02-1 第二章 点、直线、平面的投影.pptx

第1页：第2章点直线平面投影封面

机械制图第2章点、直线、平面的投影

本页以「点线面投影」相关图示为主，属点直线平面投影导学，源文件仅提取到少量标注文字，建议对照原课件图片查阅。

第2页：教学目标与重难点

【教学目标】投影法及其分类；

点、直线、平面的投影；

两直线、直线与平面及两平面的相对位置。

【教学重点】了解投影法及其分类；

掌握点、直线、平面的投影规律；

掌握两直线、直线与平面及两平面的相对位置关系。

【教学难点】点线面的投影规律；

点线面间的位置关系。

第3页：第2章章节目录

第2章点、直线、平面的投影2.1投影法及其分类2.2点的投影2.3直线的投影2.4平面的投影2.5直线与平面及两平面的相对位置本章小结2.6投影变换

第4页：平行投影法中心投影法

平行投影法中心投影法§2投影法及其分类投影法投射线物体投影面投影投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到图形的方法——投影法。

投射中心斜投影法正投影法

第5页：中心投影法投射中心

中心投影法投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。

度量性较差。

投影特性物体位置改变，投影大小也改变。

投射线物体投影面投影投射中心

第6页：平行投影法的投影特性

平行投影法投影特性投影大小与物体和投影面之间的距离无关。

度量性较好。

工程图样多数采用正投影法绘制。

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第7页：投影法中心投影法平行投影

投影法中心投影法平行投影法正投影法斜投影法画透视图画斜轴测图画工程图样及正轴测图

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第8页：1.1 点的投影解决办法

Pb

• ●
• ●AP采用多面投影。

过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。

B3

• ●B2
• ●B1
• ●点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。

一、点在一个投影面上的投影a

• ●1.1点的投影解决办法？

第9页：点的三面投影投影面投影轴

HWV二、点的三面投影投影面投影轴OXZ三个投影面互相垂直Y

• ◆正面投影面（简称正面或V面）
• ◆水平投影面（简称水平面或H面）
• ◆侧面投影面（简称侧面或W面）OX轴V面与H面的交线OY轴H面与W面的交线OZ轴V面与W面的交线

第10页：空间点

WHVOXZY空间点A在三个投影面上的投影a点A的正面投影a点A的水平投影a点A的侧面投影注意：空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。

a

• ●a
• ●a
• ●A
• ●

第11页：向右翻向下翻不动投影面展

• ●
• ●
• ●
• ●XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向下翻不动投影面展开WVHaa
• ●x
• ●
• ●azZaayayaXYYO

本页以「点线面投影」相关图示为主，属点的投影，源文件仅提取到少量标注文字，建议对照原课件图片查阅。

第12页：点的投影规律

• ●
• ●
• ●
• ●XYZOVHWAaaa点的投影规律:xaazay
• ●
• ●YZazaXYayOaaxaya
• ●
• ①aa⊥OX轴,aa⊥OZ轴
• ②aax=aay=y =Aa（A到V面的距离)aay=aaz=x =Aa（A到W面的距离)aax=aaz=z=Aa（A到H面的距离）

第13页：已知点的两个投影

• ●
• ●aaax例：已知点的两个投影，求第三投影。
• ●a
• ●
• ●aaaxazaz解法一:通过作45°线使aaz=aax解法二:用圆规直接量取aaz=aaxa
• ●

第14页：两点的相对位置

三、两点的相对位置两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。

判断方法

▲x坐标大的在左▲y坐标大的在前▲z坐标大的在上B点在A点之前、之右、之下。

baaabb

• ●
• ●
• ●
• ●
• ●
• ●XYYZo

第15页：重影点

( )重影点

空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。

acc

• ●
• ●
• ●
• ●
• ●aac被挡住的投影加( )A、C为哪个投影面的重影点呢？

A、C为H面的重影点

第16页：2.3 直线的投影

aaabbb

• ●
• ●
• ●
• ●
• ●
• ●2.3直线的投影BA
• ●
• ●
• ●
• ●ab
• ●
• ●AB
• ●
• ●abAMB
• ●a≡b≡m
• ●
• ●
• ●两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。

