15 第15章 运动学基础.pptx

第1页：第十五章运动学基础封面

第十五章运动学基础

第2页：前面各章研究的都是处于平衡状态的物体

前面各章研究的都是处于平衡状态的物体。

本章介绍物体运动时其位置的变化规律以及运动状态与作用力之间关系。

包括

点和刚体运动的描述；点的速度、加速度以及刚体的角速度和角加速度的计算；点的运动微分方程和刚体定轴转动微分方程；动能定理；动静法

第3页：§15-1 一、点的运动

点和刚体的运动rrtr=r()运动方程单位m/s速度drdtv==rrrr&vm/s2单位=&r&rr&=d2rr=drv=ra加速度dt2dt§15-1一、点的运动1、矢径法

第4页：矢端曲线速度矢径矢端曲线切线加速度速度矢

矢端曲线速度矢径矢端曲线切线加速度速度矢端曲线切线

本页以图示为主，源文件未提取到更多文字说明。

第5页：直角坐标法运动方程

直角坐标与矢径坐标之间的关系r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)krrrx=x(t)y=y(t)z=z(t)运动学基础2、直角坐标法运动方程

第6页：点的运动公式推导

vx=dxdtvy=dydtvz=dzdtv==i+j+k=vxi+vyj+vzkdtdtdtdtrrrrrrrrdrdxdydz运动学基础速度

第7页：点的运动公式推导

dvyd2yay=dt=dt2az=dvz=d2zdtdt2dvxd2xax=dt=dt2运动学基础加速度yxzxyzdvdvdta==i+dtdtdt+aj+akrrrdvrrj+k=airrrdv

第8页：例1 ①M点的运动方程

例1椭圆规的曲柄OC可绕定轴O转动，其端点C与规尺AB的中点以铰链相连接，而规尺A，B两端分别在相互垂直的滑槽中运动。

已知：OC=AC=BC=l,MC=a,φ=ωt。

求：①M点的运动方程；②轨迹；③速度；④加速度。

第9页：例1 点M作曲线运动

例1点M作曲线运动，取坐标系Oxy如图所示。

运动方程x=(OC+CM)cosφ=(l+a)cosωty=AMsinφ=(l−a)sinωt=1+消去t,得轨迹x2y2(l+a）2(l−a)2解

第10页：例1 点的运动算例

例1速度vx=x&=−(l+a)ωsinωtvxl2(l+a)sinωtcos(v,i)==−rrvvyv+a2−2alcos2ωt(l−a)cosωtcos(v,j)==l2+a2−2alcos2ωtrrvy=y&=(l−a)ωcosωtv=v2+v2=(l+a)2ω2sin2ωt+(l−a)2ω2cos2ωtxy=ωl2+a2−2alcos2ωt

第11页：例1 点的运动算例

例1加速度xxωcosωt2=x=−(l+a)a=v&&&yyωsinωt2y=−(l−a)=a=v&&&yxa2(l+a)2ω4cos2ωt+(l−a）2ω4sin2ωt+a2=a=l2=ω2+a2+2alcos2ωtax(l+a)cosωtcos(a,i)==−rraayal2l2+a2+2alcos2ωt(l−a)sinωtcos(a,j)==−+a2+2alcos2ωtrr

第12页：利用它们描述和分析点的运动的方法

s=f(t)弧坐标副法线单位矢量b=τr×nrτ切向单位矢量n主法线单位矢量自然轴系运动学基础3、自然法自然法：利用点的运动轨迹建立弧坐标和自然轴系，利用它们描述和分析点的运动的方法。

第13页：点的运动公式推导

dsds===dτrdτrdφdφ1dsdφρ因为方向同nds13n=ρrdτr所以

第14页：点的运动公式推导

drdrdsdtdtv===τ=vτrrrdsrr运动学基础速度dsdtdvdtdtdtdτa==τ+vrrrdvr加速度dtdsdtρ==ndτrdτrdsvr代入rdvrv2rrra=τ+n=aτ+andtρtn14则

第15页：点的运动公式推导

dvd2sat=dt=dt2—切向加速度nv2ρρdt1(ds)2a==—法向加速度a=a2+a2tn曲线匀速运动at=0,v=v0=常数,s=s0+v0t曲线匀变速运动2t0t00ta=常数,v=v+at,s=s+vt+1at

第16页：思考：点的加速度a为恒矢量

思考：

1. 当点作曲线运动时，点的加速度a为恒矢量。问点是否作匀变速运动？答：点的加速度为恒矢量，但切向加速度不一定不变，所以不一定是匀变速运动。

第17页：例2 点运动轨迹的曲率半径

由点M的运动方程，得ax=&x&=−32sin4tay=&y&=−32cos4tvx=x&=8cos4t,vy=y&=−8sin4t,vz=z&=4,a=&z&=0zxyza2+a2+a2=32ms2从而v=v2+v2+v2=80ms,a=xyztndvdt而a==0,a=a=32ms2v217an故ρ==2.5m例2已知点的运动方程为x=2sin4tm，y=2cos4tm，z=4tm。

