03 第02章 逻辑代数基础.pptx

第1页：第二章 逻辑代数基础

• 逻辑代数基础主要内容
• 基本逻辑运算
• 逻辑代数的基本公式和规则
• 逻辑函数的化简

第2页：逻辑代数

• 几个基本概念
• 逻辑：
• 逻辑学：
• 逻辑代数：
• 逻辑状态：
• 逻辑变量：
• 逻辑函数：
• 逻辑电路：指事物的规律性和因果关系。研究思维的形式和规律的科学。逻辑学中的数学分支。在电子领域用二值变量进行描述，称布尔代数，统称逻辑代数。完全对立、截然相反的二种状态，如：好坏、美丑、真假、有无、高低、开关等。代表逻辑状态的符号，取值0和1。输出是输入条件的函数，有一定的因果关系。电路的输入和输出具有一定的逻辑关系。

第3页：“与”运算（逻辑乘）

§1基本逻辑运算一、“与”运算（逻辑乘）⒈定义：决定一个事情发生的多个条件都具备，事情就发生，这种逻辑关系叫“与”逻辑。打开有两把锁的自行车。打开有两个串联开关的灯。例1：例2：例3：楼道里自动感应灯。

第4页：与运算真值表

与运算真值表：下表列出相关数据。

打开有两个串联开关的灯。设开关为A、B，合上为1，断开为0；灯为F，灯亮为1，灭为0⒉真值表全部输入条件的所有组合与输出的关系。 真值表例3：+uABF由“与”运算的真值表可知“与”运算法则为：0·0 = 0 1·0 = 00·1 = 0 1·1 = 1有0出0全1为1

第5页：逻辑代数

⒊表达式逻辑代数中“与”逻辑关系用“与”运算描述。“与”运算又称逻辑乘，其运算符为“·”或“”。两变量的“与”运算可表示为：F＝A·B或者F=AB简写为：F＝AB读作：F等于A与B

第6页：“或”运算（逻辑加）

二、“或”运算（逻辑加）⒈定义：决定一个事情发生的多个条件中，有一个或以上的条件具备，事情就发生，这种逻辑关系叫“或”逻辑。打开有两个并联开关的灯。例：A+uBF

第7页：或运算真值表

或运算真值表：下表列出相关数据。

⒉真值表打开有两个并联开关的灯。设开关为A、B，合上为1，断开为0；灯为F，灯亮为1，灭为0 真值表例：由“或”运算的真值表可知“或”运算法则为：0＋0 = 0 1＋0 = 10＋1 = 1 1＋1 = 1有1出1全0为0

第8页：逻辑代数

⒊表达式逻辑代数中“或”逻辑关系用“或”运算描述。“或”运算又称逻辑加，其运算符为“＋”或“”。两变量的“或”运算可表示为：F＝A＋B或者F=AB读作：F等于A或B

第9页：“非”运算（逻辑非）

三、“非”运算（逻辑非）⒈定义：某一事情的发生，取决于对另一事情的否定，这种逻辑关系叫“非”逻辑。如下电路中灯的亮灭。例：+uKF

第10页：非运算真值表

⒉真值表打开上例电路中的灯。设开关为k，合上为1，断开为0；灯为F，灯亮为1，灭为0真值表例：由“非”运算的真值表可知“非”运算法则为：KF011001＝10＝

第11页：表达式“非”逻辑用“非”运算描述

⒊表达式“非”逻辑用“非”运算描述。“非”运算又称求反运算，运算符为“－”或“¬”，“非”运算可表示为：F=A或F= ¬A读作“F等于A非”，意思是若A＝0，则F为1；反之，若A=1,则F为0。

第12页：逻辑代数

§2逻辑代数的基本公式和规则一、基本公式⒈基本运算与或0·0＝00＋0＝00·1＝00＋1＝11·0＝01＋0＝11·1＝11＋1＝11= 00 = 1非数值与数值的关系

