05 第7章　相关与回归分析.ppt

第1页：第八章 相关与回归分析 封面

本页为第八章标题页，标题为「第八章：相关与回归分析」。

第2页：相关关系的概念

现象之间的数量关系存在着两种不同的类型：一种是函数关系，另一种是相关关系。本节随后分别说明两者的含义与区别。

第3页：函数关系

函数关系

变量之间存在严格的依存关系，关系值是固定的，对于某一变量的每一个值，都有另一个变量的完全确定的值与之相对应。

例如，圆的面积等于圆周率乘以半径的平方。

第4页：相关关系

相关关系

变量之间确实存在但关系值不固定的相互依存关系：当一个或几个变量的值确定以后，另一个变量的值虽与它有关，却不能完全确定，属于非确定性关系。

例如，电视机的拥有率与人均收入水平有关，但人均收入水平相同的地区，电视机拥有率可能不尽相同。

第5页：自变量与因变量

自变量

在相互联系的现象中起着影响作用的变量，即原因方面的变量。

因变量

由于受到自变量变动的影响而发生变动的变量，即结果方面的变量。

在客观事物中，尤其是在经济现象中，相关关系普遍存在，统计很有必要对这种关系进行研究。

第6页：自变量的确定与符号约定

有时两个变量之间只存在相互联系而并不存在明显的因果关系，确定哪一个是自变量、哪一个是因变量主要取决于研究的目的。例如，施肥量是自变量，亩产量是因变量。研究两个变量之间的关系时，通常以 X 表示自变量，以 Y 表示因变量。

第7页：正相关与负相关

相关关系从不同的角度可以划分成不同的类型。从相关的方向看，可以分为正相关和负相关。

第8页：正相关与负相关的定义

负相关

相关变量之间的变化趋势相反，自变量值增加时因变量值随之减少，反之亦然；如产品产量与单位产品成本。

正相关

相关变量之间的变化趋势相同，自变量值增加时因变量值也随之增加；如汽车的使用年限与修理费用。

第9页：线性相关

线性相关（直线相关）

两个变量之间变化的趋势呈线性或近似于线性，自变量变动时因变量的增减量大致均等，观察点的分布近似表现为直线形式。

第10页：非线性相关

非线性相关（曲线相关）

两个变量之间变化的趋势呈非线性，自变量变动时因变量的增减量不均等，观察点的分布表现为各种曲线形式。

第11页：单相关和复相关

单相关

两个变量之间的相关关系，如仅考虑施肥量对产量的影响。

复相关

三个或三个以上变量之间的相关关系，如同时考虑施肥量、降雨量及深耕程度对产量的影响。

第12页：回归分析的概念

回归分析

研究变量之间关系可能形式的统计方法，把两个或两个以上变量之间的变动关系加以模型化，用数学函数表达变量之间的关系。

目的

通常在于预测或估计与某一个或某几个变量的给定值相对应的另一变量的数值。

第13页：相关分析与回归分析的区别

相关分析

研究如何计量变量之间关系强度的统计方法，能确定变量之间相关的程度；不必区分自变量与因变量，变量属对等关系。

与回归分析的区别

回归分析须区分自变量与因变量以确定关系形式，变量属非对等关系；两者研究对象相同而研究角度不同。

第14页：相关图表的作用

对现象变量之间是否存在相关关系以及存在怎样的相关关系进行分析、作出判断，是进行回归和相关分析的前提。通过编制相关表和相关图，可以直观、大致地判断相关关系的存在与类型。

第15页：相关表的编制

相关表是表现现象变量之间相关关系的表格。例如，为研究商店人均月销售额和利润率的关系，调查 10 家商店取得 10 对数据，以人均销售额为自变量、利润率为因变量，编制简单相关表。

第16页：人均销售额与利润率相关表

商店人均月销售额与利润率相关表：下表为 10 家商店的调查数据。

第17页：相关图（散点图）

相关图是把相关的两个变量之间的关系在平面直角坐标（第一象限）中反映出来的图形：通常将自变量 x 置于横轴、因变量 y 置于纵轴，把对应的变量值用坐标点描绘出来，所以又称为散点图。

