02 第二章 逻辑代数基础.ppt

第1页：第二章逻辑代数基础第一节概述

• 第二章逻辑代数基础第一节概述一、三种基本逻辑关系
• ：1.与逻辑
• ：2.或逻辑
• ：3.非逻辑：

第2页：说明3种基本逻辑的电路

ABELABELAELR(a)说明与逻辑的电路(b)说明或逻辑的电路(c)说明非逻辑的电路图2.1.1说明3种基本逻辑的电路

第3页：逻辑函数及其表示方法

二、逻辑变量：用来描述只有两种对立的状态的器件，用字母等表示。

只有两种取值“0”和“1”：三、逻辑函数及其表示方法：1.逻辑函数概念：

第4页：真值表：(1)列真值表方法：输出输入

42.真值表：(1)列真值表方法：输出输入FA B10 000 101 011 1(2)逻辑函数相等定义：表2.1.

第5页：：如下图所示

例：如下图所示，用两个“单刀双掷”开关控制楼道灯，试列出该电路的真值表。

第6页：解：用逻辑变量

解：用逻辑变量x1、x2、y分别表示开关A、B、灯L。

设开关A（或B）的“刀”位于上触点a(或b)时，x1、x2为1，位于下触点时，x1、x2为0；

灯L亮，y为1，灯L灭，y为0。

则真值表如下：

第7页：输出输入

输出输入：下表列出x1、x2随输入取值的变化。

说明：本表依据课件图示整理，位数与行列以原图为准。

第8页：第二节逻辑代数中的运算

第二节逻辑代数中的运算一、三种基本逻辑：1.与运算：(1)算符“·”（或者“×”、“∧”、“∩”、“AND”)(2)运算规则0·0 = 01·0 = 00·1 = 01·1 = 1(3)逻辑表达式：F = A · B

第9页：逻辑符号2.或运算

(4)逻辑符号2.或运算：(1)算符“＋”（或者“∨”、“∪”、“OR”)(2)运算规则0＋0 = 01＋0 = 10＋1 = 11＋1 =

第10页：逻辑表达式

(3)逻辑表达式：F = A＋B(4)逻辑符号3.非运算：(1)算符“—”(2)运算规则0 = 01 =

第11页：逻辑表达式

(3)逻辑表达式：(4)逻辑符号F = A

第12页：实现电路：①二极管与门电路(1)与门②状

124.实现电路：①二极管与门电路(1)与门②状态表输出输入uF(V)uA(V) uB(V)00 000 303 033

第13页：真值表输出输入

③真值表输出输入FA B00 000 101 011 1④逻辑符号国标曾用美国

第14页：二极管或门电路(2)或门②状态表输出输入

①二极管或门电路(2)或门②状态表输出输入uF(V)uA(V) uB(V)00 030 333 033

第15页：真值表输出输入

③真值表输出输入FA B00 010 111 011 1④逻辑符号

第16页：三极管非门电路(3)非门②状态表输出输入

①三极管非门电路(3)非门②状态表输出输入uF(V)uA(V)3

第17页：真值表输出输入

③真值表输出输入FA1001④逻辑符号

第18页：复合逻辑运算：1.与非运算

二、复合逻辑运算：1.与非运算：(1)逻辑表达式：F = AB(2)逻辑符号

第19页：或非运算

19２.或非运算：(1)逻辑表达式：F = A＋B(2)逻辑符号

第20页：与或非运算

20３.与或非运算：(1)逻辑表达式：F = AB＋CD(2)逻辑符号

第21页：异或运算

214.异或运算：(1)逻辑表达式：(2)逻辑符号F = A⊕B = AB + AB

第22页：同或运算

225.同或运算：(1)逻辑表达式：(2)逻辑符号F = A⊙B = A B + A B

第23页：第三节逻辑代数的公式

• 第三节逻辑代数的公式一、基本公式
• ：1.自等律A + 0 = AA · 1 =
• A2.吸收律A + 1 = 1A · 0 =
• 03.重叠律A + A = AA · A =
• A4.互补
• 律5.还原律A = AA + A = 1A · A =
• 06.交换律A + B = B + AA · B = B · A

