页数：64页文件大小：2.02 MB来源： 统计学原理与实务-徐静霞ppt课件
本课件为课程第六章，以航空公司售票时间的案例引入，系统讲解假设检验的基本思想与小概率原理、原假设与备择假设的提出方式、双侧与单侧检验、两类错误与显著性水平、检验统计量与拒绝域以及利用P值决策的方法，进而给出大样本与小样本下总体均值的检验程序和总体比例的大样本检验，最后以假设检验与法庭审判的对比案例收束。
第6章 假设检验目录
第6章学习目标
导入案例航空公司的售票超时了吗？航空公司服务规定，销售一张机票的平均时间为2分钟。
为检验航空公司的售票服务质量，特抽验30名顾客购买机票所用时间组成的一个随机样本，下表是抽验的30个顾客的购买时间数据
导入案例
6.1 假设检验的基本原理
基本思想:利用样本信息来对总体参数提出的一个假设值做出拒绝和不拒绝的决策。
决策的依据:小概率原理，是指概率很小的事件在一次试验中是不可能发生的。在一次试验中小概率事件一旦发生，我们就有理由拒绝原假设假设（hypothesis）就是对总体参数的一种事先猜想，并将这种猜想的具体数值陈述出来，也称为称统计假设。假设检验（hypothesis test）就是对总体参数提出假设的基础上，利用样本信息来判断假设是否成立的一种统计方法。
(null hypothesis)
也称“研究假设”,研究者想收集证据予以支持的假设，用H1表示
原假设和备择假设是一个完备事件组，而且相互对立
备择假设没有特定的方向性，并含有符号“”的假设检验，称为双侧检验或双尾检验(two-tailedtest)
假设检验的基本形式：按备择假设是否带有方向性，假设检验分为双侧检验与单侧检验（左侧、右侧）三类。
| 假设 | 双侧检验 | 左侧检验 | 右侧检验 |
|---|---|---|---|
| 原假设 H0 | μ = μ0 | μ ≥ μ0 | μ ≤ μ0 |
| 备择假设 H1 | μ ≠ μ0 | μ < μ0 | μ > μ0 |
解：【例6. 1】一种袋装酸奶采用自动生产线生产，每袋重量是150g，标准差为3g。
为检验每袋重量是否符合要求，质检人员在某天生产的酸奶中随机抽取了50袋进行检验，试陈述用来检验生产过程是否正常的原假设和备择假设。
（生产过程不正常）（生产过程正常）
解：【例6.2】一个生产宇航飞行器的工厂需要经常购置一种耐高温的零件，要求抗热的平均温度是1250度。
在过去，供货者提供的产品都符合要求，并从大量的数据获知零件抗热的标准差是150度，在最近的一批进货中随机测试了100个零件，其平均的抗热为1200度，问能否接受这批产品？试陈述用于检验的原假设与备择假设。
（抗热性能达标，不拒绝采购）（抗热性能没达标，拒绝采购）
（由于接打电话而造成交通事故的比例不超过30%）【例6.3】一家研究机构估计，由于接打电话而造成交通事故的比例超过30%。
为验证这一估计是否正确，该研究机构随机抽取了一个样本进行检验。
试陈述用于检验的原假设与备择假设。
（由于接打电话而造成交通事故的比例超过30%）
尽管通过原假设与备择假设的概念就能确定两个假设的内容，但实质上它们是带有一定的主观色彩的，因为所谓的“将研究者对总体参数值提出的假设”和“研究者通过检验希望支持的假设”显然最终仍都取决于研究者本人的意向。
所以，在面对某一实际问题时，由于不同的研究者有不同的研究目的，即使对同一问题也可能提出截然相反的原假设和备择假设，这是十分正常的，也并不违背关于原假设与备择假设的最初定义。
无论怎样确定假设的形式，只要它们符合研究者的最终目的，便是合理的。
研究者总是希望能做出正确的决策，但由于决策是建立在样本信息的基础之上，而样本又是随机的，因而就有可能犯错误。
假设检验中的两类错误：本页把假设检验的决策结果与法官判案的后果作对比，四种情形分别对应正确决策与第一类、第二类错误。
| 实际情况 | 决策（判决）结果 | 结论 |
|---|---|---|
| 原假设正确（嫌犯无罪） | 拒绝原假设（判有罪） | 第一类错误（判决错误Ⅰ） |
| 原假设正确（嫌犯无罪） | 未拒绝原假设（判无罪） | 正确决策 |
| 原假设不正确（嫌犯有罪） | 拒绝原假设（判有罪） | 正确决策 |
| 原假设不正确（嫌犯有罪） | 未拒绝原假设（判无罪） | 第二类错误（判决错误Ⅱ） |
α错误和β错误的关系：本页用跷跷板比喻说明两类错误的关系——α减小则β增大，α增大则β减小，二者呈此消彼长的关系；要想同时减少两类错误，唯一的办法是增加样本量。
原页为示意图，图中标注的α与β区域请以原课件图形为准。
一般来说，对于一个给定的样本，如果犯第Ι类错误的代价比犯第Ⅱ类错误的代价相对较高，则将犯第Ⅰ类错误的概率定得低些较为合理；反之，如果犯第Ι类错误的代价比犯第Ⅱ类错误的代价相对较低，则将犯第Ⅰ类错误的概率定得高些。
假设检验中犯第一类错误的概率，称为显著性水平（level of significance），记为α，是人们事先指定的犯第一类错误概率α的最大允许值。
显著性水平是指当原假设实际上是正确时，检验统计量出现了本不应该出现的极端情况的概率。显著性水平α越小，犯第一类错误的可能性自然就越小，但犯第二类错误的可能性则随之增大。常用的显著性水平有α=0.
