页数：74页文件大小：2.09 MB来源： 统计学原理与实务-徐静霞ppt课件
本课件为课程第七章，先介绍相关关系与函数关系的区别、相关关系的类型与散点图，讲解相关系数的计算、性质与显著性检验；随后系统讲解一元线性回归模型与方程、最小二乘估计原理、判定系数与估计标准误差、线性关系与回归系数的显著性检验；最后说明利用回归方程进行点估计、置信区间与预测区间的方法以及可线性化的指数曲线方程。
第7章 相关与回归分析目录
第7章学习目标
？研究某些实际问题时往往涉及到多个变量。
在这些变量中，有一个变量是研究中特别关注的，称为因变量，而其他变量则看成是影响这一变量的因素，称为自变量。
假定因变量与自变量之间有某种关系，并把这种关系用适当的数学模型表达出来，那么，就可以利用这一模型根据给定的自变量来预测因变量，这就是回归要解决的问题。
在回归分析中，只涉及一个自变量时称为一元回归，涉及多个自变量时则称为多元回归。
如果因变量与自变量之间是线性关系，则称为线性回归(linearregression)；如果因变量与自变量之间是非线性关系则称为非线性回归(nonlinearregression)
7.1 相关分析
是一一对应的确定关系
函数关系例子
(correlation)
相关关系类型
相关关系的测定
相关图：本页引出相关图（散点图）这一相关关系的直观测定方法，即在直角坐标系中把两个变量的成对观测值描点，由点的分布形态与疏密判断相关关系的方向、形态与强弱。具体的散点图示例见下一页。
本页为散点图（scatter diagram）示意图，依次展示完全正线性相关、完全负线性相关、正线性相关、负线性相关、非线性相关与不相关六种典型的观测点分布形态。
(correlation coefficient)度量变量之间线性关系强度的一个统计量。
若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为；若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，简称为相关系数，记为r。也称为Pearson相关系数(Pearson’scorrelationcoefficient)
相关系数的计算公式：本页给出样本相关系数的计算公式，包括由两个变量的离差乘积之和除以各自离差平方和之积的平方根的定义式，以及便于手工计算的简捷计算公式。
原页中的公式符号在文本提取时缺失，建议对照原课件核对公式写法。
表7–2 相关系数计算表：本页给出用于计算相关系数的计算表（表7–2），按样本单位列出两个变量的观测值及其离差、离差乘积与平方和等栏目，为代入相关系数公式准备基础数据。
原页表格中的具体数值在文本提取时缺失，建议对照原课件补充表内数据。
相关系数计算（例题分析）尽管采用了简捷计算公式，但当样本量较大时计算起来仍然很麻烦，可以采用Excel中的【CORREL】函数或【PEARSON】函数都可以计算两组数据的相关系数。
相关系数的性质性质1：r的取值范围是[-1,1]
|r|0.8时，可视为两个变量之间高度相关2.0.5|r|<0.8时，可视为中度相关3.0.3|r|<0.5时，视为低度相关
相关系数的显著性检验导引
相关系数的显著性检验(检验的步骤)
相关系数的显著性检验(例题分析)【例7.5】根据表7—2计算的相关系数，检验广告费用与月均销售额之间的相关系数是否显著( )。
解：第1步：提出假设：；；第2步：计算检验的统计量：第3步：做出决策。
根据显著性水平和自由度，由Excel中的【TINV】函数，得：由于，所以拒绝原假设，说明广告费用与月均销售额之间存在着显著的正线性相关关系。
相关分析中应注意的问题
7.2 一元线性回归分析
一元线性回归（回归分析的涵义与内容）：本页引出7.2.1的内容，说明回归分析以重点考察的因变量为核心，把其他变量作为解释这一变量的自变量，并通过适当的数学模型把变量间的关系表达出来。
回归分析内容(regression analysis)
联系：相关分析是回归分析的基础和前提，回归分析则是相关分析的深入和继续。区别：
涉及一个自变量的回归
