12 第12章 应力状态和强度理论.pptx

第1页：第十二章应力状态和强度理论封面

第十二章应力状态和强度理论

第2页：§12-1 一点应力状态的描述

§12-1一点应力状态的描述一、一点应力状态的概念通过一点所有截面上的应力矢量的集合称为一点的应力状态。

二、应力状态的表示方法单元体:围绕a点取一微小的六面体。

六个面都表示通过同一点a的面，只是方向不同而已。

相平行的两个面是表示过该点的同一截面的不同侧方向。

这两个面的应力相等。

每个截面上应力均匀分布。

第3页：其他截面上的应力都可以通过截面法求得

如果知道了单元体上三个相互垂直的平面上的应力，其他截面上的应力都可以通过截面法求得，则该点处的应力状态就可以确定了。

可以用单元体的三个互相垂直平面上的应力来表示一点的应力状态。

第4页：轴向拉伸σｘ圆轴扭转A

轴向拉伸σｘ圆轴扭转A

本页以图示为主，源文件未提取到更多文字说明。

第5页：一点应力状态的描述公式推导

平面弯曲FABCσσσσ

第6页：分析表面一点的应力状态

DpOzAyδAσmσt应力状态和强度理论实例：封闭薄壁圆筒，受内压作用，分析表面一点的应力状态。

pppxlA

第7页：一点应力状态的描述公式推导

m(σp×πD2πDδ)=mσ4δ=pD轴向应力∑Fx=0xDpσm环向应力DyzpσtσtdθpOθ∑Fy=0π∫0Dpsinθdθ×1=2σtδ×12t7σ2δ=pD

第8页：应力状态的分类对于受力构件内任一点

σ1应力状态和强度理论三、应力状态的分类对于受力构件内任一点，总可以找到三个相互垂直的平面，这些面上只有正应力而没有切应力，这些切应力为零的平面称为主平面。

作用在主平面上的正应力称为主应力。

三个主应力分别用σ1，σ2，σ3，并按代数值大小排列，σ1≥σ2≥σ3。

围绕一点按三个主平面取出的单元体称为主应力单元体。

σ23σ主平面8主应力

第9页：单向应力状态

单向应力状态

三个主应力中只有一个主应力不为零

简单应力状态二向应力状态：三个主应力中有两个主应力不为零。

复杂应力状态三向应力状态：三个主应力都不为零。

复杂应力状态σ1σ2σ3σ1σ1σ

第10页：§12-2 平面应力状态中斜面上的应力分

§12-2平面应力状态中斜面上的应力分析σxτxyσyxyzxyσxτxyσy10O

第11页：平面应力状态中斜面上的应力分析公式推导

xyσxτxyσyOyτyxσxσταααyOτnτxyσxα规定：►正应力取拉应力(与截面法向同向)为正；►切应力取绕研究对象顺时针转为正；►逆时针为正。

∑Fn=02Ssinαcosα=0yyxσαS−σxScosα+τScosαsinα2xy−σSsinα+τσαyxyx+σsin2α=σcos2α−2τcosαsinα

第12页：平面应力状态中斜面上的应力分析公式推导

σyτyxσxτασααxyOτnτxy=0∑Fτ2+σSsinαcosα+τSsinα=0yyxταS−σxScosαsinα−τxyScosα2τα=(σx−σy)sinαcosα+τxy(cosα−sinα)22考虑三角变换，得：α22xyσ=σx+σy+σx−σycos2α−τsin2ααcos2α2xyτ=σx−σysin2α+τ

第13页：平面应力状态中斜面上的应力分析公式推导

α22xyσ=σx+σy+σx−σycos2α−τsin2ααcos2α2xyτ=σx−σysin2α+τ=−τατα±90ο切应力互等定理13σα±90ο+σα=σx+σy=常量相互垂直的两个平面上正应力之和为一常量。