求：点运动轨迹的曲率半径。

解

第18页：这种运动称为平行移动

二、刚体的平移和转动1、刚体的平移刚体内任一直线在运动过程中始终平行于初始位置，这种运动称为平行移动，简称平移。

第19页：点的运动公式推导

rdrBdrArvB=dt=dt=vArdvBdvAraB=dt=dt=aA刚体平移→点的运动运动学基础运动方程rrrB=rA+AB速度和加速度分布d(AB)dt=0uuur因为所以

第20页：则这种运动称为刚体绕定轴转动

刚体绕定轴的转动刚体上(或其扩展部分)两点保持不动，则这种运动称为刚体绕定轴转动，简称刚体的转动。

转轴

两点连线转角：φ运动方程φ=f(t)单位:弧度(rad)

第21页：点的运动公式推导

角速度dtdφφ{ω=ddt}∑大小：∑方向：逆时针为正dtdt2dωd2φα===ω&=φ&&角加速度dtα=dω=0φ=φ0+ωt匀速转动0212dtαtα=dω=contω=ω+αtφ=φ0+ω0t+匀变速转动

第22页：点的运动公式推导

ω2tv212an=ρ=R(Rω)=Rdta=dv=&s&=Rα运动学基础转动刚体内各点的速度和加速度点的运动方程s=Rφ速度v=s&=Rφ&=Rω加速度

第23页：速度与加速度分布图v=Rωnaω2tan

速度与加速度分布图v=Rωnaω2tanθ=at=αtna2a=+a2=Rα2+ω

第24页：思考：各点都作圆周运动的刚体一

思考：

1. 各点都作圆周运动的刚体一定是定轴转动吗？答：不一定。刚体绕定轴转动时，角加速度为正，表示加速转动，对吗？答：不对，应考虑角速度的转向。

第25页：点的合成运动

三、点的合成运动1、点的合成运动的概念相对某一参考体的运动可由相对于其他参考体的几个运动的组合而成-合成运动。

车刀刀尖的运动相对地面：直线运动相对工件：曲线运动（螺旋运动）工件相对地面：定轴转动

第26页：两个坐标系定坐标系（定系）动坐标系（动系

两个坐标系定坐标系（定系）动坐标系（动系）三种运动绝对运动：动点相对于定系的运动。

相对运动

动点相对于动系的运动

牵连运动

动系相对于定系的运动

第27页：绝对轨迹绝对速度绝对加速度varaarr

绝对轨迹绝对速度绝对加速度varaarrvrarr相对轨迹相对速度相对加速度在动参考系上与动点相重合的那一点（牵连点）的速度和加速度称为动点的牵连速度和牵连加速度。

rr牵连速度ve和牵连加速度ae

第28页：思考：已知

思考：

1. 已知：ω,α，小球的相对速度u，OM=l。求：牵连速度和牵连加速度

第29页：点的运动公式推导

′rrrr'=xi'+y′j'+z′k'运动学基础2、点的速度合成定理定系：Ｏxyz，动系：O'x'y'z'，动点：ＭrrrrM=rO′+r'29rrrM=rM′M'为牵连点

第30页：点的运动公式推导

rdt%rrrrrv=dr'=x&′i'+y&′j'+z&′k'dtve==rO′+xi'+y′j'+z′k'rrdrM′r&′r&r&r&vadtrrrrrrrr=drM=rr&+x′i&'+y′&j'+z′&+x&′i'+y&′j'+z&′k'O′k'导数上加“～”表示相对导数。

va=ve+vrrrr点的速度合成定理：动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。

第31页：例3 曲柄在水平位置时摇杆的角速度

例3刨床的急回机构如图所示。

曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接。

当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B绕定轴O1摆动。

设曲柄长为OA=r，两轴间距离OO1=l。

求：曲柄在水平位置时摇杆的角速度ω1。

第32页：例3 绝对运动-绕O点的圆周运动

1. 3
2. 1、动点：滑块A动系：摇杆
3. 2、运动分析：O1B解

第33页：例4 在图示位置时

例4如图所示半径为R、偏心距为e的凸轮，以角速度ω绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。

求：在图示位置时，杆AB的速度。

第34页：例41 动点：AB杆上A动系：凸轮2

1. 41、动点：AB杆上A动系：凸轮
2. 2、绝对运动：直线运动（AB）相对运动：圆周运动（半径R）rrr
3. 3、va=ve+vr大小?ω·OA?方向√√√解

第35页：例5 矿砂相对于传送带B的速度

例5矿砂从传送带A落入到另一传送带B上，如图所示。

站，方向与铅直线在地面上观察矿砂下落的速度为v1=4ms成300角。

已知传送带B水平传动速度v2=3ms。

求：矿砂相对于传送带B的速度。

第36页：例51 动点：矿砂M动系：传送带Br

1. 51、动点：矿砂M动系：传送带Brr
2. 2、绝对运动：直线运动（v1）牵连运动：平移（v2）相对运动：未知rrr
3. 3、va=ve+vr大小v1v2?方向√√?a36r+v2−2vvcos60ο=
4. 3.6mseaev2v=解