一、直线的投影特性

• ⒈直线对一个投影面的投影特性直线垂直于投影面投影重合为一点积聚性直线平行于投影面投影反映线段实长ab=AB直线倾斜于投影面投影比空间线段短ab=AB.cos

第17页：投影面平行线的投影特性

投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置。

• ⒉直线在三个投影面中的投影特性

第18页：投影面平行线

• ⑴投影面平行线γβXZ″baaabbOYY′′″水平线实长
• ①在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实大。
• ②另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反映直线与它所平行的投影面之间的距离。

投影特性

VHabAaaγβBbbWβγ′′″″

第19页：判断下列直线是什么位置

判断下列直线是什么位置的直线？

侧平线正平线与H面的夹角:与V面的夹角:β与W面的夹角:γ实长β实长γbaababbaabba直线与投影面夹角的表示法：

第20页：投影面垂直线的投影特性

• ⑵投影面垂直线铅垂线正垂线侧垂线
• ②另外两个投影，反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。
• ①在其垂直的投影面上，投影有积聚性。

投影特性:

• ●aba(b)ab
• ●c(d)cddc
• ●efefe(f)

第21页：一般位置直线

• ⑶一般位置直线ZYaOXabbaYb三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。

三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。

投影特性HaβγaAbVBbWab

第22页：直线与点的相对位置

cacXabcYYbOaZb′″′′″″cAHacaVbBabcCbW′′′″″″二、直线与点的相对位置

• ◆若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。
• ◆点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相同的比例。

即

AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb定比定理

第23页：例1：判断点C是否在线段AB上

例1：判断点C是否在线段AB上。

• ②cabcab
• ●
• ●abcabc
• ①
• ●
• ●在不在ab
• ●c
• ●
• ●aabcb
• ③c不在应用定比定理另一判断法?

第24页：例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投

例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。

解法一

应用第三投影解法二：应用定比定理

• ●aabbkab
• ●k
• ●k
• ●aabbk
• ●
• ●k
• ●

第25页：两直线的相对位置

三、两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为

平行、相交、交叉（异面）。

• ⒈两直线平行空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。

bcdHAdaCcVaDbBacdbcdabOX

第26页：判断图中两条直线是否平行

例：判断图中两条直线是否平行。

对于一般位置直线，只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就平行。

AB与CD平行AB与CD不平行对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行。

abcdcbaddbac

• ②bdca
• ①abcdcabd

第27页：两直线相交若空间

• ⒉两直线相交若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性。

交点是两直线的共有点acVXbHDacdkCAkKdbOBcabdbacdkk

第28页：例1：过C点作水平线CD与AB相交

• ●cdkkd例1：过C点作水平线CD与AB相交。

先作正面投影a

• ●bbac

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第29页：例2：判断直线AB、CD的相对位置

例2：判断直线AB、CD的相对位置。

′c′′a′bdabcd相交吗？

不相交！

为什么？

交点不符合空间一个点的投影特性。

判断方法？

• ⒈应用定比定理
• ⒉利用侧面投影

第30页：两直线交叉不相交

• ⒊两直线交叉不相交！

交点不符合一个点的投影规律！

cacabddbOX′′′′accAaCVbHddDBb′′′′

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第31页：投影特性

accAaCVbHddDBb′′′′cacabddbOX′′′′1(2)

• ●2
• ●′1
• ●′投影特性：
• ★同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。
• ★“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。

211(2)ⅡⅠ′′

• ●
• ●
• ●
• ●
• ●′′Ⅳ43(4 )3Ⅲ
• ●
• ●
• ●
• ●
• ●
• ●3(4 )34
• ●
• ●′′

第32页：垂直相交或垂直交叉

4.两直线垂直时的投影特性两条直线垂直（垂直相交或垂直交叉）时，只要其中一条平行于某一投影面，则它们在该投影面上的投影仍互相垂直。

第33页：点作直线

例2-6过C点作直线CD与水平线AB垂直相交分析：因为AB为水平线，则直线CD、AB的水平投影相互垂直。

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第34页：2.4 平面的投影一、平面的表示法不在同

2.4平面的投影一、平面的表示法不在同一直线上的三个点直线及线外一点abcabc

• ●
• ●
• ●
• ●
• ●
• ●d
• ●d
• ●两平行直线abcabc
• ●
• ●
• ●
• ●
• ●
• ●两相交直线平面图形c
• ●
• ●
• ●abcab
• ●
• ●
• ●c
• ●
• ●
• ●
• ●
• ●
• ●ababcb
• ●
• ●
• ●
• ●
• ●
• ●acabc

