05 第05章 空间力系.pptx

第1页：第五章空间力系封面

第五章空间力系

第2页：§5-1 空间汇交力系

一、力在直角坐标轴上的投影直接投影法Fx=FcosφFy=FcosθFz=Fcosγ§5–1空间汇交力系

第3页：间接（二次）投影法

间接（二次）投影法Fxy=FsinτFx=FsinτcosφFy=FsinτsinφFz=Fcosτ

第4页：例1已知

例1

已知：Fn,β,α在三个坐标轴上的投影.n

求：力FFz=−FnsinαFxy=FncosαFx=−Fxysinβ=−FncosαsinβFy=−Fxycosβ=−Fncosαcosβ

解：

第5页：空间汇交力系公式推导

FRy=∑Fiy=∑FyFRz=∑Fiz=∑Fz合矢量（力）投影定理FR=∑Fi空间汇交力系的合力二、空间汇交力系的合力与平衡条件FRx=∑Fix=∑Fx合力的大小222xyzF)F)FR=(+(F)+(∑∑∑RFcos(FR,i)=∑Fxrr方向余弦RF∑Fycos(FR,j)=rrR5F∑Fzrrcos(FR,k)=

第6页：空间汇交力系平衡的充分必要条件是

空间汇交力系平衡的充分必要条件是：∑Fz=06FR=0该力系的合力等于零，即∑Fx=0∑Fy=0称为空间汇交力系的平衡方程.空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点.空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零

第7页：例2 杆受力及绳拉力解：画受力图

1. 3.54kN例2已知：物重P=10kN，CE=EB=DE；θ=300求：杆受力及绳拉力解：画受力图，列平衡方程∑Fx=0FA=
2. 8.66kN

第8页：例3 三根杆所受力.解：各杆均为二

例3

已知：P=1000N,各杆重不计.

求：三根杆所受力.

解：各杆均为二力杆，取球铰O，画受力图。xF=0∑Fsin45ο−Fsin45ο=0OBOC∑Fy=0−Fcos45ο−Fcos45ο−Fcos45ο=0FOA=−1414NFOB=FOC=707N（拉）OAsin45ο−P=0OBOCOA∑Fz=0−F

第9页：§5-2 力对点的矩和力对轴的矩

§5–2力对点的矩和力对轴的矩一、力对点的矩以矢量表示——力矩矢三要素：(1）大小:力F与力臂的乘积2方向:转动方向3作用面：力矩作用面.rMO(F)=r×F

第10页：力对点的矩和力对轴的矩公式推导

F=Fxi+Fyj+Fzkrrr=xi+yj+zkrrrz=(yF−zFy)ir+(zF−xF)rj+(xF−yF)kxzyxOz(Fxirrr(xi+yj+zk)×+rFyj+Fk)M(F)=(rr×F)=力对点O的矩在三个坐标轴上的投影为(rr)(MO(F))x=yFz−zFy(MO(F))y=zFx−xFz(rr)(rr)(MO(F))z=xFy−yFx

第11页：力对该轴的矩为零

二、力对轴的矩力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零.Mz(F)=MO(Fxy)=±Fxy·h

第12页：力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系(M

三、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系(MO(F))y=zFxMx(F)=Mx(Fx)+Mx(Fy)+Mx(Fz)=Fz·y−Fy·zMy(F)=My(Fx)+My(Fy)+My(Fz)=Fx·z−Fz·xMz(F)=Fy·x−Fx·y(rr)r(MO(F))x=yFz−zFy=Mx(F)(rr)r−xFz=My(F)−yFx=Mz(F)(rr)(MO(F))z=xFyr

第13页：例4已知

例4

已知：F,l,a,θxyz

求：M(F),M(F),M(F)rrrxry−F(l+a)cosθ−FlcosθrzM(F)=M(F)=M(F)=−F(l+a)sinθ

解：把力F分解如图

第14页：§5-3 空间力偶

§5–3空间力偶一、力偶矩以矢量表示--力偶矩矢F1=F2=F1′=F2′空间力偶的三要素1大小：力与力偶臂的乘积；2方向：转动方向；3作用面：力偶作用面。

第15页：空间力偶公式推导

rBAM=r×F

第16页：空间力偶公式推导

rr′rrOrB)×F=MM(F,F′)=(rrA−r=rA×F+rB×FF′=−F空间力系二、力偶的性质(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零.（2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。

MO(F,F′)=MO(F)+MO(F′)

第17页：力偶可在其作用面内任意移转

（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变.12RRBARBArBA′M(F,F)=r×F=r×(F+F)=rBA×F1+rBA×F2rrrrrrrrrr×F1=M(F1,F1′)=r===