第37页：例6 当连线OM在水平位置时

例6圆盘半径为R，以角速度ω1绕水平轴CD转动，支承CD的框架又以角速度ω2绕铅直的AB轴转动，如图所示。

圆盘垂直于CD，圆心在CD与AB的交点O处。

求：当连线OM在水平位置时，圆盘边缘上的点M的绝对速度。

第38页：例61 动点：M点2、绝对运动：未知

1. 3、va=ve+vr大小?Rω2Rω1方向?√√例
2. 61、动点：M点
3. 2、绝对运动：未知动系：框架BACD解

第39页：这种运动称为平面运动

在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离，这种运动称为平面运动。

39四、刚体的平面运动1、平面运动的概念

第40页：平面运动简化为平面图形在其自身平面内的运

平面运动简化为平面图形在其自身平面内的运动。

()23tO′运动方程{xO′=f1(t)∑y=f(t)∑φ=f}

第41页：+平面运动可取任意基点而分解为平移和转动

+平面运动可取任意基点而分解为平移和转动，其中平移的速度和加速度与基点的选择有关，而平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关。

41运动学基础2、平面运动的分解O′x′y′−平移坐标系平面运动=随O′x′y′的平移+绕O′点的转动

第42页：平面图形上各点的速度基点法动点

平面图形上各点的速度基点法动点：MvMvevr42rvO′+ω×O′Mr=r+r=r(平移坐标系)动系：O′x′y′绝对运动：待求相对运动：绕O′点的圆周运动牵连运动：平移

第43页：点的运动公式推导

任意A，B两点BABAv=v+vrrr其中43rvBA=uuur{∑大小vBA=AB·ω∑}方向垂直于AB，指向同ω平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。

第44页：例7 B端的速度以及尺AB的角速度

例7椭圆规尺的A端以速度vA沿x轴的负向运动，如图所示，AB=l。

求：B端的速度以及尺AB的角速度。

第45页：例71 AB作平面运动基点

1. 71、AB作平面运动基点：ABAvAsinφv=ωvAllsinφAB==vBAr=rr
2. 2、vBvA+vBA大小？vA?方向vB=vAcotφ解

第46页：例8 此瞬时杆DE的角速度和杆BD

例8如图所示平面机构中，AB=BD= DE=l=300mm。

在图示位置时，BD∥AE，杆AB的角速度为ω=5rad/s。

求：此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C的速度。

第47页：例81 BD作平面运动基点

1. 81、BD作平面运动基点：BvD=vDB=vB=ωlDEω=vD=vB=ω=5radsBDBDlωDEl=vDB=vB=ω=5radsr=rr
2. 2、vDvB+vDB大小？ωl?方向解CBCBv2v=−v2≈
3. 1.299ms方向沿BD杆向右
4. 3、vr=r+rCvBvCB大小？ωlωBDl2方向?

第48页：例9 当Ｂ点的速度

例9。

如曲柄OA曲柄连杆机构如图所示，OA=r,AB=以匀角速度ω转动。

3r求：当Ｂ点的速度。

第49页：例9解

1. 1、AB作平面运动基点：A=0vBA=ωr,3ωr3r=rr
2. 2、vBvA+vBA大小？ωr?方向φ=60οvB=vAφ=0οφ=90οvB=vAcos30ο=2vB=

第50页：例10 轮Ⅱ的角速度ωⅡ及其上B

例10如图所示的行星轮系中，大齿轮Ⅰ固定，半径为r1，行星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚而不滑动，半径为r2。

系杆OA角速度。

为ωO求

轮Ⅱ的角速度ωⅡ及其上B，C两点的速度

第51页：例101、轮Ⅱ作平面运动基点

1. 01、轮Ⅱ作平面运动基点：AvDA=vA=ωO(r1+r2)12DArDAr()ω=v=vA=ω1+OrⅡ=rr
2. 2、vrv+v=0DADA解v251O12BAAB+v2=v=2ω(r+r)vB=vA+rrr2vBAωⅡr2方向大小？ωO(r1+r2)
3. 3、O12vC=vA+vCA=2ω(r+r)
4. 4、vr=r+rCvAvCA

第52页：速度投影法同一平面图形上任意两点的速度在

速度投影法同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等--速度投影定理。

()()BAABABv=vrrrrr由vB=vA+vBA沿AB连线方向上投影

第53页：例11 此瞬时点E的速度

例11如图所示的平面机构中，曲柄OA长100mm，以角速度ω=2rad/s转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E沿水平面纯滚动。

已知：CD=3CB，图示位置时A，B，E三点恰在一水平线上，且CD⊥ED。

求：此瞬时点E的速度。

第54页：点的运动公式推导

1. 11、AB作平面运动AB(vB)rr=（vA）ABοvBcos30=ω·OAcos30οBv=ω·OA=
2. 0.2309ms解
3. 2、CD作定轴转动，转动轴：CCBvvD=B·CD=3vB=
4. 0.6928ms
5. 3、DE作平面运动DE54EDE(vE)vDv==
6. 0.8msvcos30o=vcos30orr=（vD）DE