第13页：基本公式和规则

⒈基本运算（续）0·A＝00＋A＝A1·A＝A1＋A＝1变量与数值的关系0－1律A＝AA·A＝A A＋A＝AA·A＝0 A＋A＝1变量与变量的关系⒉与普通代数相类似的公式A(B＋C)＝AB＋AC,A＋BC＝(A＋B)(A＋C)交换律结合律分配律A＋B＝B＋AA＋(B＋C)＝(A＋B)＋C重叠律对合律、非非律

第14页：逻辑代数的特有公式吸收律

逻辑代数的特有公式吸收律

A＋A·B＝AA·(A +B)＝AA＋A·B＝A+BA·(A +B)＝A·B摩根定理

BA·B＝A＋B包含律

A·B+A·C+BC＝A·B+A·C(A+B)·(A+ C)·( B+C )= (A+B)·(A+ C)尾部变换

第15页：两种常用的运算

• 两种常用的运算
• 异或:A B＝A·B＋A·B
• 同或:A⊙B＝A·B＋A·B变量相异为1,反之为0变量相同为1,反之为0A 0＝AA 1＝AA⊙0＝AA⊙1＝AA B＝A⊙BA⊙B＝AB

第16页：基本公式和规则

？AB=ACB=C?A+B=A+CB=C?请注意与普通代数的区别！

第17页：证明方法真值表法

证明方法真值表法

检查等式两边函数的真值表是否相等

代数法

应用已证明的公式、定理来推导

例1证明摩根定理

A＋B＝A·BA·B＝A＋B证

第18页：例2求解过程

例2

证明A B＝A⊙BA⊙B＝AB1 + 0＝10 + 0＝0110 + 0＝00 + 1＝1010 + 0＝01 + 0＝1100 + 1＝10 + 0＝000A

BABBA证

用真值表法证明

第19页：包含律

证明：推广之：CAABBCCAABBCD (G+E)BCCAABBCD(G+E)CAAB＋＝＋＋＝＋＋＋＝＋＋1吸收吸收例3：证明包含律CAABBCAABCCAAB＋＝＋＋＋＝

第20页：反演规则F＝(A+B)·(C+D)

二、基本规则⒈反演规则F＝(A+B)·(C+D)例1：已知F＝AB＋CD，根据反演规则可得到:如果将逻辑函数F中所有的“·”变成“+”；“+”变成“·”；“0”变成“1”；“1”变成“0”；原变量变成反变量；反变量变成原变量；所得到的新函数是原函数的反函数。即:“·”,“+”,“0”,“1”, “原变量”, “反变量”“+”,“·”,“1”,“0”, “反变量”,“原变量”

第21页：反演规则

使用反演规则时,应注意保持原函式中运算符号的优先顺序不变。例2：已知例3：已知长非号不变与变或时要加括号

第22页：对偶规则与逻辑函数

⒉对偶规则如果将逻辑函数F中所有的“·”变成“+”；“+”变成“·”；“0”变成“1”；“1”变成“0”；则所得到的新逻辑函数是F的对偶式F'。如果F'是F的对偶式，则F也是F'的对偶式，即F与F'互为对偶式。即:“·”,“+”,“0”,“1”, “变量”“+”,“·”,“1”,“0”,不变例:求某一函数F的对偶式时，同样要注意保持原函数的运算顺序不变。

第23页：逻辑函数与包含律

推理：若两个逻辑函数F和G相等，则其对偶式F’和G’也相等。例:证明包含律：(A+B)·(A+C)·(B+C)=(A+B)· (A+C)证:已知AB＋A C＋BC=AB＋AC等式两边求对偶：(A+B)·(A+C)·(B+C)=(A+B)· (A+C)证毕例：如则

第24页：代入规则

f(A1, A2, …, An)＋f(A1, A2, …, An)＝1任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。例如：给定逻辑等式A(B+C)=AB+AC，若用D+EF代替A，则该等式仍然成立，即：(D+EF)(B+C)=(D+EF)B+(D+EF)C由式(A+A=1)，故同样有等式：⒊代入规则

