11 第11章 梁的位移计算.pptx

第1页：第十一章梁的位移计算封面

第十一章梁的位移计算

第2页：梁的位移计算工程实例

梁的位移计算工程实例

本页以图示为主，源文件未提取到更多文字说明。

第3页：梁的位移计算工程实例

梁的位移计算工程实例

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第4页：工程实例本章对平面弯曲下梁变形的基本概念

工程实例本章对平面弯曲下梁变形的基本概念、基本方法以及简单静不定梁进行简要介绍。

第5页：§11-1 挠度、转角及其相互关系lqB

§11-1挠度、转角及其相互关系lqBxxyAvθ挠曲线：梁变形后的轴线。

在小变形情况下，任意横截面的形心位移是指ｙ方向的线位移，截面形心垂直于轴线方向的线位移称为挠度v=f(x)θ=θ(x)弯曲变形时，横截面绕中性轴转动的角度称为转角5--转角方程--挠曲线方程向上为正，向下为负逆转为正，顺转为负

第6页：即挠曲线方程的一阶导数为转角方程

dxθ≈tgθ=dvqABlxvθθ6横截面的转角与挠曲线在该截面处的斜率近似相等，即挠曲线方程的一阶导数为转角方程。

第7页：§11-2 挠曲线微分方程qABlxvθ

ρ(x)EIz1=M(x)232d2vdx2ρ1=±(+(dv))1dx()梁的位移计算§11-2挠曲线微分方程qABlxvθθ曲率公式挠曲线为一平面曲线，其上任一点的曲率zEIdx3dx2d2v=M(x)()(1+(dv)2)2±-挠曲线微分方程微小量

第8页：挠曲线近似微分方程

zdx2EId2v=±Mzd2v=Mdx2EI在小变形情况下正负号与弯矩符号规定及所取坐标系有关xyOM>0>0dx2d2vxyOM<002dxd2v<-挠曲线近似微分方程

第9页：§11-3 积分法求梁的位移

§11-3积分法求梁的位移zdx2EId2v=M(x)θ(x)=dv=∫M(x)dx+CdxEIzM(x)EI()v(x)=dxdx+Cx+Dz∫∫C,D为积分常数，由梁的位移约束条件确定。

挠曲线近似微分方程通解的积分常数确定以后，就得到了挠曲线方程和转角方程，这种求梁变形的方法称为积分法。

第10页：积分法求梁的位移公式推导

lx固定铰链支座x=0,v=0x=l,v=0梁的位移计算确定积分常数的条件有两类：边界条件和变形连续条件。

边界条件

位于梁支座处的截面，其挠度或转角常为零或为已知lxyy固定端约束10{v=0x=0θ=0}

第11页：积分法求梁的位移公式推导

x=0,v=0;x=2l,v=03x=l,v=v,θ=θ;31212变形连续条件2l3lxy边界条件11梁的位移计算变形连续条件：位于梁的中间截面处，其左右极限截面处的挠度和转角相等。

在中间铰链位置左右极限截面的挠度相等。

第12页：思考：用积分法计算图示梁的挠度

思考：

1. 用积分法计算图示梁的挠度和转角，其边界条件和连续条件是什么？答：边界条件x=0v=0连续性条件x=lv1=v2xqlyax=a+lv=0θ=

第13页：例1 梁的最大挠度和最大转角

1. 1、建立挠曲线近似微分方程取坐标系如图所示，弯矩方程M(x)=−P(l−x)=P(x−l)zd2v=P(x−l)dx2EI
2. 2、积分求通解−lx)+C2θ=∫P(x−l)dx=P(xEIzEIz

第14页：例1 确定积分常数

1. 3、确定积分常数x=0θ=v=0C=D=
2. 04、转角方程和挠曲线方程x2PEIz2(−lx)θ=lx2x3PEIz62v=(−)
3. 5、确定最大挠度和最大转角zmax2=−Pl2EIθPl3v=−3EIzEIzEIz22θ=∫P(x−l)dx=P(x−lx)+C

