第1页：第五节 空间平面的投影
第五节 空间平面的投影：第五节空间平面的投影空间平面可以由不同的构成元素的投影来表示，如下表示法：b′a′ac′bcb′a′ac′bca′ab′c′bcb′ba′ac′ca′b′c′abcd′d一、平面的投影特性二、平面上的点和线
第2页：平面的投影特性分类
平面的投影特性分类
- 投影面的垂直面只垂直于一个投影面，倾斜于其他两个投影面的平面
- 1）正垂面2）铅垂面3）侧垂面2、投影面的平行面平行于一个投影面，垂直于其他两个投影面的平面
- 1）正平面2）水平面3）侧平面3、一般位置平面即不垂直也不平行于投影面的平面
- 一、平面的投影特性
第3页：正垂面的投影特性
正垂面的投影特性
- 与x、z轴的夹角反映α、γ角的真实大小(3)p、p″为平面P的类似形一、平面的投影特性
- 正垂面：只垂直于V面，倾斜于H面和W面的平面pp
- 投影特性：(1)V面投影积聚为一条线p
第4页：铅垂面的投影特性
铅垂面的投影特性
- 铅垂面：只垂直于H面，倾斜于V面和W面的平面投影特性：(1)H面投影积聚为一条线p(2)p与x、y轴的夹角反映β、γ角的真实大小(3)p
- 为平面P的类似形pβγp
- 一、平面的投影特性
第5页：侧垂面的投影特性
侧垂面的投影特性
- 侧垂面：只垂直于W面，倾斜于H面和V面的平面投影特性：(1)W面投影积聚为一条线p″(2)p″与x、y轴的夹角反映β、γ角的真实大小(3)p、p
- 为平面P的类似形p
- 一、平面的投影特性
第6页：正平面的投影特性
正平面的投影特性
- 正平面：只平行于V面，垂直于H面和W面的平面Pp
- 反映P的实形(2)H、W面投影积聚成直线(3)p
- 投影特性：(1)V面投影p
- 一、平面的投影特性
第7页：水平面的投影特性
水平面的投影特性
- 投影特性：(1)H面投影p反映P的实形(2)V、W面投影积聚成直线(3)p
- 水平面：只平行于H面，垂直于V面和W面的平面Pp
- 一、平面的投影特性
第8页：侧平面的投影特性
侧平面的投影特性
- 反映P的实形(2)V、H面投影积聚成直线(3)p
- 侧平面：只平行于W面，垂直于H面和V面的平面p
- 投影特性：(1)W面投影p
- 一、平面的投影特性
第9页：一般位置平面的投影
一般位置平面的投影
- 一般位置平面既没有垂直面的投影性质，也不具有平行面的投影性质投影特性：(1)一般平面的三面投影既不反映实形也没有积聚性
- (2)其三面投影均为空间平面的类似形，且面积缩小
第10页：空间平面判断练习
空间平面判断练习：正平面铅垂面侧平面正平面正垂面侧平面侧垂面一般位置平面一、平面的投影特性
第11页：点和直线在平面上的几何条件
点和直线在平面上的几何条件
- 点和直线在平面上的几何条件：1）若点在平面上，则该点一定在平面内的一条直线上
- 2）直线在平面上，则该直线必然通过平面上的两点，或经过平面上一点并平行于平面内的另一直线
- 二、平面上的点和线
第12页：平面上的取点作图
平面上的取点作图：点在平面上的几何条件：二、平面上的点和线
第13页：平面上的取直线作图
平面上的取直线作图
第14页：平面上取点取线的方法
平面上取点取线的方法
- 要在平面上取点，先要在平面上取线，然后在该直线上取点
- 反之，要在平面上取线，先要在平面上取点，然后通过该点在平面上作直线
- 例题二、平面上的点和线
第15页：平面上取点例题一
平面上取点例题一
第16页：完成五边形投影例题二
完成五边形投影例题二
- 举例例题2如图所示，已知五边形ABCDE平面的部分投影，试完成平面的水平投影。a
- 二、平面上取点和直线
第17页：平面上定点例题三
平面上定点例题三
- 例题3试在四边形ABCD平面内取一点K，使K点距离H面10mm、距V面为15mm，作出K点的两面投影。efk
- 二、平面上的点和线
第18页：第六节 线面的相对位置
