第1页：第9章期权定价理论
第9章期权定价理论
第9章期权定价理论
第2页：期权定价理论主要内容
主要内容
- 9.1风险中性定价（不讲）
- 9.2布莱克—舒尔斯期权定价模型
- 9.3二叉树定价模型
第3页：风险中性假设
9.1.1风险中性假设
- 风险中性是指对风险处于中立的态度，既不厌恶风险又不喜好风险。
- 风险中性投资者对风险大小无所谓，不管风险如何，并不要求风险补偿，对所有资产所要求的收益率都是无风险收益率。
- 风险中性假设：如果对一个问题的分析过程与投资者的风险偏好无关，则可以将该问题放到一个假想的风险中性的世界里进行分析，所得到的结果在真实的世界里也应当成立。9.1风险中性定价（不讲）
第4页：风险中性定价原理
9.1.2风险中性定价原理
在对衍生证券定价时，我们可以假定所有投资者都是风险中性的，此时所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。
第5页：无红利股票的二叉树定价算例
- 例题：假设一种不支付红利的股票目前的市价为10元，在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。
- 假设现在的无风险年利率等于10%(连续复利)，试计算一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权现在的价值。
- 利用风险中性假设对金融产品定价，核心环节是构造出风险中性概率，然后按照风险中性概率算出未来收益的预期值，再以无风险利率折现。
第6页：风险中性世界中
- 1、风险中性世界中，假定该股票上升概率为P，下跌概率为1-P,则未来现金流的预期值为11P+9(1-P)。将其按照无风险利率折现获得的现值就是股票目前的市价，即：
- 2、在风险中性世界中，期权3个月后收益的预期值，即：0.5×0.6266+0×0.3734= 0.3133。
- 3、这样，根据风险中性定价原理，我们就可以求出该期权的价值：
第7页：无套利均衡分析与风险中性定价的比较
9.1.3无套利均衡分析与风险中性定价的比较
- 假设一个无红利支付的股票，当前时刻（设为t时刻）股票价格为S，基于该股票的某个期权的价值是f，期权的有效期是T，在这个有效期内，股票价格或者上升到Su，或者下降到Sd。
- 当股票价格上升到Su时，我们假设期权的收益为fu，如果股票的价格下降到Sd时，期权的收益为fd。
第8页：无套利均衡分析的思路
(1)无套利均衡分析的思路
- 首先，构造一个由股股票多头和一个期权空头组成的证券组合。
- 在时刻，若股票价格上升到，则该证券组合的价值为；若股票价格下降到，则该证券组合价值为。为了使该证券组合为无风险组合，则在时刻必须有，计算出值，即：
第9页：则该无风险组合的现值是
- 若无风险利率用表示，则该无风险组合的现值是（或者）；而该组合是由股股票多头和一个期权空头组成的，因此该证券组合的价值是，在没有套利机会的条件下，两者必须相等。
- 即：或
- 将值的计算式代入上式，得：
- 式中，令：
第10页：风险中性定价的思路
(2)风险中性定价的思路
- 假定风险中性世界中股票的上升概率为P，由于股票未来期望值按无风险利率贴现的现值必须等于该股票目前的价格，故风险中性概率可通过下式求得。
- 由求出
- 因此期权的价格为：
- 结论：无套利定价法与风险中性定价法得出的结论完全一致，只是字母的含义不同。
第11页：布莱克—舒尔斯模型的提出背景
- 9.2布莱克—舒尔斯期权定价模型20世纪70年代以前出现过一些期权定价模型，它们有共同的不足之处：不同程度地依赖股票未来价格的概率分布和投资者的风险偏好。
- 而风险偏好和股票概率分布是无法预测或正确估计的，因而限制了它们在实际中的运用。
第12页：布莱克与舒尔斯的经典论文
- 1973年，布莱克和舒尔斯在美国《政治经济学》上发表了“期权和公司债务的定价”，给出了欧式股票看涨期权的定价公式。
- 该模型避免了对股票未来价格的概率分布和投资者风险偏好的依赖。