第15页：例2 简支梁挠曲线方程

1. 11、建立挠曲线微分方程
2. 2、积分求通解qB2q2lxyAqlqlzx−qx3+C264EIθ=q15qlzx+Cx+Dx−EIv=432412

第16页：例2 积分法求梁的位移算例

1. 03、确定积分常数x=0v=0qlzx−qx3+C264qqlzx−x+Cx+DEIθ=EIv=431224qB2lxxqlyAql
2. 24、转角方程和挠曲线方程(l3x2x3−)ql−1EIz4624θ=11632l3qxlEIz122424−x−)v=(x

第17页：积分法求梁的位移公式推导

例3111lM(x)=bFx2(a≤x≤l)求简支梁最大挠度，Ｆ已知，EI为常数。

2222lM(x)=bFx−F(x−a)解1、建立挠曲线微分方程BxlFb(0≤x1≤a)lFalaFbyAx12xCd2vbEI=Fxdx2l1(0≤x1≤a)d2vbEI=Fx−F(x−a)dx2l2217(a≤x2≤l)

第18页：例32 分两段积分3、确定积分常数2

1. 32、分两段积分
2. 3、确定积分常数2x1=0,v1=0x1=x=a,111116lEIv=bFx3+Cx+D2111bFxEIθ=+C2222222lbF2lEIθ=x−F(x−a)2+C22222EIv6l6=bFx3−F(x−a)3+Cx+DBxbFalaFbyAFl2x12lxC12θ1=θ2x2=l,v2=0

第19页：例34 转角方程和挠曲线方程5、求最

1. 34、转角方程和挠曲线方程
2. 5、求最大挠度设：a&gt;b,则最大挠度在AC段。最大挠度处截面的转角为零。1θ=03l2−b2x0=Fbl219l(3b2)2vmax=−1−293EI

第20页：§11-4 叠加法求梁的位移z在小变形和

§11-4叠加法求梁的位移z在小变形和材料服从胡克定律的条件下导出挠曲线近似微分方程d2v=M(x)dx2EI此方程为线性方程外力和弯矩之间也为线性关系}挠度和转角和外力之间为线性关系当梁上作用几种载荷时，各载荷同时作用引起变形，等于各载荷单独作用引起的变形的代数和--叠加原理。

叠加法求梁的变形

第21页：梁在简单载荷作用下的变形

梁在简单载荷作用下的变形

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第22页：梁的位移计算

梁的位移计算

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第23页：梁的位移计算

梁的位移计算

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第24页：梁的位移计算

梁的位移计算

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第25页：梁的位移计算

梁的位移计算

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第26页：思考：应用叠加法求梁的位移

思考：

1. 应用叠加法求梁的位移，必须满足的条件是什么？答：小变形，材料符合胡克定律。

第27页：lABlClqA27B梁的位移计算已知图

lABlClqA27B梁的位移计算已知图1B点的挠度和转角分别为ql4/8EI，ql3/6EI，图2C截面的转角为多少？

qql3/8EI

第28页：例4 如图所示简支梁

例4如图所示简支梁，ｑ，Ｆ，ＥＩ已知，试利用叠加法求vcqABFCl/2将荷载分解为两组解384EIvc1=−qBl5ql4AFl3vc2=−48EIBllFl/2A5ql4Fl3384EI48EIvc=vc1+vc2=−−

第29页：例5 如图所示悬臂梁

例5如图所示悬臂梁，ｑ，ＥＩ已知，试利用叠加法求vBvB1vB2qll/2BCCθCθ解B为自由端，CB段无内力，梁变形后CB段必保持为直线Aq(l/2)4ql48EI128EIvC=−=−C6EI48EIθ33=−q(l/2)ql=−llql4vB2=2tanθC=θ=−2C96EIql4ql47ql4128EI96EI384EIvB=vB1+vB2=−−=−ql4vB1128EI=vC=−

第30页：例6 如图所示外伸梁

例6如图所示外伸梁，Ｆ，ＥＩ已知，试利用叠加法求vDABCDFl/2l/2aθBθB解D为自由端，BD段无内力，梁变形后BD段仍保持为直线BFl216EIθ=Fl2a30vD=aθB=16EI将AB段视为简支梁，查表：

