04 第6章　抽样推断.ppt

第1页：第七章 抽样推断 封面

本页为第七章标题页，标题为「第七章：抽样推断」。

第2页：统计推断的两类内容

统计推断

包括参数估计和假设检验，即通过样本统计量来估计和检验总体的参数。

目的

认识未知的总体参数及其分布特征。

第3页：点估计的概念

点估计

通过计算一个统计量（样本元素的函数），将它作为未知参数的估计值。

参数估计的两种形式

点估计与区间估计。

设样本为 X₁，…，X_n，未知参数为 θ，则估计量可记为 θ̂＝d(X₁，…，X_n)。

第4页：估计量及其构造方法

估计量

用来估计参数的统计量，估计参数 θ 的估计量记为 θ̂。

构造方法

常用的有矩法和极大似然法（本课件从略）。

第5页：点估计示例：总体均值与标准差

例：从平均值为 μ、标准差为 σ 的总体中抽出样本 X₁，…，X_n，用样本统计量对总体参数作出估计。

第6页：估计量的无偏性

判别标准

衡量估计量好坏通常有无偏性、一致性、有效性三项标准。

无偏性

若一个估计量的数学期望值等于被估计参数，则称该估计量为被估参数的无偏估计量。

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第8页：s² 是 σ² 的无偏估计量

由无偏性的推导可得结论：样本方差 s² 是总体方差 σ² 的无偏估计量。

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第12页：估计量的一致性

一致性

若随着样本容量 n 的增大，估计量的值越来越接近于被估计的参数，则该估计量称为一致估计量。

课件图示以 n₁<n₂<n₃ 的抽样分布变化说明估计量随样本增大而集中于真值附近。

第13页：估计量的有效性

有效性

设 θ̂₁、θ̂₂ 是参数 θ 的两个无偏估计量，若 θ̂₁ 的方差比 θ̂₂ 的方差小，则称 θ̂₁ 比 θ̂₂ 有效。

第14页：几种总体参数的点估计量

本页汇总几种常用总体参数的点估计量：总体均值用样本均值估计，总体方差用样本方差估计，总体成数用样本成数估计等。

第15页：次品率估计例题

例：某公司考虑购买一批减价商品，共 2000 件，其中有些是次品，但不知次品量或次品率。公司得知每件次品的修复成本为 0.25 元，并认为若总修复成本低于 50 元则购买有利可图。抽取 100 件调查，发现 12 件次品。问这批商品的次品率为多少？公司是否可购买？

第16页：次品率例题的解答

• 设样本次品率为 p，则总体中的次品量为 N·p。
• 估计的次品率为 12%，次品量为 240 件。
• 修复成本＝240×0.25＝60（元），高于 50 元的盈亏界限。
• 结论：公司不能购买这一批商品。