第24页：逻辑代数的基本公式与常用公式（续）

• 247.结合律A + B + C= (A + B) + C= A + (B + C)A · B · C= (A · B) · C= A · (B · C
• )8.分配律A·(B + C)= AB + ACA + BC= (A + B) ·(A + C
• )9.反演律A + B = A·BAB = A + B基本公式的正确性可以用列真值表的方法加以证明；对同一基本公式左、右两列存在对偶关系。

第25页：逻辑代数的基本公式与常用公式（续2）

• 二、异或、同或逻辑的公
• 式1.异或运算、同或运算互为对偶运
• 算2.多个变量的异或、同或间关系(1)偶数个变量的异或、同或互补(2)奇数个变量的异或、同或相等A1⊕A2⊕…⊕An= A1⊙A2⊙…⊙An(n为偶数)A1⊕A2⊕…⊕An= A1⊙A2⊙…⊙An(n为奇数)

第26页：多个常量的异或

263.多个常量的异或、同或运算(1)异或时，起作用的是“1”的个数0⊕0 = 0 0⊕0⊕0 = 01⊕1 = 0 1⊕1⊕1 = 1(2)同或时，起作用的是“0”的个数0⊙0 = 1 0⊙0⊙0 = 01⊙1 = 1 1⊕1⊕1 =

第27页：常用公式1.合并相邻项公式

• 三、常用公
• 式1.合并相邻项公式AB + AB =
• A2.消项公式A + AB =
• A3.消去互补因子公式A + AB = A +
• B4.多余项（生成项）公式AB + AC + BC = AB +AC证明：AB + AC + BC = AB + AC +( A + A )BC= AB + AC + ABC+ ABC= AB + AC

第28页：第四节逻辑代数的基本规则

第四节逻辑代数的基本规则一、代入规则：适用于等式设F1( x1, x2, …,xn) = F2( x1,x2, …,xn)则F1( G, x2, …,xn) = F2( G,x2, …,xn)例：已知AB + AB = A若令G = AB, H = CD并把等式两边的A、B分别用函数G、H代替，则有：ABCD+ABCD=AB

第29页：反演规则：用于求反函数

二、反演规则：用于求反函数FF·+10AA+·01AA注意：(1)与运算优先或运算，若有括号，先算括号内(2)不属于单个变量上的非号，在变换时应保留

第30页：D，试用反演规则求反函数

例1：若F = A B + C D，试用反演规则求反函数F。

例2：若F = A + B+C·D，试用反演规则求反函数F。

解：F = A·B C + D解：F = ( A + B )·( C + D )

第31页：常用关系式

常用关系式：(1) F = F；

(2)若F = G，则F = G；

反之也成立。

第32页：对偶规则：用于等式的证明

三、对偶规则：用于等式的证明FF′·+10+·01注意：(1)与运算优先或运算，若有括号，先算括号内(2)不属于单个变量上的非号，在变换时应保留

第33页：常用关系式

常用关系式：(1) ( F′)′ = F；

(2)若F = G，则F′ = G ′；

反之也成立。

第34页：中的变量原反互换后即可得到F；将

将F′中的变量原反互换后即可得到F；

将F中的变量原反互换后即可得到F′。

FF·+10AA+·01AAFF′·+10+·

第35页：例1：已知

例1：已知A⊕0 = A，则其对偶公式为：A⊙1 = A例2：已知F = A⊕B，则其反函数可写为：A⊙B即A⊕B = A⊙BF =与反演律A+B = A·B形式类似

第36页：逻辑代数的基本规则（续）

作业题2.4

第37页：第五节逻辑函数的表达式

第五节逻辑函数的表达式一、常见表达式：F = AB + AC= AB + AC= AB · AC= ( A + B ) · ( A + C )与或式与非—与非式与或非式= AB + A C

第38页：标准表达式

= ( A + B ) ·( A + C )或与式= ( A + B ) ·( A + C )= A + B + A + C或非—或非式二、标准表达式：1.最小项、最小项表达式：(1)最小项的概念及其表示

第39页：例1：已知三变量函数

例1：已知三变量函数F(A,B,C)，则ABC就是一个最小项，通常写成m5。

其中，m表示最小项，5表示最小项的编号ABC( 101 )2( 5 )10例2：已知四变量函数F(A,B,C,D)，则BACD就是一个最小项，其最小项编号为多少？

