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本课件为工程力学课程的弯曲的应力分析和强度计算部分，依次讲解弯曲内力—剪力和弯矩、纯弯曲梁横截面上的正应力分析梁弯曲时、纯弯曲应力公式的应用横力弯曲时，配合图示与例题演算，帮助掌握基本概念、计算方法及其工程应用。
第十章弯曲的应力分析和强度计算
§10-1弯曲内力—剪力和弯矩一、概述
弯曲的应力分析和强度计算车削工件
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弯曲的应力分析和强度计算火车轮轴
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吊车梁5直杆在与其轴线垂直的外力作用下，轴线成曲线形状的变形称为弯曲。
以弯曲变形为主的杆件称为梁。
Fq(x)xMFq(x)xMFq(x)Mx梁的基本形式7简支梁外伸梁悬臂梁
火车轮轴简化为外伸梁
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二、剪力与弯矩截面法求内力RA−P1−Q=0∑Mc=0M+P1(x−a)−RAx=0Q=RA−P1M=RAx−P1(x−a)剪力9弯矩∑Fy=
思考：
三、剪力与弯矩方程剪力图和弯矩图设x表示横截面的位置，则梁各截面上的剪力和弯矩可以表示为坐标x的函数Q=Q(x)M=M(x)--剪力方程--弯矩方程梁的剪力和弯矩随截面位置的变化关系，常用图形来表示，这种图形称为剪力图和弯矩图。
例2BC段2BlQ(x)=−R=−aP2(a<x<l)22B2lM(x)=R(l−x)=aP(l−x)(a≤x2≤l)3、画剪力图和弯矩图BRQ(x2)M(x2)l−aPlaPla(l−a)Pl
例3CB段2Q(x)=P22(l≤x<l)M(x2)=−P(l−x2)22(l<x≤l)3、画剪力图和弯矩图
四、外力与剪力及弯矩间的关系1、载荷集度、剪力及弯矩间的微分关系设载荷集度是x的连续函数q=q(x)规定：向上为正∑Fy=0Q(x)−[Q(x)+dQ(x)]+q(x)dx=0dQ(x)=q(x)dx
c∑M=02M(x)+dM(x)−M(x)−Q(x)dx−q(x)dxdx=0dM(x)=Q(x)dxq(x)dx2d2M(x)=2、集中力、集中力偶作用处的剪力及弯矩∑Fy=0ΔQ=P21集中力（包括支座约束力）作用处的两侧截面上的剪力数值发生突变，且突变值等于集中力的值
工程实际中，所谓的集中力不可能集中于一点，而是分布在很小的范围内M=022∑MCΔM=M在集中力偶作用的两个侧面上，弯矩数值发生突变，且突变值的大小等于集中力偶的值。
载荷集度、剪力图及弯矩图图形上的关系q，Q，M图的线型依次递高一次，若q为水平线，则Q图将为斜线，而M图则为二次曲线；若q等于零，则Q图将为水平线，而M图则为斜线。
M图的凹向同q指向，当q指向上方时，q值为正，M对x的二阶导数大于零，弯矩图将凹向上，反之M图将向下凹曲。
当Q等于零时，M取极值。
集中力作用的截面，Q图有突变，突变值等于集中力的值。
M图上有折点；集中力偶作用的截面，M图有突变，突变值等于集中力偶的值。
例53、求端值利用直接法计算各段左、右两端截面上的剪力和弯矩8AR=3ql2425CR=11ql
例54、画剪力图和弯矩图
五、用叠加法作剪力图和弯矩图当梁上有多个外力作用时各外力引起的内力互不相关，因此可以分别计算各外力所引起的内力，然后进行叠加----叠加法P=ql
§10-2纯弯曲梁横截面上的正应力分析梁弯曲时，横截面上一般有两种内力---剪力和弯矩，这种弯曲称为横力弯曲。
梁弯曲时，横截面上只有弯矩，而没有剪力，这种弯曲称为纯弯曲。
处于同一平面内，且纵向线与横截面在变形中保持正交。
一、纯弯曲梁的正应力1、变形方面实验观察：纵向线在梁变形后变成弧线，靠顶面的线缩短，靠底面的线伸长。
横向线在梁变形后仍为直线，但相对转过了一个角度，且仍然与弯曲的纵向线保持正交。
根据平面假设，由实验观察到的表面现象已推广到梁的内部，即梁在纯弯曲变形时，横截面保持平面作刚性转动，靠底部的纵向纤维伸长了，靠顶部的纵向纤维缩短了，由于变形的连续性，中间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称为中性层。
中性层与横截面的交线称为中性轴。
dxdxΔlaa线应变随y按线性规律变化
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胡克定律σ=Eερσ=Ey纯弯曲时的正应力按线性规律变化，横截面中性轴的正应力为零，在中性轴两侧，一侧受拉应力，一侧受压应力，与中性轴距离相等各点的正应力数值相等。