第18页：人均销售额与利润率相关图

前述人均月销售额与利润率的关系可用相关图表示：横轴为人均销售额（千元），纵轴为利润率（%），十个观察点自左下向右上分布。

第19页：由相关图判断方向与形式

从图中可以清楚地看出这两个变量之间相关的方向（正相关）以及相关的具体形式（直线相关）。

第20页：六种散点图形态

• (a) 直线关系；(b) 反直线关系；(c) 正曲线关系。
• (d) 反曲线关系；(e) 较分散的反直线关系；(f) 没有关系。

第21页：散点图形态的判读

• 图 (a)(b) 为正的和反的直线关系，即正线性相关与负线性相关。
• 图 (c)(d) 为正的和反的曲线关系，即正非线性相关与负非线性相关。
• 图 (e) 为散布域很宽的反直线关系，散布域越宽表明变量之间联系程度越差。
• 图 (f) 表明两个变量之间没有什么关系。

第22页：回归直线的确定

如果变量 x 和 y 相关，并且从相关图表中可以看出它们之间大致形成一种直线关系，就可在相关图上求出一条与各点最相配合的直线。

第23页：样本回归直线方程

总体回归直线的估计线

观察值只是总体中的一个样本，故所求直线为总体回归直线的估计线，线上点的纵坐标是相应于 x 的 y 的估计值 ŷ。

估计线方程

ŷ＝a＋bx。

第24页：截距 a 与回归系数 b

x

受控制的自变量，通常由研究者事先选定数值。

a

样本回归直线的截距，即直线通过纵轴处的 y 坐标。

b

样本回归直线的斜率，表示当 x 增加一个单位时 y 的平均增加数量，又称回归系数。

第25页：参数 a、b 的确定与误差

• 用 (x_i，y_i)（i＝1，2，…，n）表示 n 组观察值。
• 估计值 ŷ_i＝a＋bx_i 与实测值 y_i 之间存在误差 δ_i＝y_i－ŷ_i＝y_i－a－bx_i。

第26页：最小二乘法原则

• 目标：Q（a，b）＝Σδ²＝Σ（y－a－bx）² 为最小。
• 据此把寻找适当直线的问题转化为在 Q 最小条件下求 a、b 的问题。

第27页：由极值原理求参数

因为 Q（a，b）是 a、b 的非负二元函数，其最小值存在。根据数学中的极值原理令偏导为零，化简得：

• Σ（y－a－bx）＝0
• Σ（y－a－bx）x＝0

第28页：标准方程组

• 标准方程组：Σy＝na＋bΣx；Σxy＝aΣx＋bΣx²。
• 解之得：a＝ȳ－b·x̄。

第29页：一元线性回归方程与 Lxy

回归方程

ŷ＝a＋bx 称为一元线性回归方程，对应直线为样本回归直线；因随样本而异而具经验特征，也称经验公式。

离差乘积和式

L_xy＝Σ（x－x̄）（y－ȳ），用于简化回归系数 b 的表达。

第30页：Lxx 与 Lyy

• L_xx＝Σ（x－x̄）²，自变量的离差平方和。
• L_yy＝Σ（y－ȳ）²，因变量的离差平方和，供相关性检验使用。
• 回归系数可简化为 b＝L_xy／L_xx。

第31页：十个炉次含碳量与精炼时间表

求回归方程式的系数往往通过列表进行。下面以某钢铁厂炼钢精炼时间对含碳量的回归方程为例，说明回归方程的确定。

某钢铁厂十个炉次钢液含碳量与精炼时间资料：下表为一元线性回归例题的原始数据。

第32页：对原始数据配合回归直线

可以看出，x 与 y 之间的关系近似为直线关系，可以对其配合一条回归直线。为计算回归方程的系数 a、b，先对原始数据进行加工。

第33页：原始数据加工表

原始数据加工表：下表在原始数据基础上补齐 x²、y² 与 xy，用于计算回归系数。

第34页：回归系数的计算过程

本页为把加工表合计数（Σx＝15.0，Σy＝1660，Σx²＝23.76，Σy²＝294300，Σxy＝2642）代入公式求 a、b 的计算过程。具体算式以原课件图片为准。

第35页：精炼时间对含碳量的回归方程

故精炼时间关于含碳量的回归方程为：ŷ＝－14.9525＋120.635x，其中截距 a＝－14.9525，回归系数 b＝120.635。

第36页：回归方程的解释与预测

• 含碳量每增加 0.1%，精炼时间平均大约延长 12.06 分。
• 例如求含碳量 2.2% 所需的精炼时间：ŷ＝－14.9525＋120.635×2.2＝150.4445（分）。

第37页：回归估计的可靠性问题

回归方程的重要作用在于根据自变量的已知值估计因变量的可能值，但估计值与实际值可能一致也可能不一致。例如当含碳量为 1.8% 时，推算的炼钢时间为 202.19 分钟，而实际为 190 分钟，相差 12.19 分钟，由此产生回归方程的可靠性问题。

