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本课件讲解抽样与参数估计，包括抽样调查的概念、全及总体与抽样总体、重复与不重复抽样、抽样平均误差与极限误差，以及总体均值、比例与方差的区间估计和样本容量的确定。
第六章抽样与参数估计
本章内容第一节抽样调查第二节抽样推断的基本概念第三节抽样误差第四节参数估计第五节样本容量的确定
第一节抽样调查
一、抽样调查的概念按照随机原则从总体中抽取一部分单位进行观察，并运用数理统计的原理，以被抽取的那部分单位的数量特征为代表，对总体做出数量上的推断分析。二、抽样调查的特点1.抽样调查的特点1）和全面调查相比较，抽样调查能节省人力、费用和时间，而且比较灵活2）有些情况下，抽样调查的结果比全面调查要准确3）抽选部分单位时要遵循随机原则
2.抽样调查的应用范围1）对于单位数特别多或无限多的总体。2）对于一些以破坏或损伤使用价值为手段的检验调查方法。3）时间紧迫、经费有限时可采用抽样调查。4）对普查数据校验时可采用抽样调查。
第二节抽样推断的基本概念
一、全及总体和抽样总体1.全及总体全及总体简称总体,是指所要认识对象的全体，总体是由具有某种共同性质的许多单位组成的，因此，总体也就是具有同一性质的许多单位的集合体。全及总体的单位数用大写的英文字母N来表示。2.抽样总体抽样总体简称样本,是从全及总体中随机抽取出来，代表全及总体部分单位的集合体。
抽样总体的单位数通常用小写英文字母n表示。对于全及总体单位数N来说，n是个很小的数。
二、全及指标和抽样指标1.全及指标根据全及总体各个单位的标志值或标志特征计算的、反映总体某种属性的综合指标，称为全及指标。由于全及总体是唯一确定的，根据全及总体计算的全及指标也是唯一确定的。对于属性总体，设总体N个单位中，有N1个单位具有某种属性，N0个单位不具有某种属性，N1+N0=N，P为总体中具有某种属性的单位数所占的比重，Q为不具有某种属性的单位数所占的比重，则总体成数为
二、全及指标和抽样指标1.全及指标此外，全及指标还有总体方差和总体标准差，它们都是测量总体标志值分散程度的指标。
二、全及指标和抽样指标2.抽样指标由抽样总体各个标志值或标志特征计算的综合指标称为抽样指标。和全及指标相对应还有抽样平均数、抽样成数p、样本标准差S和样本方差S2等等。和p用小写英文字母表示，以示区别。设样本n个单位中有n1个单位具有某种属性，n0个单位不具有某种属性，n1+n0=n，p为样本中具有某种属性的单位数所占的比重，q为不具有某种属性的单位数所占的比重，则抽样成数为样本的方差和样本标准差分别为
三、重复抽样与不重复抽样1.重复抽样重复抽样，又称有放回的抽样，是指从全及总体N个单位中随机抽取一个容量为n的样本，每次抽中的单位经登录其有关标志表现后又放回总体中重新参加下一次的抽选。一般来说，从总体N个个体中，随机重复抽取容量为n的子样，总共可以抽取个子样。
重复抽样的特点：1）每次抽取样本是在完全相同的条件下进行的，有n个样本单位的样本是由n次试验的结果构成；2）每次的试验结果是独立的，即每次的试验结果与前次、后次的结果均无关；3）总体中各单位有被重复抽中的可能，每次试验是在相同条件下进行的，每个单位在多次试验中被选中的概率是相同的。
三、重复抽样与不重复抽样2.不重复抽样不重复抽样，又称无放回的抽样，是指从全及总体N个单位中随机抽取一个容量为n的样本，每次抽中的单位登录其有关标志表现后不再放回总体中参加下一次的抽选。重复抽样具有以下特点：1）总体单位数在抽选过程中逐渐减少2）总体中各单位被抽中的可能性前后不断变化，每次试验的结果不是独立的，上次抽选的情况会影响下一次的抽选结果3）总体中各单位没有被重复抽中的可能
三、重复抽样与不重复抽样2.不重复抽样不重复抽样，又称无放回的抽样，是指从全及总体N个单位中随机抽取一个容量为n的样本，每次抽中的单位登录其有关标志表现后不再放回总体中参加下一次的抽选。重复抽样具有以下特点：1）总体单位数在抽选过程中逐渐减少2）总体中各单位被抽中的可能性前后不断变化，每次试验的结果不是独立的，上次抽选的情况会影响下一次的抽选结果3）总体中各单位没有被重复抽中的可能在不重复抽样中，如果考虑顺序，其样本可能的数目为；如果不考虑顺序，其样本可能的数目为。