第55页：速度瞬心法只要ω≠0，任一瞬时平面图形上

速度瞬心法只要ω≠0，任一瞬时平面图形上都唯一存在一个速度等于零的点。

某一瞬时平面图形上速度等于零的点，称为图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心。

唯一性

在某一瞬时，图形只有一个速度瞬心

瞬时性

在不同瞬时，图形具有不同的速度瞬心

选取速度瞬心P为基点，则平面图形上任一点A的速度vA=vP+vAP=vAPrrrrPAvA55rBvBr大小：ω·AP方向：^AP，指向与ω转向相一致。

第56页：过速度瞬心P的任一直线上各点的速度分布

过速度瞬心P的任一直线上各点的速度分布—与图形绕定轴转动时的速度分布类似。

就速度分布而言，平面图形的运动可视为绕该瞬时的速度瞬心作瞬时转动。

PS

第57页：S运动学基础速度瞬心位置的确定vAvBP

S运动学基础速度瞬心位置的确定vAvBPABSAvAP已知平面图形上任意两点A、B的速度方向。

已知平面图形上一点A的速度vA和图形r角速度ω。

速度瞬心P

过点A作的垂线，并取

vvAArωAP=vA速度瞬心P：两垂线之交点。

过A、B两点分别作速度vA、vB的垂线，rrvAω

第58页：并且速度方向不垂直于两点的连线

已知平面图形上任意两点A、B的速度相互平行，并且速度方向不垂直于两点的连线AB。

SAvABvB速度瞬心P：在无穷远处此时图形作瞬时平移。

ω=vA=0∞图形内任一点的速度rrvM=vA

第59页：并且速度方向垂直于两点的连线

已知平面图形上任意两点A、B的速度相互平行，并且速度方向垂直于两点的连线AB。

速度瞬心P

在Ａ、Ｂ连线和速度末端连线的交点

第60页：SP运动学基础已知平面图形沿固定面作无滑

SP运动学基础已知平面图形沿固定面作无滑动的滚动（纯滚动）。

平面图形与固定面的接触点。

速度瞬心P：

第61页：例12 用瞬心法求B端的速度以及尺A

例12椭圆规尺的A端以速度vA沿x轴的负向运动，如图所示，AB=l。

求：用瞬心法求B端的速度以及尺AB的角速度。

AB作平面运动，速度瞬心为点C。

ωAB==vAvAAClsinφvB=ωAB·BC=vAcotφ解

第62页：例13 当机构在图示位置时

例13矿石轧碎机的活动夹板长600mm，由曲柄OE借连杆组带动，使它绕A轴摆动，如图所示。

曲柄OE长100mm，角速度为10rad/s。

连杆组由杆BG，GD和GE组成，杆BG和GD各长500mm。

求：当机构在图示位置时，夹板AB的角速度。

第63页：点的运动

1. 0.2968radsωvG=ωGE·GC1=
2. 1.066mssin1501=3591mmOGGC=
3. 1、杆GE作平面运动，瞬心为C1。OG=800mm+500mmsin15o=9
4. 29.4mmEC1=OC1−OE=3369mm解

第64页：例132、杆BG作平面运动，瞬心为

1. 32、杆BG作平面运动，瞬心为C。BGGCω=vGBBGGGGCv=ω·BC=v·BC=vcos60o=
2. 0.888rads=AB=vvcos60GABBABοω

第65页：§15-2 刚体定轴转动微分方程

§15-2刚体定轴转动微分方程一、质点的运动微分方程第一定律(惯性定律)不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。

第二定律（力与加速度之间关系定律）ma=Frr第三定律(作用与反作用定律)两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向相反,沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。

第66页：刚体定轴转动微分方程公式推导

d2xd2yd2zm=∑F,m=∑F,m=∑Fdt2xdt2ydt2zidt2ma=∑Fimdr=∑Fr2rr或66运动学基础质点动力学第二定律-矢量形式的质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影

第67页：质点动力学的两类基本问题第一类问题

质点动力学的两类基本问题第一类问题：已知运动求力.第二类问题：已知力求运动.混合问题：第一类与第二类问题的混合.运动学基础在自然轴上的投影由有rrra=atτ+ann,ab=0v267mat=∑Ft,mρ=∑Fn,0=∑Fb

第68页：逆时针为正

∑miωriri=ω∑miriJ=∑mr2zii--转动惯量Lz=Jzω二、定轴转动刚体对转轴的动量矩对点O的动量矩M(rrrOmv)=r×mv对z轴的动量矩M(mr)=M((mr))zvO(vxy)代数量,从z轴正向看,逆时针为正,顺时针为负.Lz=∑Mz(mivi)=∑mivirimvrMO(mv)ρM(mv)z质点的动量

第69页：质点的动量矩定理设O为定点

M(mv)=(r×mv)dtOdtrdrdrrv)drdtd(mt·m+r×drr运动学基础三、质点的动量矩定理设O为定点,有dOOdtM(mv)=M(F)rrrrFrv0=v质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数,等于作用力对同一点的矩.--质点的动量矩定理ddtMx(mv)=Mx(F)rrM(mv)=M(F)dtyyrdrM(mv)=M(F)dtzz69rdr投影式:

