量 2004年奶粉事件“大头娃”描述随机事件的变量称为随机变量。随机变量的取值在一次试验前不能确定，具有随机性。作一次试验，其结果有多种可能。每一种可能结果都可用一个数来表示，把这些数作为变量x的取值，则试验结果可用变量x来表示。【例】对10
【例】食品加工中高温杀菌可能结果只有两种，即“全部杀死细菌”与“未能全部杀死细菌”。若用变量x表示试验的两种结果，则可令x=0表示“未能全部杀死细菌”，x=1表示“全部杀死细菌”。【例】测定关中地区不同小麦品种的蛋白质含量，其蛋白质含量在9.3-13.5％之间，如用x表示测定结果，那么x
2.2离散型随机变量的概率分布要了解离散型随机变量x的统计规律，就必须知道它的一切可能值xi及取每种可能值的概率pi。如果我们将离散型随机变量x的一切可能取值xi(i=1, 2 ,…)，及其对应的概率pi，记作P(x=xi)=pii=1,2,…(3—3)则称（3—3）式为
x1x2…xn….p1p2…pn…从分布列可以一目了然看出随机变量X的可能取值及取这些值的概率。离散型随机变量的概率分布具有pi≥0和Σpi=1这两个基本性质。2.3连续型随机变量的概率分布连续型随机变量(如身高、体重等)的概率分布不能用分布列来表示，
图4—1为数据资料的频率分布直方图，图中纵座标取频率与组距的比值。可以设想，如果样本取得越来越大(n→+∞)，组分得越来越细(i→0)，某一范围内的频率将趋近于一个稳定值－概率。这时，频率分布直方图各个直方上端中点的连线－频率分布折线
当n→+∞、i→0时，频率分布折线的极限是一条稳定的函数曲线。对于样本是取自连续型随机变量的情况，这条函数曲线将是光滑的。这条曲线排除了抽样和测量的误差，完全反映了数据资料的变动规律。这条曲线叫概率分布密度曲线，相应的函数叫概率分布密度函数
(3—4)式为连续型随机变量x在区间[a,b）上取值概率的表达式。可见，连续型随机变量的概率由概率分布密度函数确定。若变量X概率分布密度函数记为f(x)，则x取值于区间[a,b）的概率为图中阴影部分的面积，即P(a≤x<b)= (3-4)
连续型随机变量概率分布的性质：1、分布密度函数总是大于或等于0，即f(x)≥0；2、当随机变量x取某一特定值时，其概率等于0；即(c为任意实数)所以，对于连续型随机变量，仅研究其在某一个区间内取值的概率，而不去讨论取某一个值（点）的概率。连续型随机变量某一点的概率为0。
3、随机变量x取值在-∞＜x＜+∞范围内，所以 (3-5)(3—5)式表示分布密度曲线与横轴所围成的区间全部面积为1。P(a≤x<b)=4、随机变量X取〔a，b）区间值的概率为：
3理论分布3.1二项分布3.1.1贝努利试验及其概率公式贝努利试验：对于n次独立的试验，如果每次试验结果出现且只出现对立事件A与之一，在每次试验中出现A的概率是常数p(0<p<1)，因而出现对立事件的概率是1-p=q，则称这一串重复的独立试验为n
贝努利试验的概率公式在贝努利试验中，事件A可能发生，也可能不发生，用随机变量x表示贝努利试验的两种结果，记A发生时取1，A不发生时取0。那么，贝努利试验的概率公式可以表示为：P（x＝1）＝pP（x＝0）＝q其中x＝1，A事件发生，成功0，A事件未发生，失败也称为两点分布（3-6）
在n重贝努利试验中，事件A可能发生0，1，2，…，n次，现在我们来求事件A恰好发生k(0≤k≤n)次的概率Pn(k)。事件A在n次试验中正好发生k次共有种情况。由贝努利试验的独立性可知，A在k次实验中发生，而在其余n-k次试验中不发生的概率为 3.1.2二项分布的定义及其特点
一般，在n重贝努利试验中，事件A恰好发生k(0≤k≤n)次的概率为 k=0,1,2…，n(3-7)若把(3-7)式与二项展开式相比较就可以发现，在n重贝努利试验中，事件A发生k次的概率恰好等于展开式中的第k+1项，所以也把(3-7)式称作二项概率公式。