不重复抽样比重复抽样的子样可能数目要少得多。
四、抽样框与样本数1.抽样框抽样框，又称抽样结构，是指对可以选择作为样本的总体单位列出名册或排序编号，以确定总体的抽样范围和结构。设计出了抽样框后，便可采用抽签的方式或按照随机数表来抽选必要的单位数。若没有抽样框，则不能计算样本单位的概率，从而也就无法进行概率选样。
2.样本数样本数，又称样本的可能数目，是指从总体N个单位中随机抽选n个单位构成样本，通常有多种抽选方法，每一种抽选方法实际上是n个总体单位的一种排列组合，一种排列组合便构成一个可能的样本，n个总体单位的排列组合总数，称为样本的可能数目。
五、关于抽样组织形式1.概率抽样这一方法是根据一个已知的概率选取被调查者，无须调查人员在选样中判断或抽选。从理论上讲，概率抽样是最理想、最科学的抽样方法，它能保证样本数据对总体参数的代表性，而且它能够将调查误差中的抽样误差限制在一定范围之内。
但相对于非概率抽样来说，概率抽样也是花费较大的抽样方法。概率抽样有以下几种形式。1）简单随机抽样（Simplerandomsampling）2）分层抽样（Reducedsampling）3）整群抽样（Clustersampling）4）等距抽样（Systematicsampling）
五、关于抽样组织形式2.非概率抽样非概率抽样有三种形式。1）主要是由调查人员自由选择被调查者的非随机选样。2）通过某些条件过滤选择某些被调查者参与调查的判断抽样法。在许多情况下，由于研究对象可能仅限于一部分居民，因而有时采用这种方法能节省大量经费。
3）大多数种类的研究，例如产品测试、街访、座谈会，只要不是属于要进行总体推论的大多数项目都可使用非概率抽样法。
六、抽样推断的理论基础1.大数定律大数定律是指在随机试验中，每次出现的结果不同，但是大量重复试验出现的结果的平均值却几乎总是接近于某个确定的值。1）切贝雪夫大数定理设x1，x2…是一列两两相互独立的随机变量，服从同一分布，且存在有限的数学期望a和方差σ2，则对任意小的正数ε，有：2）贝努里大数定律设是n次独立试验中事件A发生的次数，且事件A在每次试验中发生的概率为P，则对任意正数ε，有：
六、抽样推断的理论基础2.中心极限定理大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理。
1）辛钦中心极限定理2）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理3）李亚普洛夫中心极限定理4）林德贝尔格定理
第三节抽样误差
二、影响抽样误差的因素
三、抽样平均误差抽样平均误差就是反映抽样误差一般水平的指标，通常用样本平均数（或样本成数）的标准差来表示。1.样本平均数的平均误差以μx表示样本平均数的平均误差，表示总体的标准差。根据定义：1）当抽样方式为重复抽样时，样本标志值x1，x2，…xn是相互独立的，样本变量x与总体变量X同分布。
所以得：它说明在重复抽样的条件下，抽样平均误差与总体标准差成正比，与样本容量的平方根成反比。
三、抽样平均误差2）不重复抽样下抽样平均误差的计算在不重复抽样的条件下，抽样平均数的平均误差不但和总体变异程度、样本容量有关，而且还要考虑总体单位数多少，它们的关系如下：在实际工作中，在没有掌握总体单位数的情况下或者总体单位数N很大时，一般均用重复抽样平均误差公式来计算不重复抽样的平均误差。
三、抽样平均误差2.抽样成数的平均误差在掌握抽样平均数的抽样平均误差公式的基础上，再来探求抽样成数的抽样平均误差公式是比较简便的。只需要将全及成数的标准差平方代替公式中的全及平均数的标准差的平方，就可以得到抽样成数的平均误差公式。
总体成数P可以表现为总体是非标志的平均数。即E（X）＝P，它的标准差（1）在重复抽样下（2）在不重复抽样下当总体单位数N很大时
四、抽样极限误差抽样极限误差，又称置信区间和抽样允许误差范围，是指在一定的把握程度（P）下保证样本指标与总体指标之间的抽样误差不超过某一给定的最大可能范围，记作Δ。作为样本的随机变量——抽样指标值（），是围绕以未知的唯一确定的全及指标真值（）为中心上下波动，它与全及指标值可能会产生正或负离差，这些离差均是抽样指标的随机变量，因而难以避免，只能将其控制在预先要求的误差范围（）内。