第13页：模型蕴含着一个深刻的思想
该模型蕴含着一个深刻的思想，即期权的风险实际上在标的物价格及其运动中得到反映，也就是说它们都受同一种不确定性因素的影响，只要匹配得当，这种不确定性就可消除。
第14页：Delta对冲与波幅抵消
- 为了抵消波幅，可买入一定份额的股票，同时卖出一单位该股票的买权（或买入一单位股票，同时卖出一定份额的买权）。
- 这样，波幅抵掉了，风险就没有了，因此，由股票多头和该股票买权的空头组成的投资组合是无风险的。
- 在市场均衡条件下，该组合投资收益率应等于无风险利率。
第15页：股票多头与买权空头的无风险组合
- 因此，一定份额股票多头＋一单位买权空头＝无风险资产多头，该式可变换为：一单位买权多头＝一定份额股票多头＋无风险资产空头。
- 该等式意味着买权多头可用股票多头与无风险资产空头来复制，也就是说买权的价格可用股票的价格和无风险资产的价格表示。
第16页：复杂的数学推导
- 经过复杂的数学推导，就可得出著名的布莱克——舒尔斯微分方程，它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。
- 其中，r为无风险利率，f为衍生证券的价格，S为标的资产的价格，σ为标的资产价格的波动率（标准差）。
第17页：求解布莱克——舒尔斯微分方程
通过求解布莱克——舒尔斯微分方程，就可得出无收益资产欧式看涨期权的定价公式：其中：N（d）为标准正态分布变量X的概率分布函数。即同时有
第18页：二叉树期权定价模型
9.3二叉树期权定价模型
- 1979年，美国学者考克斯(J.Cox)、罗斯(S.Ross)和鲁宾斯坦(M.Rubinstein)发表了一篇名为“期权定价：一种被简化的方法”的文章，在文中推导出了二叉树定价模型，又称为二项式模型。
- 该模型比较简单直观，不需要复杂的数学知识就可以应用，现已成为最基本的期权定价方法之一。
第19页：二叉树定价的基本思想
- 9.3.1基本思想
- 在二叉树模型中，把期权的有效期分为很多很小的时间间隔，并假设在每一个时间间隔内证券价格只有两种运动的可能：从开始的上升到原先的倍，达到；下降到原先的倍，达到，其中，。
- 价格上升的概率为，下降概率为。期权价值相应的变为和。证券价格和期权价值的变动分别如图9.3和图9.4所示。
本页含表格/图示，源文本为粘连提取结果，建议对照原课件图片人工还原为表格后再上线。
第20页：图9.3 证券价格变化的二叉树图
图9.3时间内证券价格变化的二叉树图图9.4时间内期权价值变化的二叉树图
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第21页：这种二值运动的假设与实际不相符合
- 当较大时，这种二值运动的假设与实际不相符合，但当时间间隔非常小时，如在每个瞬间，假设证券价格呈现二值运动是可以的。
- 因此，二叉树定价模型的基本思想是用大量离散的小幅度的二值运动来模拟连续的证券价格运动，然后在此基础上运用无套利均衡分析法或风险中性假设来为期权定价
第22页：一阶段二叉树定价模型算例
- 9.3.2一阶段的二叉树定价模型S=50Su=80Sd＝40ccu＝20cd＝0因无风险资产只能获得无风险收益，所以其现在的价值为20/(1+5%)，而该组合目前的价值又可表示为0.5S－C＝0.5×50－C＝25－C,所以有20/(1+5%)= 25－C，解出C＝5.95。
- 构造一个组合：一单位买权空头与△单位股票多头可构造无风险资产，因此，1年后，若市场处于繁荣状态，组合的价值为80△－20；
- 若市场处于萧条状态，组合的价值为40△－0。例题：假设目前的无风险利率是5％，股票价格是50元，1年后，股票要么上升到80元，要么下跌到40元。
- 若一欧式买权的执行价是60元，价格变化如图：因该组合资产是无风险资产，所以有80△－20＝40△，求出△＝0.5。
- 因此，该无风险组合由一单位买权空头与0.5单位股票多头组成。1年后该组合的价值为80△－20＝40△＝20。