第17页：置信区间与置信度

置信区间

由样本统计量构造的、可能包含未知参数的区间。

置信度

称 1−α（0 ≤ α ≤ 1）为置信度（或置信水平）。

第18页：单侧置信区间

只有一个下限值或只有一个上限值的置信区间称为单侧置信区间，分别用于只关心参数下限或上限的情形。

第19页：置信度与区间长度的关系

• 置信度越大，置信区间越长；反之亦然。
• 若要同时使置信度尽可能大、置信区间尽可能小，只有提高样本容量 n。

第20页：σ 已知时 μ 的置信区间

情形

正态总体、方差 σ 已知时，对总体均值 μ 作区间估计。

思路

给定置信度 1−α，构造含 μ 的不等式，再解出 μ 的上、下限。

第21页：置信区间不等式的变形

本页为 σ 已知时 μ 的置信区间推导过程：将标准化统计量的不等式逐步变形，使中间只剩未知参数 μ。具体算式以原课件图片为准。

第22页：临界值 z 的确定

本页承接上页的推导，说明不等式两端的临界值 z₁、z₂ 是根据置信度 1−α 的大小确定的。具体算式以原课件图片为准。

第23页：μ 的双侧置信区间公式

• 由标准正态分布对称性，取 z₁＝−z_α/2，z₂＝z_α/2。
• 由此得到 μ 的双侧置信区间上、下限公式。

具体算式以原课件图片为准。

第24页：μ 的单侧置信区间公式

同理可得 μ 的单侧置信区间上限公式或下限公式，分别对应只关心均值不超过某一界限或不低于某一界限的情形。具体算式与图示以原课件图片为准。

第25页：σ 未知时 μ 的置信区间

情形

正态总体、方差 σ 未知的小样本情形。

处理

用样本标准差 s 代替 σ，统计量服从 t 分布。

第26页：σ 未知时置信区间的推导

本页说明同 σ 已知的情形类似地推导，可得 σ 未知时 μ 的置信区间。具体算式以原课件图片为准。

第27页：σ 未知时置信区间的另一形式

本页给出 σ 未知时 μ 置信区间的另一种写法（原文仅有「或」字，公式以图片形式呈现）。

第28页：工业类股票收盘价例题

例：设在某证券交易所上市的工业类股票的日收盘价格是正态分布的随机变量，随机抽取其中 20 种股票，得知样本平均收盘价为 30 元，方差为 6.32。求该市场工业类股票平均收盘价格的置信区间（α＝2%）。

第29页：股票收盘价例题的解答

• 已知 n＝20，s²＝6.32，σ 未知，用小样本 t 区间。
• 查表得置信区间为（28.57，31.43）元。

第30页：置信区间结论的解释

按此区间估计方法，将有 98% 这样的置信区间包括工业类股票的平均收盘价格；也可以说，有 98% 的把握认为工业类股票的平均收盘价格介于 28.57 元至 31.43 元之间。

第31页：总体方差 σ² 的置信区间

情形

正态总体下对参数 σ² 作区间估计。

思路

由样本方差构造服从卡方分布的统计量，解出 σ² 的上、下限。

具体算式以原课件图片为准。

第32页：σ² 区间估计的分布示意

本页为 σ² 置信区间的分布图示，标出置信度 1−α 下的分位点位置。具体图形与算式以原课件图片为准。

第33页：σ² 置信区间的另一形式

本页给出 σ² 置信区间的另一种写法（原文仅有「或」字，公式以图片形式呈现）。

第34页：两总体均值之差 μ₁−μ₂ 的区间估计

估计对象

两个总体平均数之差 μ₁−μ₂。

要求

对给定的 1−α，求 LCL 与 UCL，使 P（LCL<μ₁−μ₂<UCL）＝1−α。

第35页：μ₁−μ₂ 的双侧置信区间

同理可得 μ₁−μ₂ 的双侧置信区间（LCL，UCL）。具体算式以原课件图片为准。

第36页：μ₁−μ₂ 的单侧置信区间

本页给出 μ₁−μ₂ 的单侧置信区间（另一形式）。具体算式以原课件图片为准。

第37页：μ₁−μ₂ 区间估计的另一情形

本页为两个总体平均数之差区间估计的另一种已知条件：对给定的 1−α，求 LCL 与 UCL，使 P（LCL<μ₁−μ₂<UCL）＝1−α。具体算式以原课件图片为准。