第18页：对刚体的作用效果不变

(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变.F1=F1′=F2=F2′=F3=F3′====

第19页：力偶只能由力偶来平衡

力偶矩相等的力偶等效(5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.定位矢量滑移矢量力偶矩矢是自由矢量自由矢量

第20页：力偶系的合成与平衡条件1M=rr×F,M

三、力偶系的合成与平衡条件1M=rr×F,M=r×F,......,M=r×F11222nnnrr==M=∑MiM为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和

第21页：空间力偶系的平衡方程

M=(∑Mx)2+(∑My)+(∑M)22z合力偶矩矢的大小和方向余弦Mx=∑Mx,My=∑My,Mz=∑Mz空间力偶系平衡的充分必要条件是:合力偶矩矢等于零，即M=0∑Mx=0∑My=0∑Mz=0--空间力偶系的平衡方程.21Mcosθ=∑MxMcosβ=∑MyMcosγ=∑Mz

第22页：思考：作用在刚体上的四个力偶

思考：

1. 作用在刚体上的四个力偶，若其力偶矩矢都在同一平面内，则一定是平面力偶系吗？若力偶矩矢自行封闭，则一定是平衡力系吗？为什么？答：平面力偶系是指力偶的作用面在同一平面内，所以不是。是平衡力系，因为∑Mi=

第23页：例5 工件所受合力偶矩在x

1. 93.1N·mMy=∑Miy=−M2=−80N·mοοMz=∑Miz=−M1−M4cos45−M5cos45=−1
2. 93.1N·m

第24页：例6 轴承A

1. 1.5NFAz=FBz=
2. 2.5N

第25页：例7 正方体平衡时

例7

已知：正方体上作用两个力偶(F1,F1′), (F2,F2′),25CD//A2E,不计正方体和直杆自重.

求：正方体平衡时，力F1,F2的关系和两根杆受力

第26页：例7 两杆为二力杆

例7解：两杆为二力杆，取正方体，画受力图建坐标系如图以矢量表示力偶，如图cM1=M2设正方体边长为a,有M1=F1·a=M2=F2·aF1=F22a有M3=FA2·FA2=FB2=F1=F2杆A1A2受拉，B1B2受压。

M−Mcos45ο=013∑Mx=0∑My=0οM2−M3sin45=

第27页：§5-4 空间任意力系向一点的简化·主矢

§5–4空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩一、空间任意力系向一点的简化Fi′=FiMi=MO(Fi)空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系

第28页：空间任意力系向一点的简化·主矢和公式推导

RizFkF′=∑F=∑Fxi+∑Fyj+∑rr主矩MO=∑Mi=∑MO(Fi)主矢空间力偶系的合力偶矩由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有rrMO=∑Mx(F)i+∑My(F)j+∑Mz(F)k空间力系空间汇交力系的合力

第29页：有效推进力

飞机向前飞行FR′xFR′yFR′zMOxMOyMOz—有效推进力—有效升力—侧向力—滚转力矩—偏航力矩—俯仰力矩飞机上升飞机侧移飞机绕x轴滚转飞机转弯飞机仰头

第30页：空间任意力系向一点的简化·主矢和公式推导

（1）合力′rd=MOFR合力.合力作用线距简化中心二、空间任意力系的简化结果分析（最后结果）FR′≠0,MO≠0,FR′^MOFR′≠0,MO=0过简化中心合力MO=d×FR=MO(FR)=∑MO(F)合力矩定理：合力对某点(轴）之矩等于各分力对同一点（轴）之矩的矢量和

第31页：此时与简化中心无关

1. （2）合力偶一个合力偶，此时与简化中心无关。FR′=0,MO≠0
2. （3）力螺旋中心轴过简化中心的力螺旋PFR′≠0,MO≠0,FR′//MO

第32页：空间任意力系向一点的简化·主矢和公式推导

既不平行也不垂直FR′≠0,MO≠0,FR′,MO力螺旋中心轴距简化中心为d=MOsinθFR′（4）平衡平衡FR′=0,MO=

第33页：§5-5 空间任意力系的平衡方程

§5–5空间任意力系的平衡方程一、空间任意力系的平衡方程空间任意力系平衡的充要条件：∑Fx=0∑Fy=0∑Fz=0∑Mx=0∑My=0∑Mz=0空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零.该力系的主矢、主矩分别为零

第34页：空间平行力系的平衡方程

∑Fz=0∑Mx=0∑My=0二、空间平行力系的平衡方程

第35页：例8 A、B、C处约束力解：研究对

1. 0.2m,求：A、B、C处约束力解：研究对象：小车列平衡方程−P−P1+FA+FB+FD=0∑Mx(F)=0∑My(F)=0−
2. 0.2P1−
3. 1.2P+2FD=
4. 00.8P1+
5. 0.6P−
6. 1.2FB−
7. 0.6FD=0FD=
8. 5.8kN,FB=
9. 7.777kN,FA=
10. 4.423kN