第六节 线面的相对位置：第六节线面的相对位置ABCDabc(f)d(e)EFABCDabc(f)d(e)EFKkABCDabc(f)d(e)EFKk线面的相对位置是指直线与直线、直线与平面、平面与平面间的相对位置，即：平行、相交、垂直等问题，以及它们之间产生的交点、交线、距离、角度等关系。
第19页：直线与平面平行
直线与平面平行
- 该直线必平行于平面上的一条直线
- (反之，如果一直线与不包含该直线的平面内另一直线平行，那么该直线与平面平行)当平面垂直于投影面时
第20页：直线与平面相交
直线与平面相交
- 直线与平面相交若空间直线或平面其中之一与投影面垂直时，那么可利用积聚性的投影直接作图。
- 空间直线与平面相交产生交点，交点即是线面的共有点。xOg
第21页：一般位置线面交点的求法
一般位置线面交点的求法
- 求一般位置线、面交点的方法步骤：1）过直线作一辅助平面垂直于投影面
- 2）作出辅助平面与已知平面间的交线
- 3）求直线与两平面交线的投影共有点
- 4）利用重影点来判断可见性
- 若空间直线和平面都处于一般位置时，可利用辅助平面法求出交点
第22页：直线与平面垂直的几何条件
直线与平面垂直的几何条件
- 直线与平面垂直几何条件：如果空间直线与平面垂直，则该直线垂直于平面上的所有直线
- 反之，直线垂直平面上的任意两相交直线，则直线垂直于该平面
第23页：直线与垂直面垂直的投影
直线与垂直面垂直的投影：如果空间直线与投影面垂直面垂直，则该直线与平面在该投影面上的投影必然垂直。FGDf(e)ABabg(d)Exg
第24页：直线与一般位置平面垂直
直线与一般位置平面垂直
- 如果空间直线与一般位置平面垂直，则由直角投影定理可知该直线的水平投影一定垂直于该平面内水平线的水平投影
- 直线的正面投影必垂直于属于该平面内正平线的正面投影
- 直线与平面垂直
第25页：求线面交点例题五
求线面交点例题五：例题5求作直线EF与ABCD平面交点K的两面投影，并判断可见性。c
第26页：平面与平面平行
平面与平面平行
- 若空间两平面互相平行，则一平面内相交两直线必然与另一平面内的相交两直线对应平行
- 当两平面相互平行且又同时垂直于投影面时，则两平面的积聚性投影一定平行
- 1.平面与平面平行xOf
第27页：两平面相交
两平面相交
- 两平面相交空间平面和平面相交产生交线，交线即相交两平面的共有线
- 若空间两平面之一与投影面垂直时，那么可利用积聚性作出交线的投影
- 可见性由积聚性投影来判断
第28页：两平面垂直的几何条件
两平面垂直的几何条件
- 两平面垂直如果空间两平面相互垂直，过其中一平面上的任意点向第二个平面作的垂线，必定在第一个平面内
- 若空间直线与平面垂直，则包含直线作的所有平面都垂直于该平面
- DA二、线面的相对位置
第29页：两平面垂直的投影特性
两平面垂直的投影特性
- 两平面垂直若两个投影面垂直面相互垂直，则两平面在所垂直的投影面上的积聚性投影成直角
- 两个一般位置平面相互垂直，其中一个平面必然经过另一平面的垂线
第30页：综合作图例题六
综合作图例题六
- 例题6如图所示，试过空间点A作三角形平面，使
- 平面既平行于MN又垂直于DEFG平面n
- 三、线面综合问题分析
第31页：第七节 投影变换
第七节 投影变换：一、投影变换的概念二、点的换面规律三、换面法的基本作图第七节投影变换四、换面法的应用
第32页：投影变换的典型应用
投影变换的典型应用：两点之间距离a′abb′c′c三角形实形a′abb′c′cdd′直线与平面的交点a′abb′a′abb′c′ca′b′c′d′abdca′abb′c′cdd′a′b′c′d′abcd两平面夹角一、投影变换的概念
第33页：投影变换的基本方法
投影变换的基本方法
- 投影变换的基本方法空间几何要素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使空间几何要素对新投影面的相对位置变成有利于解题的特殊位置，然后找出其在新投影面上的投影
- 这种方法称为