第70页：刚体定轴转动微分方程公式推导

∑dM(mv)=∑M(mv)=dtOiidtOiidtrrrdrdLO(e))OidLOdtrr=∑M(F质点系对某定点O的动量矩对时间的导数,等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和.M(mv)=M(F)+M(F)dtOiiOiOirrrrr(i)(e)drOiiO(idt∑d)+∑MO(Fi)rrM(mv)=∑MFr(i)rr(e)r运动学基础四、质点系的动量矩定理0--质点系的动量矩定理70(e)xxidLdt=∑M(F)r(e)yyidL=∑M(F)r投影式:(e))zzidtdLdt=∑M(Fr

第71页：刚体对轴的转动惯量

1. 1.简单形状物体的转动惯量计算
2. (1)均质细直杆对一端的转动惯量20l3llzρl3ρxdx=J=∫3zJ=1ml2由m=ρll，得

第72页：刚体定轴转动微分方程公式推导

1. （2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量
2. （3）均质圆板对中心轴的转动惯量mi=2πridri·ρAAmπR2=式中：ρ2OJ=1mR2或

第73页：刚体定轴转动微分方程公式推导

回转半径mJzzρ=2zzJ=mρ或2CJz=Jz+md3.平行轴定理式中zC轴为过质心且与z轴平行的轴，d为z与zC轴之间的距离。

即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积

第74页：刚体定轴转动微分方程

1. 4.组合法已知：杆长为l质量为m1，圆盘半径为d，质量为m
2. 2.JO=JO杆+JO盘3J=1ml2O杆222)22ddm(l+J=1m()+22O盘8322+ld)=m(d+l283132212Oml+m(d+l2+ld)J=解

第75页：实验法将曲柄悬挂在轴O上

实验法将曲柄悬挂在轴O上，作微幅摆动.mglJT=2π由其中m,l已知,T可测得，从而求得J

第76页：刚体绕定轴的转动微分方程

六、刚体绕定轴的转动微分方程F1,F2,LL,Fn主动力:约束力:dtd(Jω)=∑M(r)+∑M(F)zzFizNir=∑Mz(Fi)zJdωdt=∑Mz(Fi)r即:Jzα=∑Mz(F)或Jzd2φdt2=∑Mz(F)r或转动微分方程FN,FN

第77页：例14 求：制动所需时间

求：制动所需时间t.例14

已知：JO,ω0,FN,R，动滑动摩擦因数。f000tOfFNRdt−ωJdω=∫∫t=JOω0fFNRNOdtJdω=FR=fFR解

第78页：§15-3 动能定理

1. 1、常力在直线运动中的功ρW=Fcosθ·s=F·s
2. 2、变力在曲线运动中的功元功δW=Fcosθ·ds

第79页：重力的功质点系重力的功只与始

dr=dxi+Fzk+dzkrF=Fxi+Fyj+dyjrrrrrr记δW=Fxdx+Fydy+Fzdz1112MMW=∫M2δW=∫M2F·drr3、重力的功质点系重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。

=mg(zC1−zC2)ΣW12W=∫z2−mgdz=mg(z−z)12z112质点

第80页：弹性力的功弹簧刚度系数k(N/m)弹性力

弹性力的功弹簧刚度系数k(N/m)弹性力的功为2)22112(δ−δk2W==r2−l080δ1=r1−l0,δ2弹性力的功也与路径无关

第81页：动能定理公式推导

2112zφMdφW=∫运动学基础5、定轴转动刚物体上作用力的功W12=Mz(φ2−φ1)则若Mz=常量ttδW=F·drr=Fds=FRdφ由Mz=FtRδW=Mzdφ从角φ1转动到角φ2过程中力F的功为φ

第82页：力系全部力的元功之和为=δW=∑δWi∑

力系全部力的元功之和为=δW=∑δWi∑rrr运动学基础6、平面运动刚体上力系的功作用在Mi点的力Fi的元功为idrC+F·driCδW=F·dr=F·iiriirriiCiF·driC=Fcosθ·MC·dφ=M(F)dφr=FR′⋅+MCr主矢drC主矩dφ~C2当质心由C1Fi·drC+∑MC(Fi)dφ,转角由φ1~φ2时,力系的功为1112C2Cφ2φMCdφW=FR·drC+∫∫r′r

第83页：例15 O走过S路程时力的功

例15

已知:均质圆盘R,m,F=常量,且很大,使O向右运动,f,初静止。

求:O走过S路程时力的功。

第84页：不是受力作用点的位移

1. 51、摩擦力Fd的功W≠Fds,s是力在空间的位移，不是受力作用点的位移.解dddR∑W=(F−F)s−FR·s=Fs−2Fs不作功的力可不考虑,因此亦可如下计算:R∑W=(F−F−F)s+(FR−FR)sTdTd=Fs−2Fds=Fs−2mgfsW=Fs−2Fds=Fs−2mgfs
2. 2、可将力系向点O简化，即