依据什么做出决策？1.若假设为H0：=500，H1：<500。
样本均值为495，拒绝H0吗？样本均值为502，拒绝H0吗？2.做出拒绝或不拒绝原假设的依据是什么？3.传统上，做出决策所依据的是样本统计量，现代检验中人们直接使用由统计量算出的犯第Ⅰ类错误的概率，即所谓的P值
根据样本观测结果计算得到的，并据以对原假设和备择假设做出决策的某个样本统计量，称为检验统计量（teststatistic）。
标准化检验统计量（standardized test statistic）反映了点估计量（比如样本均值）与假设的总体参数（比如假设的总体均值）相比相差多少个标准差。
拒绝域（rejection region）就是由显著性水平和相应的临界值所围成的区域。
根据给定的显著性水平确定的拒绝域的边界值，称为临界值（critical value）。
本页为双侧检验中用统计量决策的示意图，展示抽样分布两侧各α/2的拒绝域、对应的临界值以及中间1−α的置信水平区域。
本页为左侧检验中用统计量决策的示意图，展示抽样分布左侧大小为α的拒绝域及其临界值与非拒绝区域。
本页为右侧检验中用统计量决策的示意图，展示抽样分布右侧大小为α的拒绝域及其临界值与非拒绝区域。
给定显著性水平，并计算出其临界值
如果原假设H0为是正确的，所得到的样本结果会像实际观测结果那么极端或更极端的概率，称为P值（P－value），也称为观察到的显著性水平（observed significancelevel）。
决策规则：若p值<,拒绝H0P值1/2P值1/2临界值临界值0/2/2计算出的统计量值计算出的统计量值（a）双侧检验
本页为P值示意图，分别给出双侧、左侧与右侧检验下由计算出的统计量值所确定的P值尾部面积。
1.用P值进行检验比根据统计量检验提供更多的信息2.统计量检验是我们事先给出的一个显著性水平，以此为标准进行决策，无法知道实际的显著性水平究竟是多少比如，根据统计量进行检验时，只要统计量的值落在拒绝域，我们拒绝原假设得出的结论都是一样的，即结果显著。
但实际上，统计量落在拒绝域不同的地方，实际的显著性是不同的。
比如，统计量落在临界值附近与落在远离临界值的地方，实际的显著性就有较大差异。
而P值给出的是实际算出的显著水平，它告诉我们实际的显著性水平是多少P值决策与统计量的比较
本页为拒绝原假设的两个统计量的不同显著性示意图，说明统计量落在拒绝域的不同位置时对应的P值大小不同。
假设检验结论的表述(“显著”与“不显著”)
假设检验结论的表述( “不拒绝”不等于“接受”)
第6章假设检验导航
6.2 总体均值的检验
假定条件大样本(n
【例6.4】一种袋装酸奶采用自动生产线生产，每袋重量是150g，标准差为3g。
为检验每袋重量是否符合要求，质检人员在某天生产的酸奶中随机抽取了50袋进行检验，测得每袋平均重量为150.4g。
取显著性水平，检验该天生产的酸奶重量是否符合标准要求。
解：提出如下原假设和备择假设：计算检验统计量的具体数值，得：根据给定的显著性水平，由Excel中的【NORMSINV】函数得：由于所以，不拒绝原假设。
该决策过程可用下面的图：拒绝H0拒绝H0-1.961.9600.0250.025图6—4例6.4中的拒绝域
的操作步骤
【6.5】为监测空气质量，沈阳市环保部门每隔几周对空气烟尘质量进行一次随机测试。
已知该城市过去每立方米空气中悬浮颗粒的平均值是82微克。
在最近一段时期的检测中，每立方米空气中悬浮颗粒的数值如下。
（单位：微克）沈阳市35天中每立方米空气中悬浮颗粒重量78.685.880.086.681.674.996.973.268.758.371.770.968.666.683.071.677.372.492.276.174.072.585.575.661.786.988.573.287.082.578.887.379.883.094.9利用这些样本数据，能否认为沈阳市空气中悬浮颗粒的平均值与过去相比有显著降低？（α=0.01）。
解：提出如下原假设和备择假设：计算检验统计量的具体数值，得：根据给定的显著性水平，由Excel中的【NORMSINV】函数得：由于所以，不拒绝原假设。
检验结果表明：沈阳市空气中悬浮颗粒的平均值与过去相比有显著降低。
由样本数据计算，得：
另一种就是直接利用原始数据计算P值进行检验，步骤如下：