(linear regression model)
一元线性回归模型(基本假定)
一元线性回归方程式为：
参数估计的普通最小二乘法：本页引出7.2.4的内容，说明用普通最小二乘法（method of least squares）估计一元线性回归方程中的截距与斜率两个参数。
(method of least squares )
本页为最小二乘法的示意图，展示各观测点到拟合直线垂直方向的误差，最小二乘法即使这些误差的平方和达到最小。
最小二乘法手工求解：本页给出按最小二乘正规方程手工求解回归系数计算表的过程，即先由样本数据求出两个变量的和、平方和与乘积和，再代入公式求得截距与斜率。
原页中的计算式与中间结果在文本提取时缺失，建议对照原课件补充算式。
估计方程的求法(例题分析)【例7-5】根据例7-4的数据，求月均销售额对广告费用的估计方程。
解：根据式（7-13）得：即月均销售额对广告费用的估计方程为回归系数表示，年广告费用每增加1万元，月均销售额平均增加0.884896万元。
参数的最小二乘估计(例题分析)
7.3 一元线性回归的统计检验
回归直线与各观测点的接近程度称为回归直线对数据的拟合优度（goodness of fit）。
判定系数和估计标准误差是反映回归直线对数据的拟合优度的两个统计量。
变差来源于两个方面：
(三个平方和的意义)
判定系数R2(coefficient of determination
判定系数R2(例题分析)【例7-6】根据例7-4的数据，计算年均广告费对月均销售额回归的判定系数，并解释其意义。
解：利用表7-3 Excel输出的回归分析结果可知，总平方和SST=1837.185；回归平方和SSR=1815.93；残差平方和SSE=21.255。
根据式（7-19）得：也可以由相关系数求得：实际上，表7-3中直接给出了判定系数(R Square)＝0.9884。
(standard error of estimate)
估计标准误差(例题分析)【例7-7】根据例7-5的有关结果，计算年均广告费对月均销售额回归的估计标准误差，并解释其意义。
解：由表7-3 Excel输出的回归分析结果可知，SSE=21.2554。
得：（万元）实际上，表7-3中也直接给出了该值，即标准误差＝1.630011。
7.3.2 显著性检验
一元线性关系检验的具体步骤
线性关系检验(例题分析)【例7-8】根据例7-4的有关结果，检验年均广告费对月均销售额之间线性关系的显著性（）。
解：第1步：提出假设：两个变量之间的线性关系不显著两个变量之间的线性关系显著第2步：计算检验统计量：第3步：进行决策。
根据显著性水平，分子自由度和分母自由度查F分布表，找到相应的临界值。
由于，拒绝H0，表明年均广告费与月均销售额之间的线性关系是显著的。
线性关系检验（P值说明）：本页给出例7-8中Excel回归输出结果的关键指标——Significance F＝4.92209E−09，远小于给定的显著性水平，据此判断年均广告费与月均销售额之间存在显著的线性关系。
回归系数检验(检验步骤)
回归系数检验(例题分析)【例7-9】根据例7-4的有关结果，检验回归系数的显著性（）。
解：第1步：提出假设。
第2步：计算检验的统计量第3步：进行决策。
根据给定显著性水平，自由度查t分布表，得。
由于，拒绝原假设。
这说明广告费用是影响月均销售额的一个显著性因素。
点估计
利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0，求出因变量y的平均值的一个估计值E(y0)，就是平均值的点估计。
在例7.4中，得到的估计的回归方程为，当我们要对年均广告费用为50万元所有代理商月均销售额的平均值估计时，就是平均值的点估计。
利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0，求出因变量y的一个个别值的估计值，就是个别值的点估计。
当我们只想知道年均广告费用为52.8万元的那个代理商的月均销售额是多少时，就是计算个别值的点估计。
区间估计