第38页：μ₁−μ₂ 双侧置信区间（续）

同理可得该情形下 μ₁−μ₂ 的双侧置信区间（LCL，UCL）。具体算式以原课件图片为准。

第39页：μ₁−μ₂ 单侧置信区间（续）

本页给出该情形下 μ₁−μ₂ 的单侧置信区间形式。具体算式以原课件图片为准。

第40页：两个总体方差之比的区间估计

估计对象

两个总体方差之比。

思路

构造服从 F 分布的统计量，求置信下限 LCL 与上限 UCL。

第41页：方差比区间估计的分布示意

本页为两个总体方差之比区间估计的图示，标出置信度 1−α 下 F 分布两侧的分位点。具体图形以原课件图片为准。

第42页：

第43页：方差之比置信区间的另一形式

本页给出两个总体方差之比置信区间的另一种写法（原文仅有「或」字，公式以图片形式呈现）。

第44页：总体比例 P 的区间估计

• 假定 n ≥ 30，且 np ≥ 5、n(1−p) ≥ 5。
• 此时可近似地用 p(1−p) 替代 P(1−P) 计算抽样误差。

第45页：总体比例置信区间的另一形式

本页给出总体比例 P 置信区间的另一种写法（原文仅有「或」字，公式以图片形式呈现）。

第46页：两个总体比例之差 P₁−P₂

本页进入两个总体比例之差 P₁−P₂ 的区间估计，用两个样本成数之差作为估计量。

第47页：P₁−P₂ 的双侧置信区间

本页给出 P₁−P₂ 的双侧置信区间（LCL，UCL）。具体算式以原课件图片为准。

第48页：P₁−P₂ 的单侧置信区间

本页给出 P₁−P₂ 的单侧置信区间形式。具体算式以原课件图片为准。

第49页：假设检验的基本思想

例：根据过去的测试知某种电子元件的使用寿命服从 N（μ₀，σ²），技术改进后随机抽取 n 个产品测试得 X₁，X₂，…，X_n，据此可以进行两类统计推断。

第50页：推断之一：区间估计

第一种推断：若要了解技术改进后产品使用寿命 μ 的大小，则可在给定置信度 1−α 时对总体平均值 μ 作区间估计。

第51页：推断之二：假设检验

第二种推断：若要问改进后的平均使用寿命 μ 是否与改进前的 μ₀ 有明显差别，则可在给定显著性水平 α 时对 μ 进行假设检验。

第52页：原假设与备择假设的设立

H₀：μ＝μ₀

表明技术改进前后的平均使用寿命没有明显差别。

H₁：μ≠μ₀

表明技术改进前后的平均使用寿命有明显差别。

第53页：用置信区间构造水平 α 的检验

通过置信区间可以构造一个水平 α 的检验：当且仅当 μ₀ 落在区间之内，就接受 H₀。

第54页：拒绝域与接受域

本页为双侧检验的图示：分布两侧各为面积 α/2 的拒绝域，中间 1−α 为接受域，分界点为 −z_α/2 与 z_α/2。

第55页：

第56页：单侧假设检验的形式

• 右侧检验：H₀：μ ≤ μ₀，H₁：μ > μ₀。
• 左侧检验：H₀：μ ≥ μ₀，H₁：μ < μ₀。

两组假设分别对应右侧与左侧的单侧拒绝域。

第57页：假设检验的基本思想

经过抽样获取一组数据，即一个来自总体的随机样本，如果根据样本计算的某个统计量表明在假设成立的条件下几乎是不可能发生的，就拒绝或否定这个假设；如果不然，则接受这个假设。

第58页：两类错误的定义

第 I 类错误

原假设 H₀ 成立，但检验结果拒绝了 H₀，常称为「弃真」，P（I）＝α。

第 II 类错误

原假设 H₀ 不成立，但检验结果接受了 H₀，常称为「纳伪」，P（II）＝β。

第59页：两类错误的分布示意

本页为两类错误的图示，用 μ₀ 与 μ₁ 两个分布的位置标出 α 与 β 各自对应的面积。具体图形以原课件图片为准。

第60页：α 与 β 的关系

α 是可以选择的，而 β 一般是不能计算的。因为当 H₀ 不成立时，μ 的真值与 μ₀ 的偏离可能大也可能小：偏差大则 β 较小，而当 μ 很接近 μ₀ 时，β 有可能很大。

第61页：显著性水平的选取

• 一个好的检验应使犯两类错误的概率都很小，但要做到这点除非样本很大。
• 当样本大小 n 固定时，α 与 β 通常不能兼顾，通常主要考虑控制 α，在选定 α 水平后使 β 尽可能小。
• 在假设检验中，称 α 为检验水平，也称显著性水平。