1.二项分布定义设随机变量x所有可能取的值为零和正整数：0,1,2,…，n，且有=k=0,1,2…，n其中p＞0，q＞0，p+q=1，则称随机变量x服从参数为n和p的二项分布(binomialdistribution)，记为x～B(n，p)。二项分布是一种离散型随机变量的概率分布。参数n称为离散参数，
(3-10)
图3-1 n值不同的二项分布比较
图3-2 p值不同的二项分布比较
3.1.3二项分布的概率计算及应用条件（1）已知随机变量x～B(n，p)，求x正好有k次发生的概率。【例p43】有一批食品，其合格率为0.85，今在该批食品中随机抽取6份该食品，求正好有5份食品合格的概率？由题意可知，食品抽检结果有两种可能，合格与不合格，合格率为
（2）已知随机变量x～B(n，p)，求x最多发生k次的概率。例：同上例，问最多有4个合格的概率是多少？当产品最多有k个合格时，即可能的合格数为0，1，2，…，k，那么为最多有k个合格产品的概率。在本例中，
二项分布的应用条件：
3.1.4二项分布的平均数与标准差统计学证明，服从二项分布B(n,p)的随机变量x的平均数μ、标准差σ与参数n、p有如下关系。设x～B(n，p)，那么，二项分布的总体特征数为： 均值μ=np标准差σ=方差σ2=npq
当试验结果以事件A发生的频率k／n表示时也称为总体百分数的标准误，当p未知时，常以样本百分数来估计。此时式改写为：=称为样本百分数标准误。
3.2波松分布（Poisson）波松分布是一种可以用来描述和分析随机地发生在单位空间或时间里的稀有事件的概率分布。要观察到这类事件，样本含量n必须很大。所谓稀有事件即是小概率事件。在生物、医学等研究中，服从波松分布的随机变量也是常见的。例如，正常生产线中单位事件生产出不合格产品个
3.2.1波松分布的定义若随机变量x(x=k)所有可能取值是非负整数，且其概率分布为其中λ＞0；e=2.7182…，则称x服从参数为λ的波松分布(Poisson‘sdistribution)，记为x～P(λ)。k=0，1，……
λ是波松分布所依赖的唯一参数。λ值愈小分布愈偏倚，随着λ的增大，分布趋于对称(如图所示)。当λ= 20时分布接近于正态分布；当λ=50时，可以认为波松分布呈正态分布。所以在实际工作中，当λ≥20时就可以用正态分布来近似地处理波松分布的问题。3.2.2波松分布重要的特征
图3-3 不同λ的泊松分布
3.2.3波松分布的概率计算由波松分布的概率计算公式可以看出，依赖于参数λ的确定，只要参数λ确定了，把k=0，1，2，…代入即可求得各项的概率。但是在大多数服从波松分布的实例中，分布参数λ往往是未知的，只能从所观察的随机样本中计算出相应的样本平均数作为λ的
经计算得每毫升水中平均细菌数=0.500,方差S2=0.496。两者很接近，故可认为每毫升水中细菌数服从波松分布。以=0.500代替λ，得(k=0,1,2…)计算结果如表所示。
注意，二项分布的应用条件也是波松分布的应用条件。比如二项分布要求n次试验是相互独立的，这也是波松分布的要求。然而一些具有传染性的罕见疾病的发病数，因为首例发生之后可成为传染源，会影响到后续病例的发生，所以不符合波松分布的应用条件。对于在单位时间、单位面积或单位容积内，所
3.3正态分布（normal distribution）正态分布是一种很重要的连续型随机变量的概率分布。自然现象中有许多变量是服从或近似服从正态分布的。如食品中各种成分的含量、有害物质残留量、瓶装食品的重量、分析测定过程中的随机误差等等。许多统计分析方法都是以正态分布为基础的。此外，还有不少随机变量的概
3.3.1正态分布的定义及其特征1.正态分布的定义若连续型随机变量x的概率分布密度函数为其中μ为平均数，σ2为方差，则称随机变量x服从正态分布，记为x～N(μ,σ2)。相应的概率分布函数为 (3-12)(3-11)
分布密度曲线如图3-4所示。图3-4正态分布密度（函数）曲线
2.正态分布的特征
图3-5σ相同而μ不同的3个正态分布比较
图3-6μ相同而σ不同的3个正态分布比较大