第14页：§12-3 主应力、主平面和最大切应力

§12-3主应力、主平面和最大切应力一、主应力和主平面σαsin2α22xy+σx−σycos2α−τ=σx+σy00−σ)sin2α=−(σα=α−2τxycos2α0=0yxdα令:dσα0142xxyα0ysin2α(σ−σ)=−2+τcos2α=−2τ=00正应力取极值的截面上的切应力为零，说明正应力的极值即为主应力，其作用面即为主平面。

第15页：主应力、主平面和最大切应力公式推导

）22xymin+τσ−σxy2±=σx+σy2}σ{σmax（xσxτxyσyO由此得两个主平面的方位角：πα、（α+）002可求出两个极值：α。

πα+020tg2α=−2τxyσx−σymax15σσminy

第16页：正应力是否为零

二、最大切应力αcos2α2xyτ=σx−σysin2α+τ=0=α1dαα令:dταyx2τxy1σ−σtg2α=2min(2xyyxτ)+τσ−σ2τmax=±问题:在主切应力面上,正应力是否为零?主切应力面作用在主切应力面上的正应力216σx+σyσm=

第17页：主切应力和主应力的关系min22xyτ+

三、主切应力和主应力的关系min22xyτ+τσ−σ(xy)2τmax=±）222xymin+τ2σ−σxy±=σx+σy}σ{σmax（2minmaxminττmax=±1(σ−σ)xyyx2τ1σ−σtg2α=02τxytg2α=−σx−σyα=α+45ο10最大最小切应力平面与主平面成45度角。

第18页：思考：图示三种应力状态是否相同

思考：

1. 图示三种应力状态是否相同？σ=45οσ=45οσ=−18答：1和3应力状态一致。

第19页：图示单元体属于哪种应力状态

图示单元体属于哪种应力状态？

30MPa30MPa30MPa19答：单向应力状态。

第20页：例1 斜截面上的应力

例1已知平面应力状态如图，求：斜截面上的应力；主应力和主平面；主切应力和主切平面。

xy40x′30°4020(MPa)y′σατα解σx=40MPaτxy=−40MPaσy=−20MPaα=30ο22xyxxyασ+σσ−σσ=+ycos2α−τsin2α30°σ=40+(−20)+40−(−20)cos60°−(−40)sin60°=59.6ΜPa22220xyτ30°=σx−σysin2α+τcos2α=6ΜPa

第21页：主应力、主平面和最大切应力公式推导

1. 16.56ο0α=
2. 26.56ο0将α=
3. 26.56ο代入σαsin2α22xy+σx−σycos2α−τ=σx+σyοα0=
4. 26.56σα=60MPaσmax=60MPaοα0=1
5. 16.56σmin=−40MPa

第22页：例12 主应力、主平面和最大切应算例

1. 61.56οα1=
2. 71.56将1α=
3. 71.56ο代入αcos2α2xyτ=σx−σysin2α+ττα=50MPaοα0=
4. 71.56τmax=50MPaοα0=1
5. 61.56τmin=−50MPa

第23页：例2 低碳钢试样拉伸至屈服阶段时

例2低碳钢试样拉伸至屈服阶段时，在试样表面会出现与轴线成45度角的滑移线，试分析这种现象。

F解在低碳钢试样上任取一点，为单向应力状态45οσ45οστAσ=F212minmaxσττ(σ−σ)=±max=±min2×01tan2α=σ−0=∞123α=45ο,−45ο滑移线是由最大、最小切应力引起的。

第24页：例3 Ｂ处主应力和主平面的位置

例3矩形截面梁，横截面ｍ-ｎ截面上一点Ｂ处的弯曲正应力和切应力为σ=60MPa，τ=40MPa。

求Ｂ处主应力和主平面的位置，并讨论同一横截面上其他点处的主应力和主平面的位置。

ABCDEq

第25页：例3 主应力、主平面和最大切应算例

例3解σAσBCσDσE分析Ｂ点σx=−60MPaσy=0τxy=40MPa22min−80MPa=20MPa±2xy+τ+σy(σx−σy)2σσmax=σxσ1=20MPaσ2=0σ3=−80MPaABCDEq