第36页：例9已知

例9

已知：F=2000N,F2=2F1,θ=30ο,β=60ο,各尺寸如图

求：F1,F2及A、B处约束力

解：研究对象，曲轴列平衡方程x∑F=0Bx+F=0y∑F=0Fsin30ο+Fsin60ο+F12Ax0=

第37页：例9 空间任意力系的平衡方程算例

例9z∑F=012AzBz−Fcos30ο−Fcos60ο−F+F+F=0∑Mx(F)=0Fcos30ο×200+Fcos60ο×200−F×200+F×400=012Bz∑M(F)=0y221F·R−D×(F−F)=0∑M(F)=0z12Bx(Fsin30Fsin60)×200−F×400=370o−o+

第38页：思考：传动轴用两个止推轴承支持

思考：

1. 传动轴用两个止推轴承支持，每个轴承有3个未知力，而空间任意力系的平衡方程刚好是6个，是否为静定问题？答：超静定问题。

第39页：例10已知

1. 4.25N,Fy=
2. 6.8N,Fr=
3. 0.36Fτ,R=50mm,Fz=17N,r=30mm各尺寸如图
4. （3）O处约束力求：
5. (1)Fr,Fτ
6. （2）A、B处约束力

第40页：例10 研究对象1：主轴及工件

−Fτ+FBx+FAx−Fx=0−Fy=0FByFτ·R−Fz·r=0例10解：研究对象1：主轴及工件，受力图如图z−F+FBz+FA+Fz=0FrF−(488+76)FBz−76Fr+388Fz=0∑Fx=0∑Fy=0∑Fz=0∑Mx(F)=0∑My(F)=0∑Mz(F)=0Fr−76Ft+(488+76)FBx−30Fy+388Fx=400

第41页：例10又

1. 0.36FτFτ=
2. 10.2kN,FAx=
3. 15.64kN,FBx=−
4. 1.19kN,Fr=
5. 3.67kN,FAz=−
6. 31.87kN,FBy=
7. 6.8kN,FBz=
8. 11.2kN,研究对象2：工件受力图如图FOx−Fx=0FOy−Fy=0列平衡方程∑Fx=0∑Fy=0∑Fz=0FOz+Fz=

第42页：例10 空间任意力系的平衡方程算例

1. 4.25kN,FOy=
2. 6.8kN,FOz=−17kNMx=−
3. 1.7kN·m,My=
4. 0.51kN·m,Mz=−
5. 0.22kN·m

第43页：例11 杆内力例11已知：F、P及各

求：杆内力例11

已知：F、P及各尺寸,F=2P

解：研究对象，长方板列平衡方程()MF=0∑ABr2a−F6·a−·P=0P2F6=−()MF=0r5F=0()ACMF=0∑AE∑r4F=0()MF=0∑EFr=0+b2a2ab·P−F1·a−F6·a−()M∑FGr2b2F=0Fb−·P−F2b=0F1=0F2=1.5P()MBCF=0∑r223b−F·b−·P−F·cos45·b=0ο3F=−22P

第44页：OM(F)=rr×F本章小结：力在直角坐

OM(F)=rr×F本章小结：力在直角坐标轴的投影直接投影法间接投影法（二次投影法）Fy=FcosθFz=FcosγFx=FcosφFy=FsinτsinφFz=FcosτFx=Fsinτcosφ力矩的计算力对点的矩是一个定位矢量44力对轴的矩是代数量力对点的矩和力对轴的矩的关系Mz(F)=MO(Fxy)=±Fxy·h(MO(F))x=yFz−zFy=Mx(F)(rr)r

第45页：力偶作用面方位及力偶的转向

空间力偶及其等效定理空间力偶对刚体的作用效果决定于力偶矩的大小、力偶作用面方位及力偶的转向，可由力偶矩矢表示力偶的等效定理：若两个力偶的力偶矩矢相等，则它们彼此等效。

空间力系的合成空间汇交力系：一个通过汇交点的力空间力偶系：一个力偶空间任意力系向一点简化：一个力和一个力偶空间任意力系的最终简化结果：一个力，一个力偶、力螺旋和平衡。

rBA45M=r×F

第46页：的平衡方程空间汇交力系空间力偶系空间任意

的平衡方程空间汇交力系空间力偶系空间任意力系∑Fx=0∑Fy=0∑Fz=0∑Mx=0∑My=0∑Mz=0∑Fx=0∑Fy=0∑Fz=0∑Mx=046∑My=0∑Mz=

第47页：本章作业

本章作业：

1. （1）已知力F位于圆盘C处的切平面内，尺寸及角度如图所示。求力F对x，y，z轴的力矩。
2. （2）已知铅直力F，力F沿D对角线LD图示为一正方体。求各杆内力。