正态分布是依赖于参数μ和σ2(或σ)的一簇分布，正态曲线的位置及形态随μ和σ2的不同而不同。这就给研究具体的正态总体带来困难，通常将一般的N(μ，σ2)转换为μ= 0,σ2=1的正态分布。3.3.2标准正态分布μ=0,σ2=1的正态分布为标准正态分布(standard normal distribution)。
标准正态分布的概率密度函数及分布函数分别记作ψ(u)和Φ(u)， (3-14)μ＝0σ＝1（3-13）
随机变量u服从标准正态分布，记作u～N(0，1)，分布密度曲线如图3—7所示。图3-7 标准正态分布曲线
对于任何一个服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量x，都可以通过标准化变换，u=(x-μ)／σ (3-15)将其变换为服从标准正态分布的随机变量u。u称为标准正态变量或标准正态离差。x～N(μ,σ2)x～N(0,1)u=(x-μ)／σ
3.3.3正态分布的概率计算1.标准正态分布的概率计算设u服从标准正态分布，则u在[u1，u2）内取值的概率为：＝Φ(u2)－Φ(u1) (3-16)Φ(u1)与Φ(u2)可由附表1查得。
例如，u=1.75时，由附表1可以查出Φ(1.75)=0.95994有时会遇到给定Φ(u)值，例如Φ(u)=0.284，反过来查u值。这时只需在附表1中找到与0.284最接近的值0.2843，对应查出相应的u值为u=-0.57，即Φ(-0.57)=0.284
由标准正态分布概率计算式及正态分布的对称性可推出下列关系式：P(0≤u＜u1)＝P(u≥u1) =P(｜u｜≥u1)=P(｜u｜＜u1）＝P(u1≤u＜u2)＝ Φ(u1)-0.5Φ(-u1)2Φ(-u1)(3-17)1-2Φ(-u1)Φ(u2)-Φ(u1)
【例3.7】已知u～N(0，1)，试求：
对于标准正态分布，特殊区间的概率为：P（-1≤u＜1）=0.6826P（-2≤u＜2）=0.9545P（-3≤u＜3）=0.9973P（-1.96≤u＜1.96）=0.95P(-2.58≤u＜2.58)=0.99标准正态分布的三个常用概率如图示
u变量在上述区间以外取值的概率分别为：P(｜u｜≥1)=2Φ(-1)=1-P(-1≤u＜1)=1-0.6826=0.3174P(｜u｜≥2)=2Φ(-2)=1-P（-2≤u＜2）=1-0.9545=0.0455P(｜u｜≥3)=1-0.9973=0.0027P(｜u｜≥1.96)=1-0.95=0.05P(｜u｜≥2.58)=1-0.99=0.01 统计检验中常用
2.一般正态分布的概率计算若随机变量x服从正态分布N(μ,σ2)，则x的取值落在任意区间[x1, x2）的概率，记作P(x1≤ x＜x2)，等于图3—8中阴影部分的面积。即： 图3-8 正态分布的概率
对(3-18)式作变换u=(x-μ)／σ，得dx=σdu，故有 (3-18)其中，
表明服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量x在[x1，x2）内取值的概率，等于服从标准正态分布的随机变量u在[(x1-μ)/σ, (x2-μ)/σ）内取值的概率。因此，计算一般正态分布的概率时，只要将原区间的上下限作适当变换(标准化)，就可用查标准正态分布的概率表的方法求取某一区间的概率。
【例3-8】P53已知x～N（100，22），试求P(100≤x＜102)＝？。=P(0≤u＜1)=Φ(1)-Φ(0)=0.8413-0.5000＝0.3413
【例】设x服从μ=30.26,σ2=5.102的正态分布，试求P(21.64≤x＜32.98)。令则u服从标准正态分布，故=P(-1.69≤u＜0.53)=Φ(0.53)-Φ(-1.69)=0.7019-0.04551=0.6564
关于一般正态分布，以下几个概率(即随机变量x落在μ加减不同倍数σ区间的概率)是经常用到的。P(μ-σ≤x＜μ+σ)=P(μ-2σ≤x＜μ+2σ) =P(μ-3σ≤x＜μ+3σ) =P(μ-1.96σ≤x＜μ+1.96σ) =P(μ-2.58σ≤x＜μ+2.58σ)=0.68260.95450.99730.950.99