xCy2、物理方程假设纵向纤维在弯曲变形中相互不挤压，且材料在拉伸及压缩时的弹性模量相等。
MZσσmaxσminzρε=y
AAAρρ∫σdA=∫EydA=E∫ydA=0∫AydA=0截面对中性轴的静矩，静矩为零的轴是形心轴。
3、静力学条件∑Fx=0∫σdA=FN=0A中性轴通过截面的形心。
ρσ=Ey
AAyρρM=∫yEdA=∫y2dAM=∫AσydAE∑Mz=0∑My=0∫AzσdA=0AAρ∫zσdA=E∫zydA=0横截面对y，z的惯性积，由于y轴为对称轴，故惯性积为零。
x1=MρEIzρσ=Ey
yρσ=E}σ=MyIZ--纯弯曲梁横截面正应力计算公式横截面上的最大正应力发生在离中性轴最远点。
maxmaxZIσ=MymaxZσ=MWmaxZIZyW=弯曲截面系数x1=MρEIz
常见截面的IZ和WZ圆截面πd4IZ=3264πd3WZ=矩形截面bh3IZ=612bh2WZ=空心圆截面空心矩形截面Z(1−α4)πD4I=32Z(1−α4)64πD3W=1212Zbh3bh3I=00−1212)/(h0/2)bh3bh3WZ=(00−二、惯性矩
思考：
x有一直径为ｄ的钢丝，绕在直径为Ｄ的圆筒上，钢丝仍处于弹性阶段。
此时钢丝的弯曲最大正应力为多少？
为了减少弯曲应力，应增大还是减小钢丝的直径？
1=MρEIz2D+dρ=D+dM=2EIzIzMdσmax=2Ed38D+dmaxσ=
例6受纯弯曲的空心圆截面梁如图所示。
M=1kN·m，外径D=50mm，内径d=25mm。
§10-3纯弯曲应力公式的应用横力弯曲时，由于剪力的影响，弯曲变形后，横截面发生翘曲，不再保持平面，但当剪力为常量时，各截面的翘曲程度完全相同，因而纵向纤维的伸长和缩短与纯弯曲时没有差距。
对于剪力为常量的横力弯曲，纯弯曲的正应力计算公式仍然适用。
对于剪力不为常量的横力弯曲，当梁的跨度与横截面高度的比值较大时，纯弯曲的正应力计算公式仍然适用。
曲率公式也可推广用于横力弯曲梁中性层曲率计算。
§10-4矩形截面梁弯曲切应力简介一、矩形截面梁的弯曲切应力关于横截面切应力分布规律的假设：侧边上的切应力与侧边相切切应力沿z的方向均匀分布MM+dMdxQQ+dQyzyτQ
xdxyzyy1NFN2FFSτ∑Fx=0FN1−FSτ−FN2=01N1zzzIIA*A*F=σdA=M+dMy*dA=M+dMS*∫∫MM+dMdxQQ+dQzzN2S*IMF=sτF=τ'bdxdxIzbIzbdMS*QS*z=zτ'=QSIzbz*τ=--矩形截面梁横截面切应力计算公式
zA*12Zbh3I=沿高度方向抛物分布y=0时，切应力值最大梁上下表面处切应力为零QSzIzb*τ=224zy2bhA*S*=∫y*dA*=∫hy*bdy*=(−y2)2z2Qhτ=(−y)2I4Qh28Izτmax=ya1bhy*yamax2bhτ=3Q平均=1.5τAQ
二、其他截面梁的弯曲切应力工字形ByHhtyA*腹板翼缘dτzQzQSIzd*τ=腹板上工程上hdτ=Q翼缘上zQSIzt*τ=假设切应力沿翼缘厚度方向大小相等，且与翼缘相平行
maxτzyQzQS2tIz*τ=πRt51τ=Qmax
思考：
矩形截面梁若最大弯矩和最大剪力和截面宽度不变，而将高度增加一倍，最大正应力为原来的多少倍？
最大切应力呢？
3Qτmax=2bh=1.5τ平均maxZσ=MW653bh2WZ=答：最大正应力为原来的四分之一，最大切应力是原来的二分之一。
§10-5弯曲强度计算一般情况下，梁的横截面上同时存在正应力和切应力。
最大正应力发生在离中性轴最远的各点上，最大切应力发生中性轴上。
因此通常对弯曲正应力及弯曲切应力分别建立强度条件。
一般来说，处于横截面边缘线上正应力最大的点处，切应力为零。
所以梁弯曲时最大正应力的点可看成处于单向应力状态。
梁弯曲时正应力强度条件maxmaxzσ=(M)≤[σ]W
对于等截面梁，最大弯曲正应力发生在最大弯矩所在的截面。
梁弯曲时正应力强度条件maxzσ=MmaxW≤[σ][σ]为许用弯曲正应力，可近似利用简单拉伸时的许用应力代替，但二者有区别，前者略高于后者，可查手册。
对抗拉、压性能不同的材料，则要求最大拉应力和最大压应力都不超过许用值55σtmax≤[σt]σcmax≤[σc]
一般来说，梁横截面上最大切应力发生在中性轴上，而该处的正应力为零。
因此最大切应力点处于纯剪切应力状态弯曲切应力强度条件maxmaxzzQSIb*τ=()≤[τ]maxmaxzmaxzQSIb*τ=≤[τ]对于等截面梁，最大切应力发生在最大剪力所在的截面56弯曲切应力强度条件