解：把最小项中的变量从左到右按A,B,C,D的顺序排列，得ABCD，从而得(0111)2，即(7)10。

第40页：以，此最小项的编号为7，通常写成

所以，此最小项的编号为7，通常写成m7。

(2)最小项表达式（标准与或式）例：F(A,B,C) = A B C + A B C + A B C

第41页：最大项、最大项表达式

412.最大项、最大项表达式：(1)最大项的概念及其表示其中，M表示最小项，5表示最大项的编号( 101 )2( 5 )10例1：已知三变量函数F(A,B,C)，则A + B + C就是一个最大项，通常写成M5。

A + B + C

第42页：例2：已知四变量函数

例2：已知四变量函数F(A,B,C,D)，则B + C +A + D就是一个最大项，其最大项编号为多少？

解：把最大项中的变量从左到右按A,B,C,D的顺序排列，得A + B +C + D，从而得(0111)2，即(7)10。

所以，此最大项的编号为7，通常写成M7。

第43页：最大项表达式（标准或与式）例

(2)最大项表达式（标准或与式）例：F(A,B,C) = (A + B + C )·( A + B + C )·( A +B + C )

第44页：一变量函数，如

一变量函数，如F(A)，共有：2个最小项3.最小项和最大项的性质即：A、A二变量函数，如F(A,B)，共有：4个最小项三变量函数，如F(A,B,C)，共有：8个最小项即：A B、A B、A B、A B即：A B C、A B C、A B C、A B CA B C、A B C、A B C、A B C结论：n变量函数，共有：2n个最小（大）项。

第45页：最小项的主要性质①对任何一个最小项

(1)最小项的主要性质①对任何一个最小项，只有一组变量的取值组合，使它的值为1。

第46页：能使最小项的值为1的取值组合

A B CA B C00 0 000 0 100 1 000 1 101 0 011 0 101 1 001 1 1能使最小项的值为1的取值组合，称为与该最小项对应的取值组合。

例：101 ABC。

若把与最小项对应的取值组合看成二进制数，则对应的十进制数就是该最小项的编号i。

第47页：全部最小项之和恒等于

②全部最小项之和恒等于1。

即：③任意两个最小项的乘积恒等于0。

即：

第48页：任一最小项与另一最小项非之积恒等于该最小

即：④任一最小项与另一最小项非之积恒等于该最小项。

证明：若自变量的取值组合使mi= 1 (有且只有一组)，则：若自变量的取值组合使mi= 0 (其余2n-1组)，则：所以，等式成立。

第49页：最大项的主要性质：①对任何一个最大项

(2)最大项的主要性质：①对任何一个最大项，只有一组变量的取值组合，使它的值为0。

第50页：能使最大项的值为0的取值组合

A+B+CA B C10 0 010 0 110 1 010 1 111 0 001 0 111 1 011 1 1能使最大项的值为0的取值组合，称为与该最大项对应的取值组合。

若把与最大项对应的取值组合看成二进制数，则对应的十进制数就是该最大项的编号i。

例：101 A+B+C。

第51页：全部最大项之积恒等于

②全部最大项之积恒等于0。

即：③任意两个最大项的和恒等于1。

即：④任一最大项与另一最大项非之和恒等于该最大项。

即：

第52页：几个关系式(1)编号相同的最小项和最大项

524.几个关系式(1)编号相同的最小项和最大项互补。

即：例如：三变量函数F(A,B,C)的m5, M5对A,B,C的8组取值组合，其取值如下：

第53页：逻辑函数的表达式与标准形式（续）

A B C（m5)A B C00 0 000 0 100 1 000 1 101 0 011 0 101 1 001 1 1A+B+C(M5)A B C10 0 010 0 110 1 010 1 111 0 001 0 111 1 011 1