利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0，求出因变量y的平均值的估计区间，这一估计区间称为置信区间。
(confidence interval)
置信区间估计(例题分析)【例7-10】由例7.4所求得的估计方程，给定，构建95%置信水平条件下月均销售额的置信区间。
解：由前述计算结果可知：n=10，，查表得：当广告费用为50万元时，月均销售额的点估计值为：置信区间为：=55.8545±1.689即。
表明当年均广告费用为50万元时，月均售额的平均值在54.1655元到57.5435元之间。
利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0，求出因变量y的一个个别值的估计区间，这一区间称为预测区间.(predictioninterval)
预测区间估计指数曲线【例7-11】根据例7.4所求得的估计方程，构建95%置信水平条件下年均广告费用为45.2万元的那个代理商月均销售额的预测区间。
解：由前述计算结果可知n=10，，查表得：当年均广告费用为45.2万元时，月均销售额的点估计值为：（万元）月均销售额95%的预测区间为：= 51.6073±4.0279即。
即年均广告费用为45.2万元的那个代理商，其月均销售额的预测区间在47.5794万元到55.6352万元之间。
本页为置信区间与预测区间的示意图，回归直线两侧由内到外分别绘出置信上限、置信下限与预测上限、预测下限，预测区间明显宽于置信区间。
当自变量做等差的增加或减少时，因变量随之做等比的增加或减少，则两变量之间关系为指数函数关系。
即随着x的变动，y以大致相同的速度增加或减少时，两变量之间关系可用指数曲线模型来描述，其回归方程为：a和b为待定参数，,则增长率随着自变量的增加而增加；反之，，则增长率随着自变量的增加而降低。
指数曲线(例题分析)【例7-12】某电器公司生产某种电器，生产成本与月产量的数据资料如表7–6所示。
试分析生产成本与月产量之间的关系，并建立成本对产量的回归方程。
指数曲线(例题分析)解：从生产边际分析，单位成本与产量之间成比例变动。
绘制成散点图，如图7–9所示，从图中可以看出，随着产量（x）的增加，最初生产成本（y）下降很快，以后逐渐减慢并趋于稳定因此两变量适宜用指数曲线拟合。
本页为【例7-12】的散点图（图7–9），横轴为月产量、纵轴为生产成本，散点呈随产量增加先快速下降后逐渐趋稳的曲线形态。
本页为Excel输出的指数曲线回归分析结果，列出线性化后的回归系数、判定系数与F统计量等主要结果。
指数曲线(例题分析)由表中可以看出，，。
然后再用插入函数中的【POWER】函数分别求出和的反对数，得出a=38.1924,b=0.9642指数曲线回归方程为：
本页为Excel输出的指数曲线预测结果，列出各产量水平下生产成本的预测值及其与实际值的残差。
在非线性回归分析中，可用非线性判定系数来度量两变量之间非线性相关的密切程度。
的变化范围介于0与1之间，越接近于1，表明变量间的非线性相关的程度越强，所配合的曲线效果越好，反之，越接近于0，表明变量间非线性相关程度越弱，所配合的曲线效果越差。的计算公式：
指数曲线（例题分析）：本页继续【例7-12】的分析，给出由表7–9数据按非线性判定系数公式计算得到的结果，并列出用于检验非线性相关关系显著性的F统计量。
原页中的具体数值与表格内容在文本提取时缺失，建议对照原课件补充。
指数曲线(例题分析)由表7–9中的数字资料，并由式（7-29），得：=0.92726，另外F=164.9527，有F>F0.05（1,12）＝4.747，表明两变量之间有显著的非线性相关关系。
（表7-8和7-9由Excel公式计算得出，存在计算误差，但该误差不影响决策。
）在实际应用中，对同一个问题进行模型的确定，如果变化趋势不是非常明显，可采用不同的模型分别进行拟合，然后比较模型各自的均方误差，均方误差越小，回归模型越好，另外再结合非判定系数的比较来进行决策。
本页为第七章课件的结束致谢页。
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