例6.5中的拒绝域和P值：本页给出例6.5的决策过程图示，检验统计量观察值约为−2.34，在α=0.01的显著性水平下，P值约为0.0093，由于P值小于显著性水平，故拒绝原假设。
页内同时给出右侧检验的决策准则：当 z > zα 时拒绝原假设，否则不拒绝；利用P值决策时同样是 P < α 拒绝原假设。
原页图形中的具体标注请以原课件为准。
【例6.6】电视机显像管批量生产的质量标准是平均使用寿命为1200小时，标准差为150小时。
某电视机厂宣称其生产的显像管质量大大超过规定的标准。
为了进行验证，随机抽取了100件为样本，测得平均使用寿命1245小时。
能否说该厂的显像管质量显著的高于规定的标准？（α=0.05）解：提出如下原假设和备择假设：计算检验统计量的具体数值，得：根据给定的显著性水平，由Excel中的【NORMSINV】函数得：由于所以拒绝原假设，认为该厂生产的显像管质量大大超过规定的标准。
该的决策过程可用下图来表示：1.64500.05检验统计量的观察值z=3P0.0013例6.6中的拒绝域和P值
假定条件大样本(若采用临界值法决策：拒绝域分别为：双侧检验时| t |≥tα/2(n-
【例6.7】已知某机床厂职工用一条旧生产线加工零件所需操作时间渐进服从正态分布，根据历史资料可知，职工加工一个零件平均所需时间为16分钟，标准差为3.2分钟。
工厂现拟采用一条新的生产线，随机抽取10名职工进行操作，测得结果平均所需时间为13.5分钟。
试问在0.05的显著性水平下，采用新的生产线平均操作时间有无明显差异。
解：依题意建立如下原假设与备择假设：计算检验统计量的具体数值，得：根据给定的显著性水平0.05，由Excel中的【NORMSINV】函数得由于所以，拒绝原假设。
若采用P值决策，计算z=-2.47时，p=0.0135，p<α，所以拒绝原假设，所得结论与统计量检验完全一致。
【例6.8】在例6.7中，如果问在0.01的显著性水平下，采用新的生产线平均操作时间有无明显缩短?解：根据题意，该问题属左侧检验，依题意，建立如下假设：计算检验统计量的具体数值，得：根据给定的显著性水平0.01，由Excel中的【NORMSINV】函数得由于所以，拒绝原假设。
若采用P值决策，计算z=-2.47时，p=0.00675，p<α，所以拒绝原假设，所得结论与统计量检验完全一致。
【例6.9】2010年12月份，某个航线往返机票的平均折扣费是258美元。
已知机票折扣费服从正态分布，现随机抽取了在2011年1月份中15个往返机票的折扣作为一个简单随机样本，结果得到下面的数据：310 260 265 255 300 310 250 265280 290 240 285 250 260 230在0.05的显著性水平下检验1月份往返机票的平均折扣费是否有所增加。
解：本题采用T统计量进行检验。
分析题意并建立如下原假设与备择假设：由样本数据计算得：由于n<30为小样本，采用式（6-4）计算检验统计量为：
例6.9的决策与P值：本页给出例6.9的决策过程图示，由Excel的【TINV】函数得临界值约为1.761，检验统计量观察值 t≈1.875，P值约为0.0409，由于P值小于0.05的显著性水平，故拒绝原假设，认为1月份往返机票的平均折扣费有所增加。
原页图形中的具体标注请以原课件为准。
t检验的P值同样可以利用Excel计算，具体操作步骤如下：
【例6.10】已知某种零件的标准长度应为15厘米，现从一批零件中随机抽取16只，测得其长度（厘米）如下：15.1 14.5 14.8 14.6 15.2 14.8 14.9 14.614.8 15.1 15.3 14.7 15.0 15.2 15.1 14.7在0.05的显著性水平下，检验该批零件是否符合要求？解：分析题意建立如下原假设与备择假设：由样本数据计算得：由于n<30为小样本，采用式（6-4）计算检验统计量为：
例6.10中的t分布拒绝域和P值：本页给出例6.10的决策过程图示，自由度15下双侧临界值约为±2.262，检验统计量观察值 t≈−1.6129，落在非拒绝域内，故不拒绝原假设，认为该批零件符合要求。
原页图形中的具体标注请以原课件为准。
用Excel计算t分布P值的操作步骤：
总体均值的检验（小样本检验方法的总结）：小样本条件下总体均值的检验使用 t 检验统计量，按检验方向分为双侧、左侧与右侧三类，各类具有不同的假设形式、检验统计量与拒绝域。