第54页：证明：即上述关系式成立

证明：即上述关系式成立。

第55页：

第56页：证明：根据反演规则和对偶规则之间的关系可

证明：根据反演规则和对偶规则之间的关系可知，F中的原、反变量互换，即得到F′。

所以，F和F′中包含的最小项的个数是相等的，且对应的最小项的编号之和为( 2n-1 )。

第57页：上述关系式成立

即上述关系式成立。

例1：若= A B C + A B C + A B C则F′(A,B,C) = A B C + A B C + A B C例2：若则解：

第58页：由一般表达式写出最小(大)项表达式的方法

585.由一般表达式写出最小(大)项表达式的方法：一般表达式与或式或与式A + A= 1最小项表达式A · A= 0最大项表达式例1：解：F(A,B,C) = AB(C + C) = ABC + ABC

第59页：逻辑函数的表达式与标准形式（续2）

例2：解：F(A,B,C) = AB+AC = A(B+C)= ( A +B B + C C) (A A+ B + C )( A + B + C )·( A + B + C )= ( A + B B + C )·( A + B B + C)·= ( A + B + C ) ( A + B + C ) ( A + B + C ) (A + B + C ) ( A + B + C )

第60页：试将表2.5.2真值表所表示

606.由真值表写出最小（大）项表达式的方法(1)最小项表达式是真值表中所有使函数值为1的取值组合所对应的各最小项之和。

例2.5.3试将表2.5.2真值表所表示的逻辑函数分别用最小项表达式和最大项表达式表示。

(2)最大项表达式是真值表中所有使函数值为0的取值组合所对应的各最大项之积。

第61页：解：最小项表达式

FA B10 000 111 001 1解：最小项表达式：= m0+m2最大项表达式：= M1·M3F(A,B) = ( A + B )·( A+ B )F(A,B) = A B + A B表2.5.

第62页：第六节逻辑函数的化简

• 第六节逻辑函数的化简一、化简的意义和最简的标准
• ：1.化简的意义（目的）：节省元器件；提高工作可靠
• 性2.化简的目标：最简与或式或者最简或与
• 式3.最简的标准：(1)项数最少(2)每项中的变量数最少(3)要求电路的工作速度较高时，优先考虑级数最少

第63页：公式法1.与或式的化简(1)相邻项合并法

二、公式法1.与或式的化简(1)相邻项合并法利用合并相邻项公式:A B + A B = A例2：F = A ( B C + B C ) + A ( B C + B C )= A例1：F = A B + C D + A B + C D= A + D= ( A B + A B ) + ( C D + C D )

第64页：消项法

(2)消项法= A B利用消项公式A + AB = A或多余项公式A B + A C + B C = A B + A C例1：F = A B + A B C + A B D= A B + A B ( C + D )例2：F = A C + C D + A D E + A D G= A C + C D

第65页：消去互补因子法利用消去互补因子公式

(3)消去互补因子法利用消去互补因子公式A + AB = A + B例1：F = A B + A C + B C= A B + C= A B + A B C例2：F = A B + A B + A B C D + A B C D= A B + A B + C D ( A B + A B )= A B + A B + C D(4)综合法

第66页：结论：先找公共因子

结论：先找公共因子，再找互补因子合并相邻项公式AB + AB = A消项公式A + AB = A消去互补因子公式A + AB = A + B多余项（生成项）公式AB + AC + BC = AB +AC

第67页：或与式的化简：方法：二次对偶法F或与式

二、或与式的化简：方法：二次对偶法F或与式（未化简）与或式（进行化简）或与式（已化简）F′F

第68页：化为最简或与式

解：F ′= A B C+ A B C例：把F(A,B,C) = ( A + B + C )( A + B + C )化为最简或与式。

= A BF = ( F′) ′= A + B

第69页：公式法化简逻辑函数（续）

作业题2.12.8 (1)2.10 (1)2.11 (1)

第70页：卡诺图化简法：1.逻辑函数的卡诺图表示

三、卡诺图化简法：1.逻辑函数的卡诺图表示(1)卡诺图的构成①格图形式的真值表FA B00 010 101 011 100010111AB

第71页：最小项（或最大项）的方块图

②最小项（或最大项）的方块图m6m7m5m41m2m3m1m0010110100ABC注意：Ⅰ最小（大）项的序号为该小格对应的取值组合组成的二进制数的十进制值Ⅱ图上几何相邻和对称相邻的小方格所代表的最小（大）项逻辑相邻。