第85页：质点和质点系的动能

1. 2、质点系的动能
2. 1、质点的动能T=1mv22平移刚体的动能∑=mvmvT=iiC∑2i21212122CmvT=即22222121212iimr∑iiii∑∑=mv=T=ωmωr定轴转动刚体的动能212zJωT=即

第86页：动能定理公式推导

21212PCJωT==(J+md2)ω2221212CCJωmv+T=得运动学基础平面运动刚体的动能速度瞬心为P平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能之和.上面结论也适用于刚体的任意运动

第87页：动能定理

vdt=drFdtmdv=r将两端点乘,rrr1r运动学基础三、动能定理1、质点的动能定理d(1mv2)=δW2因此mvdv=F·drr·rr得质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。

mv·dv=d(mv2),F·dr=δW2--质点动能定理的微分形式2112221mv2−1mv2=W--质点动能定理的积分形式在质点运动的某个过程中,质点动能的改变量等于作用87于质点的力作的功

第88页：等于作用于质点系全部力所作的元功的和

质点系的动能定理质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和.由2iiid(1mv2)=δW2iiid(1mv2)=δW∑∑dT=∑δWi得--质点系动能定理的微分形式T2−T1=∑Wi--质点系动能定理的积分形式88质点系在某一段运动过程中,起点和终点的动能改变量,等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和

第89页：思考：当轮子在固定面只滚不滑时

思考：

1. 当轮子在固定面只滚不滑时，接触处是否为理想约束？

第90页：已知

已知:m,h,k,其它质量不计.δmax

求:例1690

第91页：例16 动能定理算例

例16解T1=0,T2=0max20−0=mg(h+δ)−kδ2maxm2g2max+2kmgh=mg+1kkδ

第92页：例17 轮心C走过路程s时的速度和加

例17

已知：轮O：R1，m1,质量分布在轮缘上;均质轮C：R2，m2，纯滚动,初始静止;θ,M为常力偶。

求:轮心C走过路程s时的速度和加速度

第93页：动能定理公式推导

例172222211122212222(mR)(m2R2)ωT=ω+1mv2+11轮C与轮O共同作为一个质点系W12=Mφ−m2gssinθT1=0解193212CCvvRRω=,ω=W12=T2−T

第94页：例17 动能定理算例

例17R1φ=sC(M−m2gR1sinθ)sv=2R1(2m1+3m2)22C4vMφ−mgssinθ=(2m1+3m2)(a)式(a)是函数关系式，两端对t求导,得112CC2C2R1(2m+3m)va=MvC−mgvsinθC94a=2(M−m2gR1sinθ)(2m1+3m2)R

第95页：杆重不计

70°=29°

已知:冲击试验机m=18kg,l=840mm,杆重不计，在φ1时静止释放，冲断试件后摆至φ2

求:冲断试件需用的能量。例1895

第96页：例18 动能定理算例

Wk=78.92J得冲断试件需要的能量为例18T1=0,T2=00−0=mgl(1−cosφ1)−mgl(1−cosφ2)−Wk解kkWAα=冲击韧度：衡量材料抵抗冲击能力的指标。

第97页：已知

已知:均质圆盘R,m,F=常量,且很大,使O向右运动,f,初静止。

求:O走过S路程时ω，α。97例

第98页：例19 动能定理算例

例19v0=ωR1T=0圆盘速度瞬心为C22201341mR2mvT2=2mv0+2(2)ω=解∑W=Fs−2mgfs∑W=T2−T104SFs−2mgfs=3mv2(a)

第99页：动能定理公式推导

例1903mv=2s(F−2mgf)将式(a)两端对t求导,并利用ω=v0,α=a0,rr03ma=2(F−2mgf)得04SFs−2mgfs=3mv2(a)

第100页：例20 l,M=常量,纯滚动,处于1

l,M=常量,纯滚动,处于100

求:O1O2转过φ角的ω,α例20

已知:r1,m1均质;杆m均质,O1O2水平面内,初始静止

第101页：例20 动能定理算例

T1=0=1(m+3m1)l2ω2232例20研究整个系统1101101rrυωl=)(υ=ωl,ω=2121012112212321mr21ml2+()ωT=()ω2+mυ解W=MφT2−T1=∑WMφ=1(m+3m1)l2ω2232(a)1101(2m+9m)l2ω=16M(2m+9m)l212Mφ求导得α=

第102页：§15-4 动静法

§15-4动静法一、惯性力·质点的达朗贝尔原理Nma=F+FNF+F−ma=0有令FI=−ma惯性力F+FN+FI=0NFFmaFIm--质点的达朗贝尔原理作用在质点的主动力、约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系

第103页：已知

1. 0.1kg,l=
2. 0.3m,θ=60ο求:v,FT.例

第104页：例21 动力学问题

1. 1.96NmgcosθF=T∑F=0,bFcosθ−mg=0mgFIFT应用静力学写平衡方程的方法求解动力学问题，这种方法称为动静法。v2FI=man=mlsinθmg+FT+FI=02=
2. 2.1m/sTmv=Flsinθ∑F=0,nFsinθ−F=0TI