第25页：逻辑函数的化简真值表

§3逻辑函数的化简一、逻辑函数的表达形式函数表达式：真值表：卡诺图：例：函数F=AB + ACA B CF0 0 000 0 110 1 000 1 111 0 011 0 111 1 001 1 10卡诺图是一种用图形描述逻辑函数的方法。0 10 10 01 10 100011110CAB

第26页：逻辑函数

二、函数表达式⒈基本表达形式按逻辑函数表达式中乘积项的特点以及各乘积项之间的关系，可分5种一般形式。例：与或式与非－与非式与或非式或与式或非－或非式

第27页：最小项表达式

⒉最小项表达式⑴最小项及最小项表达式如果一个具有n个变量的函数的“积”项包含全部n个变量,每个变量都以原变量或反变量形式出现,且仅出现一次，则这个“积”项被称为最小项，也叫标准积。假如一个函数完全由最小项的和组成,那么该函数表达式称为最小项表达式。

第28页：最小项

最小项：下表列出相关数据。

变量的各组取值 对应的最小项及其编号最小项编号例：三变量函数的最小项：编号规则:原变量取1,反变量取0

第29页：即n个变量的所有最小项之和恒等于1

即n个变量的所有最小项之和恒等于1。所以=m2+m3+m6+m7注意：变量的顺序.=m(2, 3, 6, 7)

第30页：最小项的性质

2）当时，。⑵最小项的性质：1）只有一组取值使mi＝1。3）全部最小项之和等于1，即∑mi＝1。

第31页：最小项

最小项的性质(续)5）当函数以最小项之和形式表示时，可很容易列出函数及反函数的真值表（在真值表中，函数所包含的最小项填“1”）。4）n变量的最小项有n个相邻项。一对相邻项之和可以消去一个变量。相邻项：只有一个变量不同（以相反的形式出现）。

第32页：最小项表达式的求法一般表达式

⑶最小项表达式的求法一般表达式：→除非号→去括号→补因子真值表除非号去括号补因子方法

第33页：用真值表求最小项表达式

用真值表求最小项表达式例：函数F=AB + ACA B CF0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 11111其余补00000

第34页：由一般表达式直接写出最小项表达式

由一般表达式直接写出最小项表达式例：函数F=AB + AC所以:F=∑m(1,3,4,5)

第35页：最大项表达式

⒊最大项表达式⑴最大项及最大项表达式如果一个具有n个变量的函数的“和”项包含全部n个变量,每个变量都以原变量或反变量形式出现,且仅出现一次，则这个“和”项被称为最大项，也叫标准和。假如一个函数完全由最大项的积组成,那么该函数表达式称为最大项表达式。

第36页：最大项

最大项：下表列出相关数据。

变量的各组取值 对应的最大项及其编号最大项编号例：三变量函数的最大项：编号规则:原变量取0,反变量取1

第37页：所以与最小项类似

所以与最小项类似，有注意：变量顺序.例如：最大项表达式:F

第38页：最大项的性质

⑵最大项的性质：1）只有一组取值使Mi＝0。3）全部最大项之积等于0，即∏Mi＝0。2）当时，。

第39页：最大项

最大项的性质(续)4）n变量的最大项有n个相邻项。一对相邻项之积可以消去一个变量。5）当函数以最大项之积形式表示时，可很容易列出函数及反函数的真值表（在真值表中，函数所包含的最大项填“0”）。

第40页：最小项

以最小项之和的形式表示的函数可以转换成最大项之积的形式，反之亦然。=m(2, 3, 6, 7)F(A,B,C)=m(0, 1, 4, 5)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)而:所以,有F(A,B,C)=∑m(2,3,6,7)=∏M(0,1,4,5)F(A,B,C)=m(0,1,4,5)同理

第41页：？举例说明

？举例说明：Mi和mi的关系

第42页：逻辑函数

三、逻辑函数的化简同一个逻辑函数可以有多种表达形式，一种形式的表达式，对应一种电路，尽管它们的形式不同，但实现的逻辑功能相同，所以在实现某种函数的电路时，重要的是如何处理函数，以尽量少的单元电路、以及电路类型来达到目的。化简的意义：电路简单使用已有器件化简的方法：代数化简法（公式法）卡诺图化简法列表化简法