对于细长的实心截面梁或非薄壁截面梁，横截面上的正应力是主要的，切应力只占次要地位，例maxzql2Wbh24bh2σ=Mmax2=8=3qlmax6ql2A2bh4bhτ=3Qmax=32=3ql3ql23ql4bhσmax=4bh2τmax=lh
对于细长的实心截面梁或非薄壁截面梁，只要满足正应力条件即可。
对于薄壁截面梁或梁的弯矩较小，而剪力很大时，必须同时校核正应力强度条件和切应力强度条件。
对于一些薄壁截面梁的横截面上，有时存在着正应力和切应力都很大的点，如工字形截面梁腹板和翼缘交界处各点。
这样的点也可能成为危险点，需要进行强度校核，但该点的应力状态较复杂，需要利用强度理论讨论。
例8，轴颈直径，试校核其强度。
某辊轴直径D=21cmd=15cm受均布载荷作用，q=400kN/m。
若已知[σ]=100MPa，解辊轴中最大弯矩在C截面maxmaxzW=(M)σ≤[σ]Cmaxσ=MC90×103==99MPaπD3π×(21×10−2)33232轴颈中最大弯矩在D、E截面3232DmaxEmaxσ=σ=MD40×103=πd3π×(15×10−2)3=121MPa>[σ]不满足强度要求
例9如图所示一铸铁制成的梁。
已知截面图形对形心轴的惯性矩。
材料许用拉应力及许用压应力分别为，。
试按正应力强度条件校核强度。
74zI=4.5×10mm1，y=50mm，2y=140mmt[σ]=30MPac[σ]=140MPa
例10，[σ]=160MPa如图所示外伸梁受均布载荷作用。
试选择工字钢型号。
[τ]解绘制剪力图弯矩图Q=58kNmaxMmax=44.1kN·mmax63=276cm3[σ]MW≥z
一、合理地安排梁的支座和载荷合理安排支座和载荷，以降低最大弯矩。
maxM=1ql28max40M=1ql266
分散载荷辅助梁maxM=1Pl4max67M=1Pl
二、采用合理的截面形状弯曲截面系数Wz不仅与截面尺寸有关，还与截面形状有关。
为了减少材料的消耗，减少自重，应取Wz/A较大的截面形状。
从正应力分布角度分析梁横截面上的正应力是按线性分布的，靠中性轴越近应力越小。
工字形截面有较多面积分布在离中性轴较远处，作用着较大的面积，而矩形截面梁在中性轴附近分布较多承担较小应力的面积。
因此，当两种截面的最大应力相等时，工字形截面形成的弯矩较大，抗弯能力较强。
对于抗拉、压强度不等的材料，应使截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到，对于这种情况宜采用中性轴为非对称轴的截面
上述梁的合理截面形状是由满足弯曲正应力强度条件出发，仅由减少材料消耗、减轻自重的角度考虑。
工程实际中选用合理的截面，还必须综合考虑是否满足切应力强度条件、刚度条件和稳定性等条件，是否满足结构和使用上的要求以及工艺、管理等方面的因素，才能最后决定。
三、采用等强度梁横力弯曲时，梁的弯矩是随截面位置变化的，若设计成等截面梁，则除最大弯矩所在的截面以外，其他各截面的正应力均未达到许用应力值，材料强度得不到充分发挥。
为了减少材料消耗，减轻自重，可把梁制成横截面随截面位置变化的变截面梁。
变截面梁若截面变化比较缓慢，弯曲正应力公式仍可适用。
当变截面梁各横截面上的最大弯曲正应力相等，且等于许用应力，即maxzW(x)σ=M(x)=[σ]这种梁称为等强度梁。
z[σ]W(x)=M(x)等强度梁截面的变化规律
等高度矩形截面等强度梁h为常量6b(x)h2W(x)=2(0≤x≤l)x3Ph2[σ]M(x)=Px2b(x)=按上述设计左右两端点处ｂ=0。
从切应力强度条件考虑maxminP3Q32A2bhτ=max=2≤[τ]3P4h[τ]bmin=
四、合理地使用材料不同材料的力学性能是不同的，应尽量利用每一种材料的长处。
例：可将两种以上的材料按一定规律复合后，形成一种新的更好的新材料。
混凝土的抗压性能远高于抗拉性能，在用它制造梁时，可在梁的受拉区域放置钢筋，组成钢筋混凝土梁。
在这种梁中，钢筋承受拉力，混凝土承受压力。
夹层梁表层用高强度材料，芯子用轻质低强度的填充材料，这种梁既能降低自重，又能有足够的强度和刚度。
思考：
本章小结：
x1=MρEIzσ=MyIZmaxZσ=MW弯曲的应力分析和强度计算纯弯曲梁横截面上的正应力矩形截面梁的弯曲切应力QSIzbz*τ=max2bhτ=3Q平均=1.5τ梁弯曲时正应力强度条件maxmaxzσ=(M)≤[σ]W
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