在数理统计分析中，不仅注意随机变量x落在平均数加减不同倍数标准差区间（μ-kσ,μ+kσ）之内的概率，更关心的是x落在此区间之外的概率。把随机变量x落在平均数μ加减不同倍数标准差σ区间之外的概率称为
附表2给出了满足P(｜u｜＞)=α的双侧分位的数值。因此，只要已知双侧概率α的值，由附表2就可直接查出对应的双侧分位数。例如，已知u～N(0,1)试求：
【例3-9】已知饮料灌装量x（ml）服从正态分布N ( 250，1.582)，若P(x＜) =0.05,P(x≥ )=0.05,求,。P54由题意可知，α／2=0.05,α=0.10因为P(x≥ )=故P(x＜)+P(x≥ )=P(u＜-) +P(u≥ )
=1-P(-≤u＜)=0.10=α由附表2查得：=1.644854 ,所以(-250)/1.58=-1.644854(-250)/1.58= 1.644854即＝247.40，＝252.60。和分别为a＝0.10（双侧）时的下侧分位数和上侧分位数
前面讨论的三个重要的概率分布中，前两个属离散型随机变量的概率分布，后一个属连续型随机变量的概率分布。三者间的关系如下：对于二项分布，在n→∞,p→0，且n p=λ(较小常数)情况下，二项分布趋于波松分布。在这种场合，波松分布中的参数λ用二项分布的n p代之；在n→∞,p→0.5
对于波松分布，当λ→∞时，波松分布以正态分布为极限。在实际计算中，当λ≥20(也有人认为λ≥6)时，用波松分布中的λ代替正态分布中的μ及σ2，即可由后者对前者进行近似计算。
研究总体与所抽取的样本之间的关系是统计学的中心内容。对这种关系的研究从两方面着手：一是从总体到样本，这就是研究抽样分布(sampling distribution)的问题；二是从样本到总体，这就是统计推断(statistical inference)问题。4抽样分布
统计推断是以总体分布和样本抽样分布的理论关系为基础的。为了能正确地利用样本去推断总体，并能正确地理解统计推断的结论，必须对样本的抽样分布有所了解。由总体中随机地抽取若干个体组成样本，即使每次抽取的样本含量相等，其统计量(如，S)也将随着样本的不同而有所不同，因而样本
由总体随机抽样(random sampling)的方法可分为有返置抽样和不返置抽样两种。前者指每次抽出一个个体后，这个个体应返置回原总体；后者指每次抽出的个体不返置回原总体。对于无限总体，返置与否都可保证各个体被抽到的机会相等。对于有限总体，就应该采取返置抽样，否则各个体被抽到的机会就不相等。4.1
设有一个总体，总体平均数为μ,方差为σ2，总体中各变数为x，将此总体称为原总体。现从这个总体中随机抽取含量为n的样本，样本平均数记为。可以设想，从原总体中可抽出很多甚至无穷多个含量为n的样本。由这些样本算得的平均数有大有小，不尽相同，与原总体平均数μ相比往往表现出不同程度的差异。这种差异是
总体样本观测前样本值1样本值2…样本值n随抽机样…（x1,x2,…xn）（x1,x2,…xn）（x1,x2,…xn）样本值1样本值2样本值nX1，X2，…，Xn随抽机样样本总体X观测以后……………
显然，样本平均数也是一个随机变量，其概率分布叫做样本平均数的抽样分布。由样本平均数构成的总体称为样本平均数的抽样总体。其平均数和标准差分别记为和。是样本平均数抽样总体的标准差，简称标准误(standard error)，它表示平均数抽样误差的大小。统计学上已证明
由中心极限定理可知，不论x变量是连续型的还是离散型的，也无论x服从何种分布，一般只要n＞30，就可认为的分布是正态的。若x的分布不很偏倚，在n＞20时，的分布就近似于正态分布。
均数标准误标准误(平均数抽样总体的标准差)的大小，反映样本平均数的抽样误差的大小，即精确性的高低。标准误大，说明各样本平均数间差异程度大，样本平均数的精确性低。反之，小，说明间的差异程度小，样本平均数的精确性高。的大小与原总体的标准差σ成正比，与样本含量n的平方根