第72页：卡诺图中0和1的含义

③卡诺图中0和1的含义Ⅰ从真值表的观点：函数取值0或1；

Ⅱ从最小（或大）项方块图观点：在函数的标准表达式中，不包含（为0）或包含（为1）最小项；

不包含（为1）或包含（为0）最大项。

第73页：卡诺图化简法（续）

7311 101 010 100 0FA B( a )00010111AB( b )

第74页：例2.6.11 将图2.6.4所示卡诺图

例2.6.11将图2.6.4所示卡诺图分别用最小项表达式和最大项表达式表示。

解：= A B C + A B C + A B C100110010010110100ABC图2.6.4=( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C )

第75页：逻辑函数的几种移植方法①按真值表直接填②

(2)逻辑函数的几种移植方法①按真值表直接填②先把一般表达式转换为标准表达式，然后再填③观察法a.一般与或式的观察法移植方法：在包含乘积项中全部变量的小格中填

第76页：例2.6.12 试将

例2.6.12试将F(A,B,C,D) = ABCD + ABD + AC用卡诺图表示。

解：11101111111010010110100ABCD图2.6.

第77页：13 试将

b.一般或与式的观察法移植方法：在包含和项中全部变量的小格中填0例2.6.13试将F(A,B,C,D) = (A+B+C+D)(A+B+D)用卡诺图表示。

1000110100010110100ABCD解：图2.6.

第78页：卡诺图的运算(1)相加

782.卡诺图的运算(1)相加001010010010110100ABC000010110010110100ABC001010110010110100ABC＋﹦

第79页：卡诺图化简法（续2）

(2)相乘001010010010110100ABC000010110010110100ABC000010010010110100ABC×﹦

第80页：卡诺图化简法（续3）

(3)异或001010010010110100ABC001010100010110100ABCA000010110010110100BC⊕﹦

第81页：卡诺图化简法（续4）

(4)反演001010010010110100ABC110111101010110100ABC

第82页：：已知

例：已知F1(A,B,C,D) = A B + C DF2(A,B,C,D) = B C + A D解：用卡诺图分别表示函数F1，F2，F，如下图所示。

第83页：卡诺图化简法（续5）

ABCDABCD⊕﹦10110100010000011101001111100110ABCD1011010010010111111111010110100001101111111110F1F2F

第84页：卡诺图化简法(1)化简原理卡诺图上几何相

843.卡诺图化简法(1)化简原理卡诺图上几何相邻和对称相邻的小方格所代表的最小项逻辑相邻，可以利用合并相邻项公式:A B + A B = A化简。

第85页：合并的对象卡诺图上几何相邻和对称相邻的

(2)合并的对象卡诺图上几何相邻和对称相邻的、并构成矩形框的、填“1”的、2n个小方格所代表的最小项。

(3)合并项的写法一个卡诺圈对应一个乘积项，该乘积项由卡诺圈内各小方格对应的取值相同的变量组成，其中，“1”对应原变量，“0”对应反变量。

第86页：圈2格，可消去1个变量

①圈2格，可消去1个变量；

(4)合并的规律000010011010110100ABCF = A B000011001010110100ABCF = A C

第87页：圈4格，可消去2个变量

②圈4格，可消去2个变量；

001110011010110100ABCF = B000011111010110100ABCF = A100111001010110100ABCF = C

第88页：卡诺图化简法（续6）

8810011001101101100110010010110100ABCD01101010011110010101100010110100ABCDF = B D + B DF = B D + B D

第89页：卡诺图化简法（续7）

8901101001101101100101100010110100ABCD10011010011110010110010010110100ABCD③圈8格，可消去3个变量；

F = DF = D

第90页：化简的原则

(5)化简的原则、步骤①名词解释结论：圈2i个相邻最小项，可消去i个变量(i =0,1,2…)a.主要项必要项多余项：主要项圈中含有独立的“1”格：主要项圈中无独立的“1”格b.实质小项

第91页：C不是主要项B是主要项

91001110011010110100ABC011010011010110100ABCB C不是主要项B是主要项B C是多余项A C、A B是必要项ABC、A B C是实质小项