第35页：平面平行投影面

二、平面的投影特性垂直倾斜投影特性

• ★平面平行投影面——投影就把实形现
• ★平面垂直投影面——投影积聚成直线
• ★平面倾斜投影面——投影类似原平面实形性类似性积聚性平行

第36页：平面在三投影面体系中的投

• ⒉平面在三投影面体系中的投影特性特殊位置平面正垂面侧垂面铅垂面正平面侧平面水平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面投影面垂直面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面投影面平行面与三个投影面都倾斜一般位置平面平面对于三投影面的位置可分为三类：

第37页：投影面垂直面

cc

• ⑴投影面垂直面abcabba类似性类似性积聚性铅垂面γβ投影特性：在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。

该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。

另外两个投影面上的投影为类似形。

第38页：投影面平行面积聚性积聚性

abcabcabc

• ⑵投影面平行面积聚性积聚性实形性水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。

另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。

第39页：三个投影都类似

abcacbabc

• ⑶一般位置平面投影特性：三个投影都类似。

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第40页：正垂面

• ●abcb例：正垂面ABC与H面的夹角为45°，已知其水平投影及顶点B的正面投影，求△ABC的正面投影及侧面投影。

45°思考

此题有几个解？

第41页：平面上的直线和点

三、平面上的直线和点

• ●
• ●MNAB
• ●M若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。

若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。

• ⒈平面上取任意直线位于平面上的直线应满足的条件：

第42页：例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试

abcbcad例1

已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。

有无数解！

n

• ●m
• ●n
• ●m
• ●abcbca

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第43页：例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到

例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。

cabcabmnmn唯一解！

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第44页：例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水

• ⒉平面上取点bacakb
• ●
• ①c首先面上取线k
• ●
• ②
• ●abcabkck
• ●面上取点的方法:先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。

例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。

利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解

第45页：例2：已知AC为正平线，补全平行四边形

adacbc例2

已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。

cadadbc解法一

解法二：bckkb

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第46页：平面内取点并满足距离条件

dem

• ●m
• ●例3：在△ABC内取一点M，并使其到H面V面的距离均为10mm。

bcXbcaaOd

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第47页：直线与平面及两平面的相对

2.5直线与平面及两平面的相对位置若平面外的一直线平行于平面内的某一直线，则该直线与该平面平行。

相对位置包括平行、相交和垂直。

一、平行问题直线与平面平行平面与平面平行

• ⒈直线与平面平行

第48页：例1：过M点作直线MN平行于平面

n

• ●
• ●acbmabcm例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。

有无数解ddn

本页以「点线面投影」相关图示为主，属直线与平面及两平面的相对位置，源文件仅提取到少量标注文字，建议对照原课件图片查阅。

第49页：过M点作平行于V面的直线

正平线例2

过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。

唯一解c

• ●
• ●bamabcmnndd

本页以「点线面投影」相关图示为主，属直线与平面及两平面的相对位置，源文件仅提取到少量标注文字，建议对照原课件图片查阅。

第50页：两平面平行

• ⒉两平面平行cfbdeaabcdeffhabcdefhabcde
• ①若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。
• ②若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。

第51页：不平行

acebbaddfcfehhOXmm由于ek不平行于ac,故两平面不平行。

例：判断平面ABDC与平面EFHM是否平行，已知AB∥CD∥EF∥MH

第52页：直线与平面两平面相交

二、相交问题直线与平面相交平面与平面相交

• ●
• ●
• ⒈直线与平面相交直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。

要讨论的问题：

• ●求直线与平面的交点。
• ●判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。

我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。

第53页：求直线

例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。

用线上取点法

• ⑴平面为特殊位置abcmncnbamk
• ●2
• ●1
• ●空间及投影分析平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。
• ①求交点
• ②判别可见性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。