但在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的，因而无法求得。此时，可用样本标准差S估计σ。于是，以估计。记为，称作样本标准误或均数标准误。样本标准误是平均数抽样误差的估计值。若样本中各观测值为，，…，，则 (3-20)
注意，样本标准差与样本标准误是既有联系又有区别的两个统计量，(3-20)式已表明了二者的联系。二者的区别在于：样本标准差S是反映样本中各观测值，，…，变异程度大小的一个指标，它的大小说明了对该样本代表性的强弱。样本标准误是样本平均数的标准差，它是抽样误差的估计值，其大小说明
对于大样本资料，常将样本标准差S与样本平均数配合使用，记为±S，用以说明所考察性状或指标的优良性与稳定性。对于小样本资料，常将样本标准误与样本平均数配合使用，记为±，用以表示所考察性状或指标的优良性与抽样误差的大小。
4.2两样本均数差数的抽样分布设x1～，x2～，且x1与x2相互独立，由这两个总体中抽样（无论样本容量n1、n2多大），则样本平均数之差（）服从正态分布，即且总体参数有如下关系：（3-21）～
若所有样本均来自同一个正态总体x～，则其平均数差数的抽样分布（不论样本容量n1、n2大小）服从正态分布，且（3-22）若所有样本均来自非正态的同一总体，则其平均数差数的抽样分布按中心极限定理在样本容量n1、n2相当大时（大于30）才逐渐接近于正态分布。
若所有样本均来自两个非正态总体，当与相差不太大，且n1和n2趋于无穷大时，其平均数差数的抽样分布逐渐趋于正态分布。实际研究中与是未知的，常用S12与S22分别来代替，于是常用来估计，记为称为均数差数标准误（3-23）其中，S12、S22分别是样本含量为n1、n2的两个样本方差。
如果两个总体的方差相等，即那么，S12、S22都是的估计值，这时应该用他们的加权平均值S02来估计统计量：～t（）
4.3学生氏t分布（t－distribution）由样本平均数抽样分布的性质知道：若x～N(μ, σ2)，则～N(μ, σ2/n)。将随机变量标准化得：，则u～N(0,1)。但当总体标准差σ未知时，以样本标准差S代替σ所得到的统计量记为t。（3-26）～t（df）
在计算时，由于采用S来代替σ，使得t变量不再服从标准正态分布，而是服从t分布。它的概率分布密度函数如下：(3-27)式中，df=n-1为自由度，t的取值范围是（-∞，+∞）t分布的平均数和标准差为：μt＝0(3-28)（df>2）（df>1）
t分布密度曲线如图3-11所示图3-11不同自由度的t分布
t分布的概率分布函数为：(3-29)因而t在区间（t1，+∞）取值的概率—右尾概率为1-Ft (df)。由于t分布左右对称，t在区间（-∞，-t1）取值的概率也为1-Ft df)。于是t分布曲线下由-∞到-t1和由t1到+∞两个相等的概率之和—两尾概率为2(1-Ft (df))
例如，当df=15时，查附表3得两尾概率等于0.05的临界t值为=2.131，其意义是：P(-∞<t<-2.131)=P(2.131<t<+∞)=0.025；P(-∞<t<-2.131)+(2.131<t<+∞)=0.05。由附表3可知，当df一定时，概率P越大，临界t值越小；概率P越小，临界t值越大。
当概率P一定时，随着df
4.4分布如果是来自正态总体的一个随机样本，定义样本方差为：那么，统计量服从自由度为n-1的分布，记为
分布密度曲线（卡方）（4）分布的形状取决于参数df,，df＝1时，曲线极端左偏，呈反J型；随着df的增大，曲线渐趋左右对称。当df>30时，分布已趋向于正态分布。
设为来自正态总体的一个随机样本，样本方差为S12，为来自正态总体的一个随机样本，样本方差为S22，且这两个样本相互独立，则统计量4.5F分布（Fdistribution）服从第一自由度为df1=n1-1，第二自由度为df2＝n2-1的F分布。记为～F（n1-1,n2-1）
F分布密度曲线是随自由度df1、df2的变化而变化的一簇偏态曲线，其形态随着df1、df2的增大逐渐趋于对称，如图所示。
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