第92页：圈卡诺圈的原则a.排斥原则b.闭合原则

②圈卡诺圈的原则a.排斥原则b.闭合原则c.最小原则③化简的步骤a.先圈孤立的“1格”；

b.再圈只有一个合并方向的“1格”；

c.圈剩下的“1格”。

第93页：注意：a.圈中“1”格的数目只能为

注意：a.圈中“1”格的数目只能为2i( i = 0,1,2…)，且是相邻的。

b.同一个“1”格可被圈多次( A + A = A )。

c.每个圈中必须有该圈独有的“1”格。

d.首先考虑圈数最少，其次考虑圈尽可能大。

e.圈法不是唯一的。

第94页：化简函数为最简与或式

(6)化简举例例2.6.14化简函数为最简与或式。

10101011001111100110010010110100ABCDF(A,B,C,D) = A B D +A B D + A B C D +B C + C D图2.6.

第95页：例2.6.16 化简函数为最简与或式

例2.6.16化简函数为最简与或式。

11111011001111100110010010110100ABCDF(A,B,C,D) = A B D +B D + A B + B C图2.6.

第96页：已知函数求最简与或式

(7)由最大项表达式求最简与或式例2.6.18已知函数求最简与或式。

11111010011110010111110010110100ABCDF(A,B,C,D) = B + D图2.6.

第97页：已知函数求最简或与式

(8)由最小项表达式求最简或与式例2.6.19已知函数求最简或与式。

011011011010110100ABCF(A,B,C,D) = ( A + C )( A+ B + C )图2.6.

第98页：非完全描述逻辑函数的化简1.约束项

四、非完全描述逻辑函数的化简1.约束项、任意项、无关项及非完全描述逻辑函数(1)无关项约束项任意项：不可能出现的取值组合所对应的最小项。

：出现以后函数的值可任意规定的取值组合所对应的最小项。

第99页：非完全描述逻辑函数例：一自动供水系统原理

(2)非完全描述逻辑函数例：一自动供水系统原理示意图如下所示，其中F1为大功率供水机，F2为小功率供水机，自动控制过程为：当水位在A线以下时，F1和F2同时启动；

当水位在A线和B线之间时，只有F1启动；

当水位在B线和C线之间时，只有F2启动；

当水位在C线以上时，F1和F2停机。

试用真值表和逻

第100页：BCF2F1辑表达式描述该系统的控制功能

ABCF2F1辑表达式描述该系统的控制功能。

第101页：解：(1)列真值表

解：(1)列真值表。

由题意知A、B、C为输入变量，F1和F2为函数。

设水位在刻度线以上，相应的输入变量取1；

反之，取0。

供水机启动，相应的函数取1，反之，取0。

第102页：逻辑函数表达式

F1F2C B A1 10 0 01 00 0 1Ø Ø0 1 00 10 1 1(2)逻辑函数表达式F1F2C B AØ Ø1 0 0Ø Ø1 0 1Ø Ø1 1 00 01 1

第103页：非完全描述逻辑函数的化简无关项小格既可作

1032.非完全描述逻辑函数的化简无关项小格既可作为“0”格处理，也可作为“1”格处理，以使化简结果最简为准。

注意：(1)卡诺圈中不可全是无关项；

(2)不可把无关项作为实质小项。

第104页：例2.6.22 用卡诺图化简逻辑函数

例2.6.22用卡诺图化简逻辑函数ØØØØ1011101110110100000010110100ABCDF(A,B,C,D) = A B C + A D+ B C D图2.6.

第105页：无关项的运算规则

1053.无关项的运算规则Ø10+Ø1ØØØ10×ØØ0ØØ10⊕ØØØØØ=Ø表2.6.

第106页：最简与或式的转换1.转换成两级与非式

• 五、最简与或式的转
• 换1.转换成两级与非式F(A,B,C) = A C +A B = A C + A B = AC·A
• B2.转换成两级或非式F(A,B,C) = A C +A B011011100010110100ABCF(A,B,C) = (A+B)(A+C)F(A,B,C) = A+B+A+C图2

第107页：转换成与或非式

1073.转换成与或非式011011100010110100ABCF(A,B,C) = A C +A BF(A,B,C) = F(A,B,C) = A C +A B图2.6.

第108页：非完全描述逻辑函数的化简与表达式转换（续）

作业题2.12 (1) (3) (4)2.13 (1)2.