第105页：质点系的达朗贝尔原理记iF(e)为作用于

二、质点系的达朗贝尔原理记iF(e)为作用于第i个质点上质点系外部物体的作用力.iF(i)为作用于第i个质点上质点系内部的力.Fi+FNi+FIi=0i=1,2,Λ,n--质点系的达朗贝尔原理质点系中每个质点上作用的主动力,约束力和惯性力在形式上组成平衡力系.F+F(e)+F(i)=0i=1,2,Λ,niii

第106页：已知

已知:如图所示,定滑轮的半径为r,质量为m均匀分布在轮缘上,绕水平轴Ｏ转动.垮过滑轮的无重绳的两端挂有质量为m1和m2的重物(m1>m2),绳与轮间不打滑,轴承摩擦忽略不计。

求:重物的加速度.例

第107页：例22 动静法算例

例22解FI2=m2aFI1=m1a,tFIi=mirα=mia,∑MO=0,(m1g−m1a−m2g−m2a)r−∑miar=0由∑miar=(∑mi)ar=mar解得a=gm+m+m21m1−m2nv2FIir=miI1FFI2IiFtIiFn

第108页：动静法公式推导

()eIRiF=−∑∑r=−miai=−maCr只简化为一个力=−maCFIR惯性力系向质心简化.MIC=01.刚体平移惯性力系向点O简化.MIOri×FIi=ri×(−miaC)=−(miri)×aC=−mrC×aC∑=∑r∑rrrrrr三、刚体惯性力系的简化方法：向一点简化。

主矢

F平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力，其大小1等08于刚体的质量与加速度的乘积，合力的方向与加速度方向反向

OCaCiaCIiFrCir

第109页：动静法公式推导

iitiitF=ma=mrαIi2iiIiFn=man=mrω()()(ii)tnIxxIixIixIiMFMFM=F=M+∑∑∑2iiiiiiii∑(−mrωsinθz)=∑mrαcosθz+2.刚体定轴转动IiFtOxyIiFnxiiyθiriyixiizzyxIiFnIiOFt

第110页：对于z轴的惯性积

iiiiiiryrx,sinθ=cosθ=∑∑iiiiii2Ixmxz−ωmyzM=α2IxxzyzM=Jα−Jω同理2IyM=Jα+Jωyzxz∑∑2iiiiiiiiIxM=sinθz)(−mrωmrαcosθz+Jyz=∑miyiziJxz=∑mixizi--对于z轴的惯性积.IiFtOxyIi110Fnxiiyθi

第111页：简化中心取此平面与转轴的交点

IOIxM=Mi+Mj+Mkrr如果刚体有质量对称面且该面与转动轴垂直,简化中心取此平面与转轴的交点,则Jxz=∑mixizi=0,Jyz=∑miyizi=0M=M=−JαIOIzz()()()Iyiz2tnIzzIizIizMFMFmrM=+=−mrαr=−α=−Jα∑∑∑∑iiriiyxiiziiziyxIiFnIiOFtOaCrCαMIOFIR

第112页：思考：转轴不通过质心

思考：

1. 1、刚体匀速转动，转轴不通过质心。ρF=−maCIR作用点在转轴上。
2. 2、转轴通过质心，但α≠0。M=−JαIOO
3. 3、刚体作匀速转动，且转轴通过质心。=0,MIO=0112FIR

第113页：刚体作平面运动（平行于质量对称面）向质心

刚体作平面运动（平行于质量对称面）向质心简化随同质心平移运动绕质心转动CaCrαIRFICMMICMIC=0=−JCαMIC=−JCα

第114页：例23 惯性力系向点Ｏ简化的结果(方

例23

已知:如图所示均质杆的质量为m,长为l,绕定轴O转动的角速度为,角加速度为.

求:惯性力系向点Ｏ简化的结果(方向在图上画出)

第115页：思考：向质心C简化结果如何？

思考：

1. 向质心C简化结果如何？

第116页：例24 基础与地角螺钉给电动机总的约

例24

已知:如图所示,电动机定子及其外壳总质量为m1,质心位于O处.转子的质量为m2,质心位于Ｃ处,偏心矩ＯＣ=e,图示平面为转子的质量对称面.电动机用地角螺钉固定水平基础上,轴O与水平基础间的距离为h.运动开始时,转子质心Ｃ位于最低位置,转子以匀角速度ω转动.

求:基础与地角螺钉给电动机总的约束力

第117页：例24 动静法算例

例24解2IF=meωFx+FIsinφ=0∑Fx=0,因得φ=ωt,2x2ωsinωtF=−me2y122g+meωcosωtF=(m+m)ωhsinωt222M=mgesinωt+me∑Fy=0,Fy−(m1+m2)g−FIcosφ=0∑MA=0,M−m2gesinφ−FIhsinφ=0117

第118页：已知

已知：如图所示,电动绞车安装在梁上,梁的两端搁在支座上,绞车与梁共重为P.绞盘半径为R,与电机转子固结在一起,转动惯量为J,质心位于O处.绞车以加速度a提升质量为m的重物,其它尺寸如图.