第31页：§11-5 梁的刚度条件提高粱刚度的主要

1. 0.0003−
2. 0.0005)l[θ]=(
3. 0.003−
4. 0.005)rad[v]=(
5. 0.0013−
6. 0.0025)l

第32页：例7 机床主轴的支撑和受力可简化为

试校核主轴的刚度。

内径，P1=2kN，例7机床主轴的支撑和受力可简化为如图所示的外伸梁，其中P1为由于切削而施加于卡盘上的力，P2为齿轮间的相互作用力。

主轴为空心圆截面，外径D=80mm，d=40mm，l=400mm，a=100mmP2=1kN，材料的弹性模量为E=200GPa。

规定主轴的许用转角和许用挠度为：卡盘Ｄ处的挠度不超过两轴承间距的1/104，轴承Ｂ处的转角不超过1/103rad。

ABCl/2l/2aP1D32P

第33页：例7 梁的刚度条件提高粱刚度的算例

1. 8.84×1046464)=
2. 1.885×10mmπD4I=(1−αz−
3. 32.65×10mmD2B2v(P)=θ(P)a=−2−4=−
4. 0.265×10radZB216EIPl2θ(P)=−−4=
5. 0.707×10radP1alθB(P1)=3EIZv=v(P)+v(P)=
6. 6.19×10−3mmDD1D2(l)(v)lvD=
7. 1.548×10−5<<[θ]−4(P)=
8. 0.442×10radB2θB=θB(P1)+θ满足刚度要求

第34页：所以一般选择合理的截面形状以增加惯性矩

二、提高粱刚度的主要措施增大截面惯性矩因为各类钢材的弹性模量比较接近，采用优质钢材对提高弯曲刚度意义不大，所以一般选择合理的截面形状以增加惯性矩。

如：采用薄壁工字形、箱形截面，或采用空心圆轴等。

尽量减少梁的跨度或长度因为梁的挠度和转角分别与梁跨度的立方和平方成正比，所以减少梁的跨度是提高粱的刚度的主要措施。

第35页：梁的位移计算增加支撑

梁的位移计算增加支撑

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第36页：从而减小梁的挠度和转角

EIzql4v=lxy梁的位移计算改善受力情况改善受力情况可以减小弯矩，从而减小梁的挠度和转角。

Plxyq8EIz36ql4v=

第37页：§11-6 简单静不定梁l梁支座约束力的

§11-6简单静不定梁l梁支座约束力的数目超出了独立的平衡方程数目，因而仅靠平衡方程不能求解--静不定梁。

qA37B

第38页：写出变形协调条件进行求解

变形比较法将Ｂ处约束去掉AB基本静定系静定基lqABRB加上ｑ及约束力变形协调条件3EI8EIRl3ql4vB=B−B8R=3ql比较基本静定系和原超静定系统在多余约束处的变形，写出变形协调条件进行求解。

lqAB相当系统vB=0=0MA

第39页：挠曲线方程

v=f(x)θ=θ(x)梁的位移计算本章小结挠曲线、挠度、转角、挠曲线方程、转角方程dxθ≈tgθ=dv挠曲线微分方程zEIdvdx32)2d2vdx2=M(x)))((1+(±zd2v=Mdx2EI

第40页：积分法求梁的位移边界条件和连续条件θ(x

积分法求梁的位移边界条件和连续条件θ(x)=dv=∫M(x)dx+CdxEIzzM(x)EI()v(x)=dxdx+Cx+D∫∫θmax≤[θ]叠加法求梁的位移梁的刚度条件vmax≤[v]

第41页：变形比较法

提高梁的刚度的主要措施增大截面惯性矩；改善受力情况；增加支撑；尽量减少梁的跨度或长度。

简单静不定梁--变形比较法

第42页：本章作业

本章作业：

1. （1）已知M，F，EI=常数，试利用积分法求挠曲线方程。
2. （2）已知q=8kN/m，l=5m，E=200GPa，[σ]=160MPa，(fl)=250。试选择工字钢型号。()