第62页：步骤一：提出假设

H₀ 和 H₁ 是两个相反的假设，包括原假设 H₀ 和备择假设 H₁。其所有可能的结果都应包含在这两个假设的范围内，它们的提出确定了所要检验的对象。

第63页：步骤二：计算统计量并确定拒绝域

构造一个检验统计量，要求这个统计量包含着待检验的参数，除此之外其余参数必须是已知的；通过检验统计量的分布在指定的 α 下确定拒绝域。

第64页：步骤三：作出决策与解释

• 在 n 不变的情况下，要减少 α 必然会增加 β，同时减少 α 和 β 是不可能的，因此通常主要考虑控制 α。
• 若检验统计量的值落入拒绝域内，就拒绝原假设；否则就不拒绝 H₀。
• 若 H₀ 在一次检验后没有被拒绝，并不能肯定 H₀ 一定成立，只能说不拒绝，习惯上称为「接受」H₀。

第65页：总体均值 μ 的假设检验

原假设

H₀：μ＝μ₀。

备择假设

H₁：μ≠μ₀。

本节随后给出 σ 已知时的检验统计量，以及依据 |z| 与临界值比较作出拒绝或接受判断的规则。

第66页：均值检验的统计量与判断规则

• 检验统计量（σ 已知）：z＝（X̄−μ₀）／（σ／√n）。
• 若 |z| < z_α/2，则「接受」H₀。
• 若 |z| ≥ z_α/2，则拒绝 H₀。

第67页：均值检验例题

例：设总体服从标准差为 50 的正态分布，从中抽出容量为 25 的随机样本，样本平均值为 70，试以 α＝0.05 的显著水平检验原假设 μ₀＝90。已知 H₀：μ＝90，H₁：μ≠90。

第68页：均值检验例题的解答

• 拒绝域为 |z| ≥ 1.96。
• 计算结果为 z＝−2。
• 结论：拒绝 H₀，即有 95% 的把握否定原假定。

第69页：总体均值 μ 的假设检验表

关于参数 μ 的假设检验表：下表汇总不同已知条件下的检验统计量与拒绝域。

原课件中大样本一栏未完整给出拒绝域，表中按大样本时 t ≈ z 的通行写法补齐，建议对照原图核对。

第70页：总体方差 σ² 的假设检验

• 原假设形式：σ²＝σ₀²、σ² ≤ σ₀²、σ² ≥ σ₀²。
• 备择假设形式：σ²≠σ₀²、σ² > σ₀²、σ² < σ₀²。
• 检验统计量服从卡方分布。

原课件本页表格中的检验统计量与拒绝域公式残缺，需对照原课件图片补充。

第71页：两总体均值之差 μ₁−μ₂ 的假设检验

两个总体均值之差 μ₁−μ₂ 的假设检验表：下表按已知条件列出检验统计量与拒绝域。

大样本时 t ≈ z，故改用 z 统计量；原表格中的具体符号建议对照原课件图片核对。

第72页：两个总体方差比的假设检验

本页给出两个总体方差比假设检验表的表头：原假设 H₀、备择假设 H₁、检验统计量与拒绝域；表内具体内容在原课件中为图片形式，需对照补充。

原课件本页仅有表格框架，检验统计量与拒绝域公式缺失。

第73页：成数 p 的假设检验表

成数 p 的假设检验表：下表列出总体成数的三种假设形式及对应拒绝域。

第74页：两总体成数之差的假设检验表

两个总体成数之差 P₁−P₂ 的假设检验表：下表列出三种假设形式及对应拒绝域。

计算时分别用样本成数 p₁、p₂ 近似代替总体成数 P₁、P₂。

第75页：装置工作温度检验例题

例：某制造厂生产某装置的平均工作温度是 190℃。今从一个由 16 台装置构成的随机样本求得的工作温度的平均数和标准差分别是 194℃ 和 8℃，能否说明平均工作温度比制造厂规定的要高？设 α＝0.05，并假定工作温度服从正态分布。

第76页：工作温度例题的解答

• 已知 n＝16，μ₀＝190，s＝8。
• H₀：μ ≤ 190，H₁：μ > 190。
• 计算检验统计量 t＝（194−190）／（8／√16）＝2。

第77页：工作温度例题的结论

• 查表得拒绝域为 t ≥ 1.753。
• 计算结果为 t＝2。
• 结论：拒绝 H₀，样本数据说明平均工作温度比制造厂规定的要高。