求：支座A，B受到的附加约束力.例25118

第119页：例25 动静法算例

解例25FI=maR+(mla+J)F=A221l1+l2l+lmgl+Pl32RM=Jα=JaIO+Pl3+MIO−FA(l1+l2)=0∑MB=0mgl2+FIl2∑Fy=0FA+FB−mg−P−FI=0R(ml−J)FB1l1+l2l1+l2=mgl1+P(l1+l2−l3)+a静约束力AFBFFIMIO

第120页：例25附加约束力为R(ml+

例25附加约束力为R(ml+J)l+laF′=A221120R(ml−J)l+laF′=B

第121页：已知

已知：均质圆盘m1,R,纯滚动.均质杆l=2R,m2.

求：F多大,能使杆B端刚好离开地面?纯滚动的条件?B121例

第122页：例26 A刚好离开地面时

例26A刚好离开地面时,地面约束力为零.研究AB杆∑M=0m2aRsin30ο−m2gRcos30ο=0a=3gFAyFAxFIC122解

第123页：例26 动静法算例

解得122F=(3m+m)3g2D∑M=0FR−FR−M−FRsin30o−mgRcos30o=0IAIAIC例26研究整体得2aRF=ma,M=1mR2IA1IA1AB123DFFSFNFmgm2grIAFICIAMF−Fs−(m1+m2)a=0∑Fx=0s12F=3mg2s1=f(m+m)gFs≤fsFN解得12Ns3mFF2(m+m)f≥s=

第124页：本章小结

本章小结：

• 本章小结点的运动矢径法直角坐标表示法r=r(t)rrvrdtrr=dr=r&amp
• dtdvdrdt2a===v=rr2rrr&amp
• &amp
• r&amp
• x=x(t)y=y(t)z=z(t)v==i+j+k=vxi+vyj+vzkdtdtdtdtrrrrrrrrdrdxdydzydvxdvza==i+dtdtdtj+k=axi+ayj+azkdt124rrrrdvrrrrdv

第125页：动静法公式推导

自然法s=f(t)vdtρ=dsτρd2sat=dt221dsv2an=ρ=ρ(dt)点的速度合成定理va=ve+vrrrr刚体的运动平移：平移刚体的运动可以简化为点的运动。

定轴转动φ=f(t)dtω=dφα=dω=d2φdtdt

第126页：动静法公式推导

v=s&=Rφ&=Rω21ρRnt(Rω)2=Rω2a=v=dta=dv=&s&=Rαs=Rφ平面运动基点法速度投影法速度瞬心法BABAv=v+vrrrvA=vP+vAP=vAPrrrr()()BAABABv=vrr

第127页：ma=Frr运动学基础动力学的基本方程i

ma=Frr运动学基础动力学的基本方程idt2ma=∑Fimdr=∑Fr2rr质点的运动微分方程动量矩定理质点M(mv)=M(F)dtOOrrrdr

第128页：动静法公式推导

质点系)OidLOdt=∑M(Frr(e)定轴转动刚体的转动微分方程定轴转动刚体对转轴的动量矩Lz=Jzω转动微分方程Jzα=∑Mz(F)转动惯量的计算动能定理力的功ρW=Fcosθ·s=F·s12M1M1W=∫M2δW=∫M2F·drr

第129页：动静法公式推导

mg(zC1−zC2)ΣW122)21212(δ−δk2W=1112C2Cφ2W=∫FR·drC+∫φMCdφr′rW12=Mz(φ2−φ1)动能212iimvT=∑T=1mv22122CmvT=212zJωT=221212CCJωmv+T=

第130页：dT=∑δWi运动学基础动能定理质点T2

dT=∑δWi运动学基础动能定理质点T2−T1=∑Wi质点系d(1mv2)=δW22112221mv2−1mv2=WF+FN+FI=0动静法质点的达朗贝尔原理

第131页：质点系的达朗贝尔原理Fi+FNi+FIi

质点系的达朗贝尔原理Fi+FNi+FIi=0i=1,2,Λ,n刚体惯性力系的简化=−maCFIR平移刚体（向质心简化）M=M=−JαIOIzz定轴转动刚体（向质量对称面和转轴的交点简化）平面运动刚体（向质心简化）MIC=−JCα=−maCFIR=−maCFIR

第132页：Ⅱ的质量分别为

>2m1−m4运动学基础（1）已知重物Ⅰ，Ⅱ的质量分别为m1，m2。

定滑轮O1的半径为r1，质量为m3。

动滑轮O2的半径为r2，质量为m4。

两轮均可视为均质圆盘，且m2。

求重物Ⅰ由静止下降距离h时的速度。

第133页：在质量为m1的重物作用下运动

（2）已知均质圆盘的半径为R，质量为m2，在质量为m1的重物作用下运动，不计支架和绳子的质量，BC=a。

求固定端C的约束力。