因此有，
五、抽样估计的概率度、精度和可靠程度1.抽样估计的概率度抽样极限误差Δ是单个样本值与总体指标值之间的绝对离差，而抽样平均误差μ是所有可能样本值与总体指标值之间的平均离差，用抽样极限误差与抽样平均误差相比，从而使由单一样本值得到的抽样极限误差标准化，这样可称为抽样标准极限误差，但通常称其为概率度（t）或相对误差范围。
五、抽样估计的概率度、精度和可靠程度2.抽样估计的精度为了比较不同现象总体的抽样误差程度，必须消除总体规模大小悬殊的影响，通常还需计算抽样误差系数，抽样误差系数记作，反映了抽样误差的相对程度。其计算公式为：则抽样估计精度（A）公式为：
五、抽样估计的概率度、精度和可靠程度3.抽样估计的可靠程度1）抽样估计的可信度抽样平均误差是表明抽样估计的准确度；而抽样误差范围即抽样极限误差是表明抽样估计准确度的范围。在给定的准确度范围内，抽样估计还要求其估计的可靠程度，即可信度。
抽样估计的可信度就是表明抽样指标和总体指标的误差不超过一定范围的概率保证程度。抽样成数的抽样极限误差为：2）置信区间抽样误差的可能范围是估计的准确性问题，而保证抽样指标落在抽样误差的可能范围之内则是估计的可靠性问题。所以抽样估计可靠程度又称置信度。
具体地说，置信区间是以一定的概率把握程度确定总体指标所在的区间。置信度是总体指标落在某个区间的概率把握程度。
第四节参数估计
参数估计在统计方法中的地位参数估计假设检验统计方法描述统计推断统计
一、总体参数的点估计点估计也称定值估计，它是以抽样得到的样本指标作为总体指标的估计量，并以样本指标的实际值直接作为总体未知参数的估计值的一种推断方法。点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等。1.矩估计法在统计学中，矩是指以期望为基础而定义的数字特征，一般分为原点矩和中心矩。
设X为随机变量，对任意正整数k，称E（Xk）为随机变量X的k阶原点矩，记为：mk＝E（Xk）当k＝1时，m1＝E（X）＝μ可见一阶原点矩为随机变量X的数学期望。我们把Ck＝E[X－E（X）]k称为以E（X）为中心的k阶中心矩。
显然，当k＝2时，C2＝E[X－E（X）]2＝可见二阶中心矩为随机变量X的方差。
2.估计量及其评选标准通常设θ为总体X的待估计参数，一般用样本X1，X2，…，Xn构成一个统计量来估计θ，则称为θ的估计量。对于样本的一组数值x1，x2，…，xn，估计量的值（x1，x2，…，xn）称θ的估计值。作为优良估计应该符合以下四个标准：1）无偏性：样本统计量的估计，平均来说是没有偏差的2）一致性：大样本比小样本趋于接进一个更好的点估计3）有效性：4）充分性
二、总体参数的区间估计区间估计就是以一定的概率保证估计包含总体参数的一个值域，即根据样本指标和抽样平均误差推断总体指标的可能范围。它包括两部分内容：一是这一可能范围的大小；二是总体指标落在这个可能范围内的概率。区间估计必须同时具备三个要素。
即具备估计值、抽样极限误差和概率保证程度三个基本要素。总体参数的区间估计不是直接给出总体参数的估计值，而是利用实际样本资料，构造出一个置信区间，用这个区间来表明总体参数可能存在的范围，同时给出这个估计相应的概率保证程度（置信度）。
二、总体参数的区间估计用公式表示为：式中，和分别是总体平均数区间的上限与下限；和分别为总体成数的上限与下限。，分别表示被估计总体参数在区间和内的概率为，即：于是称和为置信区间。
二、总体参数的区间估计科学的区间估计方法要具备三个基本要素：第一，要有合适的统计量作为估计量。第二，要有合理的允许误差范围。允许误差范围又称抽样极限误差，指样本统计量与被估计总体参数离差的绝对值可允许变动的上限和下限。第三，要有可靠的概率保证程度。
估计的概率保证程度又称估计的置信度，它涉及估计的可靠性问题。
图8-1区间估计的图示
常用置信水平的值
例：一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如表8-3所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。
试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%。表8-325袋食品的重量单位：g