第34页：新投影面的选择原则
新投影面的选择原则
- 新投影面必须满足下列两条原则：
- ①新投影面必须对空间几何元素处于有利于解题的特殊位置
- ②必须垂直于原有的一个投影面使之构成新的两面投影体系
第35页：点的换面规律
点的换面规律：二、点的换面规律
第36页：点的一次换面换V面
点的一次换面换V面
- 点的一次换面V1a1′X1X1V1a1′AVHXa1′X1HV1ax1VHXaa′ax点的换面规律：
- ①点的新投影与不变投影的连线垂直于新的投影轴
- ②新投影到新投影轴的距离等于被更换的投影到旧轴的距离
- 二、点的换面规律
第37页：点的一次换面换H面
点的一次换面换H面：点的一次换面H1X1aa′a1HVH1X1Va1VHXaa′AX二、点的换面规律
第38页：点的两次换面
点的两次换面
第39页：换面法的四个基本作图问题
换面法的四个基本作图问题
- 换面法中的四个基本作图问题，主要是解决将直线及平面变换成对投影面处于特殊位置的问题
- 在变换过程中必须遵循点的变换规律
- 三、换面法的基本作图
第40页：一般位置直线变换成平行线
一般位置直线变换成平行线
- 作图特点：
- ①新的投影轴必须平行于直线的一个投影，且可求出直线的实长和倾角
- ②求直线对某投影面的倾角，新投影轴必须平行于该投影面直线的投影VH1、一般位置直线变换成平行线
第41页：求直线对H面倾角β的变换
求直线对H面倾角β的变换
- 将一般位置直线变换成投影面平行线，并求出β角？X1H1Va1b1βaba
- 三、换面法的基本作图
第42页：平行线变换成垂直线
平行线变换成垂直线
- 作图特点：新投影轴必须与反映直线实长的投影垂直
- a1b1三、换面法的基本作图2、将平行线变换成垂直线
第43页：一般位置直线变换成垂直线
一般位置直线变换成垂直线：必须经过两次变换若将一般位置的直线变换成投影面垂直线三、换面法的基本作图
第44页：两次换面的作图过程
两次换面的作图过程：两次变换的作图三、换面法的基本作图
第45页：一般位置平面变换成垂直面
一般位置平面变换成垂直面
- 作图特点:
- ①取投影面的平行线，使新投影轴垂直于直线实长的投影
- ②若求平面对此投影面的倾角，必须取该投影面的平行线
- 三、换面法的基本作图3、将一般位置平面变换成垂直面
第46页：垂直面变换成平行面
垂直面变换成平行面
- 作图特点：新的投影轴必须和平面有积聚性的投影相平行。V1X1c1
- 三、换面法的基本作图4、将垂直面变换成投影面的平行面
第47页：垂直面变换成平行面的作图过程
垂直面变换成平行面的作图过程：变换的作图过程三、换面法的基本作图
第48页：一般位置平面变换成平行面
一般位置平面变换成平行面：必须经过两次变换db1a1c1d1X1H1Va2′c2′b2′d2X2V2H1实形abca′b′c′d′三、换面法的基本作图如何将一般位置平面变换成投影面平行面
第49页：换面法的应用概述
换面法的应用概述
- 应用换面法解题时，首先分析空间几何元素间的相互关系及位置，使几何元素处于何种位置时，才有利于解题，然后确定换面的具体步骤，应用上面的基本方法进行图解
- 下面展示了特殊位置的几何元素的投影，可直接反映其空间距离、角度等关系
- 四、换面法的应用
第50页：换面法应用实例概览
换面法应用实例概览：例题1例题2例题3例题4四、换面法的应用
第51页：求多边形正面投影例题一
求多边形正面投影例题一
- 试完成多边形的正面投影。xOabcdefa
- 已知多边形ABCDEF对H面的倾角α
- 四、换面法的应用
第52页：点到直线距离例题二
点到直线距离例题二
- 已知C与直线AB的投影，求点C到AB直线间的距离。c
- 空间分析四、换面法的应用
第53页：交叉两直线最短距离例题三
交叉两直线最短距离例题三
- 求交叉两直线AB和CD间的最短距离EF，如图所示。e
- 四、换面法的应用
第54页：本章完
本章完：本章完ABCDabcdWOxVyza