第26页：例30 主应力、主平面和最大切应算例

1. 16.56ο0α=
2. 26.56ο0将α=
3. 26.56ο代入σαsin2α22xy+σx−σycos2α−τ=σx+σyσα=−80MPaοα0=
4. 26.56σmin=−80MPaοα0=1
5. 16.56σmax=20MPa

第27页：例3 出其他点的主应力和主平面位置

例3可用同种方法求出其他点的主应力和主平面位置。

由此可得梁内主应力特点：除上、下边缘外，其他点处的主应力，必有一主拉应力和一个主压应力。

主拉应力的方位角由90度连续减到0度。

主拉应力迹线

各点的切线方向为该点处的主拉应力方向

实线表示主压应力迹线

各点的切线方向为各点的主压应力方向虚线表示对于钢筋混凝土梁，纵向钢筋大体按主拉应力方向布置

第28页：§12-4 一、应力圆∑∑}∑{σ−

§12-4一、应力圆∑∑}∑{σ−στ=σ+σσ−σσ=ααsin22sin2α2α+τcos2α2xyxyxyycos2α−τxy+x22xyασsin2α−σx+σy=σx−σycos2α−τ2xyxy2xyαα()2σ+σ(σ−σ22)2+τσ−+τ=O应力圆及其应用τCaRD(σα,τασ应力圆圆心2(xy,0)σ+σ2xy28(xy)22+τσ−σR=

第29页：应力圆∑∑}∑{σ−公式推导

二、应力圆的画法OσαταCA(σx,τxyxB(σy,τyx)στxyA1建立应力坐标系在坐标系内画出点，AB与横轴的交点C便是圆心以C为圆心，以AC为半径画圆xxyA(σ,τ)yyxB(σ,τ)应力圆xyσy29σxτxy

第30页：应力圆∑∑}∑{σ−公式推导

D(σα,τα)σαταCyyxxB(σ,τ)xστxyA12αnσxntyσyσατααx三、单元体与应力圆的对应关系任意截面上的应力(σα,τα)，对应应力圆上一点D(σα,τα)在单元体上由ｘ轴逆转角到截面，在应力圆中从ｘ逆EOFGH转2α到Ｄ点。

Ｅ点对应最大正应力Ｆ点对应最小正应力Ｇ对应最大切应力Ｈ对应最小切应力

第31页：思考：下列应力圆各表示什么应力

思考：

1. 下列应力圆各表示什么应力状态，画出与之相应的单元体及其各面上的应力。σσσ

第32页：例4 图示单元体的主应力及主平面的

例4求图示单元体的主应力及主平面的位置。

(单位：MPa)2532534595150°解主应力坐标系如图在坐标系内画出点A(95,253)B(45,253)AB的垂直平分线与横轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆τασα(MPa)(MPa)O20MPaBAC2α

第33页：例4 主应力及主平面如图21σ=2

例4主应力及主平面如图21σ=20MPaσ=120MPaοσ3=0α0=−30253150°σ2A253σ145B95α0σατα(MPa)(MPa)20MPaBAC2α0331σ2Oσ

第34页：例4 应力圆∑∑}∑{σ−算例

例4解法2—解析法45253150°2xy+τ=σx+σy}minσ{σmax−σy）2±（σx60οτ=253MPa22σy=45MPaτyx=253MPa=−τxyσο=95MPa60σxσ60°τ60°60°σyτxyτyx9560ο2532222xy(2σx+σy)2(σx−σy)+τ=+τσ60°−60°σx

第35页：§12-5 复杂应力状态下的应力-应变关

§12-5复杂应力状态下的应力-应变关系一、简单胡克定律单向拉、压胡克定律εxεzyεxyzσxσx=EεxExσεx=Eνεy=−σxzxEνε=−σ剪切胡克定律x35yzτxyτxy=Gγxyyzzxγ=γ=0Gxyγ=τxy切应变为零线应变为零

第36页：广义胡克定律主单元体

σσ1σ12σσ3ε1(沿σ1方向）Eσ12Eσ−νσ3−νE1123ε=1(σ−ν(σ+σ))E()二、广义胡克定律主单元体σ

第37页：广义胡克定律

1123ε=1(σ−ν(σ+σ))E()2231ε=1(σ−ν(σ+σ))E()3312ε=1(σ−ν(σ+σ))E()主应力单元沿主应力方向（主应变方向）的应变—广义胡克定律