还可通过重影点判别可见性。

作图k

第54页：直线为特殊位置

m(n)b

• ●mncbaac
• ⑵直线为特殊位置k
• ●2
• ●1
• ●用面上取点法空间及投影分析直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。
• ①求交点
• ②判别可见性点Ⅰ位于平面上，在前；

点Ⅱ位于MN上，在后。

故k2为不可见。

作图k1(2’)

第55页：两平面相交

• ⒉两平面相交两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。

要讨论的问题：

• ①求两平面的交线方法：
• ⑴确定两平面的两个共有点。
• ⑵确定一个共有点及交线的方向。

只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。

• ②判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。

第56页：求两平面的交线

abcdefcfdbean

• ●m
• ●例：求两平面的交线MN并判别可见性。
• ⑴空间及投影分析平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。

空间及投影分析

• ①求交线
• ②判别可见性作图从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。

可通过正面投影直观地进行判别。

m(n)

第57页：求两平面的交线·分析

abcdefcfdbeam(n)

• ●例：求两平面的交线MN并判别可见性。
• ⑴空间及投影分析
• ①求交线
• ②判别可见性作图从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。

m

• ●n
• ●平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。

第58页：空间及投影分析平面

a′abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′1(2)′′

• ⑵2
• ●1
• ●m′
• ●m
• ●n
• ●n′
• ●空间及投影分析平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m、n即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。
• ①求交线
• ②判别可见性点Ⅰ在MC上，点Ⅱ在FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在后，故mc可见。

作图

第59页：空间及投影分析平面·分析

abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′

• ⑵m
• ●n
• ●n′
• ●m′
• ●空间及投影分析平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m、n即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。
• ①求交线
• ②判别可见性点Ⅰ在MC上，点Ⅱ在FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在后，故mc可见。

作图

第60页：投影分析

cdefababcdef

• ⑶n
• ●n
• ●m
• ●k
• ●m
• ●k
• ●投影分析N点的水平投影n位于Δdef的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。

所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。

第61页：投影分析·分析

cdefababcdef

• ⑶投影分析N点的水平投影n位于Δdef的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。

所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。

互交m

• ●k
• ●k
• ●m
• ●

第62页：本章小结要点

abcabc

• ①直线为一般位置时
• ②直线为特殊位置时babkak
• ●
• ●小结重点掌握：
• ★点、直线、平面的投影特性，尤其是特殊位置直线与平面的投影特性。
• ★点、直线、平面的相对位置的判断方法及投影特性。

一、直线上的点

• ⒈点的投影在直线的同名投影上。
• ⒉点的投影必分线段的投影成定比——定比定理。
• ⒊判断方法:

第63页：对于一般位置直线

二、两直线的相对位置abcdcabd

• ①cbddbac
• ②a对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。

对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。

• ⒈平行同名投影互相平行。

第64页：同名投影相交

• ⒉相交cabbacdkkd
• ①c′′a′bd′abcd
• ②同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。

同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。

“交点”是两直线上一对重影点的投影。

• ⒊交叉（异面）

第65页：面上取点的方法

三、点与平面的相对位置bacakb

• ●
• ①c
• ②
• ●abcabkc面上取点的方法:利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解

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第66页：线面位置小结

四、直线与平面的相对位置abcmncnbamm(n)b

• ●mncbaac
• ⒈直线与平面平行直线平行于平面内的一条直线。
• ⒉直线与平面相交
• ⑴一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用交点的共有性和平面的积聚性，采用直线上取点的方法求解。

(2)投影面垂面及一般位置平面求交点，利用交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上取点的方法求解。

第67页：若一平面上的两相交直线分

五、两平面的相对位置cfbdeaabcdeffhabcdefhabcde

• ⑴若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行
• ⒈两平面平行
• ⑵若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。

第68页：两特殊位置平面相交

• ⒉两平面相交a′abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′abcdefcfdbea
• ⑴两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，有时可找出两平面的一个共有点，根据交线的投影特性画出交线的投影。
• ⑵一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共有点，求出交线。

第69页：点线面投影结束页

END

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