| 项目 | 双侧检验 | 左侧检验 | 右侧检验 |
|---|---|---|---|
| 假设形式 | H0：μ = μ0，H1：μ ≠ μ0 | H0：μ ≥ μ0，H1：μ < μ0 | H0：μ ≤ μ0，H1：μ > μ0 |
| σ 已知时的统计量 | z 统计量（拒绝域同大样本） | ||
| σ 未知时的统计量 | t 统计量，自由度 n−1 | ||
| 拒绝域 | |t| ≥ tα/2(n−1) | t < −tα(n−1) | t > tα(n−1) |
| P值决策 | P < α 时拒绝原假设 H0 | ||
原页为小结表格，其中的统计量公式在文本提取时缺失，建议对照原课件补充公式写法。
一个总体均值的检验（作出判断）：本页汇总对单个总体均值进行检验时的判断流程——先明确样本量大小与总体方差是否已知，选择 z 统计量或 t 统计量，再按双侧或单侧检验确定拒绝域，最后用临界值或P值作出拒绝或不拒绝原假设的判断。
原页为流程示意图，建议对照原课件图形核对流程分支。
第6章假设检验导航（比例）
通常用字母π表示总体比例，π0表示对总体比例的某一假设值，用p表示样本比例。总体比例检验的三种基本形式为：双侧检验：，；左侧检验：，；右侧检验：，。
在构造检验统计量时，我们仍然利用样本比例p与总体比例π之间的距离等于多少个标准差σp来衡量，因为在大样本情形下统计量p渐进服从正态分布，而统计量为：
总体比例检验的显著性水平、拒绝域和临界值：本页给出总体比例检验的图示与决策准则——采用临界值法时，双侧检验 |z| > zα/2 拒绝原假设，左侧检验 z < −zα 拒绝原假设，右侧检验 z > zα 拒绝原假设；采用P值决策时，P < α 拒绝原假设 H0。
原页图形中的临界值标注（如±1.96）请以原课件为准。
【例6.11】外贸公司的进口部门相信最近进口的一批产品的次品率是8%，公司决定抽取一批200个产品来检验这一说法是否正确。
发现其中有17件为次品，取显著性水平α=0.05，检验该批产品的次品率是否为8%？解：公司想证明的是这批产品的次品率是8%这一说法是否属实，因此提出的原假设和备择假设为由抽样结果计算得：检验统计量为：根据给定的显著性水平α=0.05，由Excel中的【NORMSINV】函数得zα/2= z0.025=1.96。
由于|z|=0.2607>zα/2=1.96，z=0.2607< z0.025=1.96，所以不拒绝原假设。
在显著性水平为0.05的条件下，样本提供的证据表明该公司说法属实。
案例分析与讨论假设检验和法庭审判过程的对比分析法庭审判的过程与假设检验颇有相似之处。
假定原假设为“H0:被告清白；”备择假设为“H1:被告有罪”。
判一个无辜的人有罪即为犯第一类错误；释放一个有罪的人则犯了第二类错误。
控制审判的法规与统计检验的规则有点类似。
任何降低第一类错误发生可能性法规都必然导致第二类错误出现的可能性增大。
比如，规定被告不必作不利于自己的证明，这一规定减少了一位无辜的人被判有罪的可能，但同时也增加了放过一个有罪人的概率。
案例分析与讨论
案例分析与讨论在大多数假设检验中，如认为第一类错误较第二类错误严重，则从防止第一类错误发生的角度确定原假设。
类似地，在法律审判过程中，一般认为判一个清白的人有罪的错误要比放过一个有罪的人严重得多。
所以，在假设检验中最重要的概率是α，即犯第一类错误发生的概率（当原假设为真时拒绝原假设。
）法律法规制定的一个出发点就是将清白的人误判为有罪的概率保持较低的水平。
例如，除非有充分的证据，只有陪审团全体通过才判被告有罪。
曾经有这样一起杀人案，一位年轻有为IT从业者惨遭杀害。
事后，死者的一位同事王某向警方提供了一条线索，暗示另一位同事李某与谋杀有关。
王某因为提供证据举证李某而免于起诉。
但随后的调查发现，王某也是本案的参与者之一，检察院因而试图取消对王某的赦免。
经审判，李某罪名成立，法院还裁定不能撤销对王某的赦免，虽然后来有证据表明王某与本案有牵连，是本案的参与者之一。
按照法庭程序，王某被释放并依据审判结果获得证人费。
讨论题
本页为第六章课件的结束致谢页。
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