第38页：复杂应力状态下的应力-应变关系公式推导

σxyσσzEσxEσy−νzEσ−νεx()xxyz1Eε=σ−νσ+σ()一般应力单元

第39页：广义胡克定律

xxyzEε=1((σ−ν(σ+σ)))()yyzx1Eε=σ−νσ+σ()()zzxy1Eε=σ−νσ+σ()τxyγxy=G—广义胡克定律yzγ=τyzGGzxτγzx=

第40页：平面状态下的应力

平面状态下的应力--应变关系σz=τyz=τzx=0xσ=(εx+νεy)E1−ν2τxy=Gγxyy40σ=(εy+νεx)E1−ν2平面应力状态用应变表示应力的本构关系

第41页：思考：针对某点应力状态

思考：

1. 针对某点应力状态，σx，σy，σz不变，τxy增加，则εz是否变化？答：不变。某点的应力状态如图所示，则该点沿ｘ和α=450方向的线应变。答：41xε=045ε=−τ(1+ν)Eο

第42页：例5 该点的主应力及另一主应变

1. 0.3在自由面上解σ3'=02111−ν2σ'=E[ε+νε]=
2. 44.3MPa平面应力状态σ1'σ2'σ2'=1−ν2ε2+νε1]=−
3. 20.3MPaE[\σ1=
4. 44.3MPaσ2=0σ3=−
5. 20.3MPa

第43页：复杂应力状态下的应力-应变关系

1. 10.3E\ε=1[σ−ν(σ+σ)]=−(−
2. 20.3+
3. 44.3)×106210×109=−
4. 34.3×10−6\ε1=240×10−6ε2=−
5. 34.3×10−6ε3=−160×10−6143σσ

第44页：例6 内压力

例6为测量薄壁容器所承受的内压力，用电阻应变片测得容器表面环向应变εt=350×l0-6；容器平均直径D=500mm，壁厚δ=10mm，E=210GPa，ν=0.25。

求：内压力。

xlσtσmApppDpOzAyδ

第45页：例6 轴向应力mpD4δσ=解环向

1. 0.01×210×109×350×10−
2. 60.5×(2−
3. 0.25)=
4. 3.36MPaσtσm外表面

第46页：复杂应力状态下的应力-应变关系公式推导

三、体积应变σ23σσ1σmσmσms3s1s2变形体积变形形状变形V=dxdydz23V1=dx(1+ε1)dy(1+ε)dz(1+ε)=V(1+ε1+ε2+ε3)321=ε+ε+εΘ=1VV−V体积应变

第47页：复杂应力状态下的应力-应变关系公式推导

xyzEEΘ=1−2ν(σ+σ+σ)=1−2ν(σ+σ+σ)应力状态和强度理论体积应变与应力分量间的关系233m1σ=1(σ+σ+σ)mEKΘ=3(1−2ν)σΘ=σmK=E3(1−2ν)平均应力体积(应变)弹性模量

第48页：思考：两者材料相同

思考：

1. 已知单元体Ａ上的主应力都为30ＭＰａ，而单元体Ｂ上的三个主应力分别为100ＭＰａ，30ＭＰａ和-40ＭＰａ，两者材料相同，试判别它们的体积应变是否相同？答：相同。1xEEΘ=1−2ν(σ+σ2+σ3)=1−2ν(σ+σy+σz)

第49页：例7 纯剪切应力状态的体积应变

xy例7求纯剪切应力状态的体积应变。

解σ1=τxy,σ2=0,σ3=−τxy123EΘ=1−2ν(σ+σ+σ)=0切应力不引起单元体的体积改变对非主应力状态单元xEΘ=1−2ν(σ+σy+σz)