第38页：估计平均误差 Sy

估计平均误差

度量观察值围绕着回归直线的变化程度或分散程度，通常用 S_y 表示。

具体计算公式以原课件图片为准。

第39页：估计平均误差的自由度

注意公式中根号内的分母是 n－2 而不是 n。这是由于 Q＝Σ（y－ŷ）² 受到两个线性关系的约束，因而其自由度为 n－2。

第40页：估计平均误差的简化算法与含义

• 当实际观测值很多且数值较大时，按原公式计算十分麻烦，可借助简化公式，结果一致。
• 估计平均误差越大，数据点围绕回归直线的分散程度越大，回归方程代表性越小。
• 估计平均误差越小，分散程度越小，回归方程代表性越大、可靠性越高。

第41页：相关分析的作用

相关分析是用以说明变量之间相关程度的统计工具，常与回归分析联合使用以衡量回归方程所表示的因变量变化的精确度，也可单独用于衡量变量之间的联系程度。本节讨论两个变量之间的线性相关程度，通常采用相关系数描述。

第42页：相关系数的意义

考察线性回归中指标 y 的值 y_i 与回归估计值 ŷ_i 的离差平方和 Q，记 Q＝L_yy（1－r²），其中 r 称为相关系数，是在线性相关条件下说明两个变量之间相关关系密切程度的指标。

第43页：相关系数的取值性质

• 因为 Q ≥ 0、L_yy ≥ 0，故相关系数有重要性质：｜r｜ ≤ 1。
• 图示六种取值情形：r＝－1、－1<r<0、r＝0、r＝0（曲线情形）、0<r<1、r＝1。

第44页：｜r｜大小与相关密切程度

• 当｜r｜较大接近于 1 时，Q 较小而接近于 0，y 与 x 高度相关；｜r｜＝1 时为完全相关。
• 当｜r｜较小而接近于 0 时，Q 较大，相关关系很弱；r＝0 时称线性无关。

第45页：相关系数的正负方向

• 若 r > 0，则称 y 与 x 正相关，随着 x 的增大（或减小），y 呈现增大（或减小）的趋势；r＝1 时为完全正相关。
• 若 r < 0，则称 y 与 x 负相关，随着 x 的增大（或减小），y 呈现减小（或增大）的趋势；r＝－1 时为完全负相关。

第46页：相关系数的使用注意

相关系数 r 只表明 x 与 y 之间线性关系的密切程度和方向。当 r 很小甚至为 0 时，只表明线性关系不密切或不存在线性关系，并不表示 x 与 y 之间就没有关系，二者之间可能存在非线性（曲线）关系。

第47页：相关系数的计算公式

本页给出相关系数的计算公式，并结合第二节介绍的离差乘积和式 L_xy、L_xx、L_yy 进行化简。具体算式以原课件图片为准。

第48页：相关系数的简化公式

本页为用 L_xy、L_xx、L_yy 表示的相关系数简化公式，即 r＝L_xy／√（L_xx·L_yy）。具体算式以原课件图片为准。

第49页：相关系数的另一计算式

如果将分子分母同乘以 n，又可得相关系数的另一种计算式。据此利用第二节中炼钢厂钢液含碳量与精炼时间的资料计算相关系数。

第50页：相关系数的计算结果

计算得出 r＝0.9892，表明精炼时间和含碳量之间为正相关关系，且 r 值接近于 1，说明两者关系很密切。

第51页：线性相关的显著性检验

回归方程在一定程度上揭示了变量之间的内在联系，但它所揭示的规律性是否显著？只有当相关系数 r 的绝对值大到一定程度时，用回归直线表示 x 与 y 之间的关系才有意义。

第52页：相关系数显著性检验表

• 相关系数显著性检验表给出显著性水平 α 为 0.10、0.05、0.02、0.01、0.001 时的临界值。
• 若观测值 r 大于相应临界值，则认为线性相关关系显著；否则认为不显著。
• 查表所用自由度为 n－m－1；一元回归场合 m＝1，故自由度为 n－2。

第53页：显著性检验的结论

• 算得相关系数 r＝0.9892。
• 若 α＝0.01，查表得临界值 r（0.01；10－2）＝0.7646。
• ｜0.9892｜ > r（0.01；10－2），故精炼时间 y 与钢液含碳百分比之间的线性关系在 α＝0.01 下显著，配置回归方程有意义，这种显著性通常称为高度显著。