即该批食品平均重量95%的置信区间为101.44～109.28g。
（二）小样本的估计方法总体方差σ2未知，而且是在小样本的情况下，则需要用样本方差S2代替σ2，这时样本均值经过标准化以后的随机变量则服从自由度为（n-1）的t分布，即：
t分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布，如图8-7和图8-8所示：图8-7t分布与标准正态分布的比较图8-8不同自由度的t分布
•总体均值在1-置信水平下的置信区间为：式中：tα/2是自由度为n-1时，t分布中上侧面积为α/2时的临界值，该值可通过t分布表查得。
例：已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命如表8－5所示。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间。表8－516只灯泡使用寿命数据单位：h解：根据样本数据，计算样本均值=1490h，样本方差S=24.77h根据α=0.05查t分布表得（n-1）=t0.025(15)=2.131于是，平均使用寿命的置信区间为：即全部灯泡的平均使用寿命，在置信水平1－α＝0.95下的置信区间为（1476.8，1503.2）h。
总结：总体均值的区间估计
2.总体比例的区间估计1.样本比例经标准化后的随机变量则服从正态分布，即：2.总体比例在1-置信水平下的置信区间为：式中，1-α称为置信水平；是标准正态分布上侧面积为α/2时的临界值；是估计总体比例时的允许误差。
例：为了解某城市家庭电脑的普及情况，随机抽取了100户家庭，其中有60户有电脑。试以95％的置信水平估计该城市家庭中拥有电脑比例的置信区间。解：已知n＝100，n1＝60,则样本比例为：p＝60％由于1－=95%，查标准正态分布表可知，Zα/2=1.96。
于是即该城市家庭中，拥有电脑的比例在置信水平95％下的置信区间为：（50.396％，69.604％）。
三、总体方差的区间估计总体方差在（1-α）置信水平下的置信区间为：
例：一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以95%的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间。表8-725袋食品重量
解：根据样本数据计算样本方差：S2=93.21；已知n＝25，1-＝95%,查χ2分布表可得临界值为：总体方差2置信水平为95%的置信区间为：即：总体方差的置信区间为（56.83，180.39）。相应地，企业生产的食品总体重量标准差的的置信区间为7.54g～13.43g。
第五节样本容量的确定
一、估计总体均值时样本容量的确定一旦确定了置信水平（1-α），Zα/2的值就确定了，对于给定的的值和总体标准差σ，就可以确定任一希望的允许误差所需要的样本容量。令E代表所希望达到的允许误差，即：由此可以推到出确定样本容量的公式如下：
例：拥有MBA学位的研究生年薪的标准差大约为4000元，假定想要估计年薪95%的置信区间，希望允许误差为10000元，应抽取多大的样本容量？解：已知=4000，E＝1000，1－=95%，Zα/2＝1.96，所以，应抽取的样本容量为：即应抽取62人作为样本。
二、估计总体成数时样本容量的确定一旦确定了置信水平（1-α），Zα/2的值就确定了。由于总体比例的值是固定的，所以允许误差由样本容量来确定，样本容量越大允许误差就越小。估计的精度就越好。因此，对于给定的的值，就可以确定任一希望的允许误差所需要的样本容量。
令E代表所希望达到的允许误差，即：由此可以推导出重复抽样和无限总体抽样条件确定样本容量的公式如下：
例：某社区想通过抽样调查了解居民参加体育活动的比率，如果把误差范围设定在5％，问如果以95％的置信水平进行参数估计，需要多大的样本？解：由于1-α=0.95，α=0.05，Zα/2=1.96。因为π的值不知道，取使π（1－π）达到最大值的0.5，即π取0.5，于是：故需取385人的样本。
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