第50页：例8 三向等值应力状态的体积应变

dxdz2σdyσ3σ1解σ1=σ2=σ3=σ123EΘ=1−2ν(σ+σ+σ)=3(1−2ν)σE例8求三向等值应力状态的体积应变。

15023E3ε=ε=ε=1[σ−ν(σ+σ)]=Θ

第51页：应变能变形能只与加载的最终状态有关

σσ3σ11四、应变能变形能只与加载的最终状态有关，与加载过程及加载次序无关。

21222312233112Ee=[σ+σ+σ−2ν(σσ+σσ+σσ)]e=(σε+σε+σε)2112233根据胡克定律有

第52页：复杂应力状态下的应力-应变关系公式推导

σσ3σ2−σmσ1−σm+σ1=σmσm233m1σ=1(σ+σ+σ)只有体积改变没有形状改变σ3−σm只有形状改变没有体积改变1−2νΘv=E(σm+σm+σm)=Θf1m2m3mEΘ=1−2ν[(σ−σ)+(σ−σ)+(σ−σ)]=01231−2νΘ=(σ+σ+σ)E

第53页：复杂应力状态下的应力-应变关系公式推导

σσ33mσ−σσ2−σmσ1−σm+σ1=σmσm233m1σ=1(σ+σ+σ)体积应变能22(123)33σ2(σ1+σ2+σ3)1−2ν=3(1−2ν)σ+σ+σ6E2E22Kev=σmεm=m=21222333112Ee=[σ+σ+σ−2ν(σ1σ2+σ2σ+σσ)]))2212233fe=1+ν((σ−σ+(σ−σ+(σ−σ)2)6E(1)53形状应变能形状改变比能

第54页：思考：设单元体的主应力分别为

思考：

1. 设单元体的主应力分别为σ1，σ2，σ3，则单元体只有体积改变的条件是什么？单元体只有形状改变的条件是什么？54答：只有体积改变的条件只有形状改变的条件σ1=σ2=σ3=σmσ1+σ2+σ3=

第55页：§12-6 建立复杂应力状态下的强度条件

§12-6建立复杂应力状态下的强度条件的基本思想和方法构件由于强度不足将引发两种失效形式(1)脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。

(2)塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大切应力面上，例如低碳钢拉、扭。

应阐明材料在各种受力条件下的失效判据：即何种原因失效，何时发生失效，以及怎样保证不发生失效，进而建立复杂应力状态下强度计算准则--强度条件。

第56页：单向应力状态和纯剪切应力状态下的强度条件

单向应力状态和纯剪切应力状态下的强度条件，是通过实验确定危险应力，然后利用实验结果直接建立。

复杂应力状态下，当三个主应力有两个或三个不为零时，即使为同一种材料，在不同的主应力比值下，材料达到失效时的危险应力也是不同的。

例如在三向等拉时，在很低的应力水平下，材料就会失效。

而在三向等压时，应力达到很高的水平材料都不会失效。

而主应力的比值有无穷多种组合，所以要想只通过实验确定材料在不同主应力比值下的危险应力值是不可能的。

通过实验发现材料失效是有规律的，对于同一种失效形式，引起失效的原因中包含着共同的因素。

第57页：假定一种和几种因素是材料强度失效的原因

长期以来，人们不断观察材料强度失效的现象，研究影响强度失效的因素，根据积累的经验，假定一种和几种因素是材料强度失效的原因，提出了一些关于材料在不同应力状态下失效的假说，这些假说及基于假说建立的强度计算准则，称为强度理论。

关于断裂的强度理论

最大拉应力理论和最大伸长线应变理论关于屈服的强度理论：最大切应力理论和形状改变比能理论

第58页：§12-7 强度理论及其应用

§12-7强度理论及其应用一、最大拉应力理论（第一强度理论）材料发生断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值0σ=σbσ0=σ1σ1-构件危险点的最大拉应力σ0-极限拉应力，由单拉实验测得σ1=σb断裂条件1nσ≤σb=[σ]强度条件

第59页：当时这一理论没有区分塑性屈服和脆性断裂

第一强度理论最早是由伽利略于1638年提出的，当时这一理论没有区分塑性屈服和脆性断裂，而认为凡是材料发生破坏都是最大正应力达到极限值，这对于大部分使用石料和铸铁等脆性材料的时代是可以理解的。

随着工业上大量使用塑性材料，这一理论的缺陷日趋明显，大量的实验结果和结构破坏事实证明，这一理论只适用于砖、石、铸铁等脆性材料。

我们现在使用的第一强度理论是对古典第一强度理论的修正。

第60页：只要发生脆性断裂

二、最大伸长线应变理论（第二强度理论）无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。

ε1=ε0ε1=[σ1−ν(σ2+σ3)]/Eε0=σ/Eb断裂条件EEbσ1[σ−ν(σ+σ)]=123σ=[σ]nbσ+σ)≤σ−ν(321强度条件60σ1−ν(σ2+σ3)=σb

第61页：这一理论考虑到三个主应力的影响

此理论最早是由马略特于1682年提出，这一理论考虑到三个主应力的影响。

实验表明

此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况

这一理论只与极少数脆性材料在某些受力形式下的实验结果符合，目前的设计中很少使用。

第62页：只要发生屈服

sτ0=σ/2应力状态和强度理论三、最大切应力理论（第三强度理论）无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。

τmax=τ0τmax=(σ1−σ3)/2σ1−σ3=σs屈服条件s13snσσ−σ≤=[σ]强度条件

第63页：这一理论的奠基人为十八世纪著名的物理学家

这一理论的奠基人为十八世纪著名的物理学家和工程师库仑，他于1773年提出假设，1868年由特雷斯卡加以完善。

实验表明

此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释

局限性

1、未考虑第二主应力的影响，试验证实最大影响达15%

2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象。

第64页：形状改变比能的极限值，由单拉实验测得

四、形状改变比能理论（第四强度理论）无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。

222122331σ−σ)+(σ()+([σ−σ−σ)]1+ν6Ee=fe=e0ff-构件危险点的形状改变比能ef2sf6Ee0=1+ν2σ-形状改变比能的极限值，由单拉实验测得fe

第65页：强度理论及其应用公式推导

屈服条件22312232sσσ−σ)=2σ−σ)+((σ1−σ2)+(强度条件222122331s12nσ((σ−σ)+(σ−σ)+(σ−σ)≤s=[σ])265132322212s6E6E2σ1+ν)+(−σ)+(σ−σσ−σ)]=1+ν[(σ

第66页：但他不相信这一理论的正确性

这一理论最早由胡贝尔于1904年提出，1913年米泽斯出自修正最大切应力理论的愿望提出这一理论，但他不相信这一理论的正确性。

1925年亨奇从能量的观点对这一理论作了进一步的解释与论证。

实验表明

对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用

第67页：莫尔强度理论材料失效的主要因素是切应力

五、莫尔强度理论材料失效的主要因素是切应力，同时还与正应力有关。

强度条件[σ]σ≤[σ]31c−[σt]σ[σt][σc]许用拉应力许用压应力该理论对脆性材料和塑性材料都是适用的，对于许用拉压应力相等的塑性材料，与第三强度理论一致。

对于脆性材料，因考虑了拉压性能不同的特点，也得到较为满意的结果。

第68页：强度理论及其应用公式推导

σr1=σ1≤[σ]22212233112r4σ]σ=(σ−σ)+(σ−σ)+(σ−σ)≤[()强度理论的统一表达式：σr≤[σ]相当应力σr3=σ1−σ3≤[σ]σr2=σ1−ν(σ2+σ3)≤[σ]

第69页：应用强度理论应注意的问题注意各强度理论的

六、应用强度理论应注意的问题注意各强度理论的适用范围：上述强度理论只是对确定的失效形式才是适用的。

因此，在实际应用中，应先判别发生什么样的失效--屈服还是断裂。

在大多数应力状态下，脆性材料发生脆性断裂应选用第一强度理论；而塑性材料将发生屈服或剪断，故应选第三、第四强度理论。

但是，必须注意，材料的失效形式不仅与材料性质有关，还与其所处的应力状态、温度加载速度等有一定的关系。

实验表明

塑性材料在低温或三向等拉时，会发生脆性材料；而脆性材料在三向压缩状态下发生塑性屈服或剪断

第70页：思考：按第三强度理论校核

思考：

1. 图示应力状态，按第三强度理论校核，强度条件是什么？σ1=τ70σ3=−τσ1−σ3=2τ<[σ]

第71页：例9 材料为铸铁

例9材料为铸铁，直径为d=0.1m的圆杆受力如图所示，T=7kNm，F=50kN，[σ]=40MPa，试用第一强度理论校核杆的强度。

F71AFTT

第72页：例9 危险点的应力状态如图所示Aσ

1. 0.13tWτ=T=16×7000=
2. 35.7MPaσ==×103=
3. 6.37MPaF4×50Aπ×
4. 0.1212σσ22±()2+τ2σ′={)2MPa
5. 6.37
6. 26.37239−32=±(+
7. 35.72=σ1=39MPa,σ2=0,σ3=−32MPaσ1<[σ]安全例9危险点的应力状态如图所示Aστ解FAFTT

第73页：例10 薄壁圆筒受最大内压时

1. 1.88×10-4,εy=
2. 7.37×10-4,已知钢的E=210GPa，[σ]=170MPa,泊松比ν=
3. 0.3，试用第三强度理论校核其强度。pppxlAy

第74页：例10 强度理论及其应用算例

1. 83.1MPa解σ1=1
2. 83.1MPa,σ2=
3. 94.4MPa,σ3=0σr3=σ1−σ3=1
4. 83.1>[σ]0170=
5. 7.70[σ]Θσr3−[σ]=1
6. 83.1−170不满足第三强度理论，不安全。由广义虎克定律AxσσypppxlAyyσ=E1−ν2(εy+νεx)=
7. 94.4MPa

第75页：本章小结

本章小结：

• 本章小结一点应力状态的概念、表示方法和分类单元体单向应力状态、二向应力状态和三向应力状态。平面应力状态中斜面上的应力α22xyσ=σx+σy+σx−σycos2α−τsin2ααcos2α2xyτ=σx−σysin2α+τ

第76页：强度理论及其应用公式推导

主应力和主平面）22xymin+τσ−σxy2±=σx+σy2}σ{σmax（0xy2τxytg2α=−σ−σ最大切应力xyyx2τ1σ−σtg2α=2min(2xyyxτ)+τσ−σ2τmax=±

第77页：应力圆及其应用复杂应力状态下的应力

应力圆及其应用复杂应力状态下的应力-应变关系：广义胡克定律()11231E+σε=(σ−νσ()22313312ε=1(σε=1(σ−ν(σ+σ))−ν(σ+σ))E()E()()xxyz1Eε=σ−νσ()()yzx1E+σεy=σ−νσ+σ()()zxy1Eεz=σ−νσ+σ()yzγ=τyzGzxγ=τzxGxyγ=τxyG

第78页：应变能应力状态和强度理论体积应变321=

应变能应力状态和强度理论体积应变321=ε+ε+εΘ=1VV−V21222312233112E[σe=+σ+σ−2ν(σσ+σσ+σσ)]()()()222122331f1+ν()e=σ−σ+σ−σ+σ−σ6E()

第79页：最大拉应力理论（第一强度理论）1σ≤σb

最大拉应力理论（第一强度理论）1σ≤σbn=[σ]最大伸长线应变理论（第二强度理论）σ=[σ]nbσ1−ν(σ2+σ3)≤最大切应力理论（第三强度理论）ssσnσ1−σ3≤=[σ]形状改变比能理论（第四强度理论）222122331s12nσ((σ−σ)+(σ−σ)+(σ−σ)≤s=[σ])

第80页：本章作业

本章作业：

1. （1）用解析法确定图示应力状态中的主应力，主平面位置及主应力方向，微元内的最大切应力。已知，，τxy=40MPa。
2. （2）某结构上危险点的应力状态如图所示，其中σ=1
3. 16.7MPa，τ=
4. 46.3MPa，材料为钢，许用应力[σ]=160MPa试校核此结构是否安全。
5. （1）题图
6. （2）题图