第43页：逻辑代数

该方法运用逻辑代数的公理、定理和规则对逻辑函数进行推导、变换而进行化简，没有固定的步骤可以遵循，主要取决于对公理、定理和规则的熟练掌握及灵活运用的程度。有时很难判定结果是否为最简。⒈代数化简法

第44页：1）表达式中"与项"的个数最少

1）表达式中"与项"的个数最少；2）在满足1）的前提下,每个"与项"中的变量个数最少。解：函数表达式一般化简成与或式，其最简应满足的两个条件：

第45页：

第46页：例：反演被吸收被吸收配项

例：反演被吸收被吸收配项

第47页：卡诺图

⒉卡诺图化简法将n个输入变量的全部最小项用小方块阵列图表示，并且将逻辑相邻的最小项放在相邻的几何位置上，所得到的阵列图就是n变量的卡诺图。卡诺图的每一个方块（最小项）代表一种输入组合，并且把对应的输入组合注明在阵列图的上方和左方。

第48页：变量卡诺图二变量卡诺图（A

⑴变量卡诺图二变量卡诺图（A，B）mom2m1m30101ABAB0101mom1m2m30101BABA0101

第49页：卡诺图

mom1m3m2m4m5m7m600 01 11 1001BCA三变量卡诺图mom1m2m3m6m7m4m50 100011110CAB00 01 11 1001BCA

第50页：卡诺图

00 01 11 1000011110CDAB0 13 2457 612 13 15 148 9 11 1000 01 11 1000011110CDAB四变量卡诺图

第51页：卡诺图

五变量卡诺图00000101101000011110CDEAB110111101100202123221819171628293130262725241213151410119845762310对称轴n≥5变量的卡诺图，可由n－1变量卡诺图在需要增加变量的方向采用镜像变换而生成。

第52页：每个小方格对应一个最小项

• 说明：
• 2个或以上变量，按循环码规则排列；
• 每个小方格对应一个最小项；
• 相邻方格的最小项，具有逻辑相邻性，即有一个变量互为反变量；
• 具有逻辑相邻性的方格有：相接——几何相邻的方格；相对——上下两边、左右两边的方格；相重——多变量卡诺图，以对称轴相折叠，重在一齐的方格。逻辑相邻的最小项可以消去互补变量

第53页：三变量卡诺图逻辑相邻举

三变量卡诺图逻辑相邻举例00 01 11 1001B CA相接相对00 01 11 1001B CA

第54页：卡诺图

四变量卡诺图逻辑相邻举例相接相对相对00 01 11 1000011110CDAB

第55页：卡诺图

⑵函数卡诺图用卡诺图法对逻辑函数进行化简时，首先要确定函数与卡诺图的关系，将函数用卡诺图的形式表现出来。方法真值表→填卡诺图表达式→一般与或式→填卡诺图化成最小项表达式→填卡诺图真值表、表达式、卡诺图都可以表达一个逻辑函数。

第56页：真值表与卡诺图

由真值表填卡诺图A B CF0 0 000 0 110 1 000 1 111 0 011 0 111 1 001 1 10mom1m2m3m6m7m4m50 100011110CAB0 100011110CAB对应最小项填1其余补00 11 0110 000 01 11 1001BCAmom1m3m2m4m5m7m600 01 11 1001BCA111 1000 0

第57页：最小项与卡诺图

0 13 2457 612 13 15 148 9 11 1000 01 11 1000011110CDAB111 1 11 100 01 11 1000011110CDAB由表达式→最小项表达式→填卡诺图举例

第58页：卡诺图

由一般与或式填卡诺图示例:三变量1 11 100 01 11 1001BCA00 01 11 1001BCA1111

第59页：卡诺图化简法

示例:四变量00 01 11 1000011110CDAB1111111111100 01 11 1000011110CDAB111111111

第60页：函数的卡诺图化简方法

⑶函数的卡诺图化简方法：1）填写函数卡诺图；2）合并最小项，对邻项方格画卡诺圈（含2n方格）；3）消去互补变量，直接写出最简与或式。

第61页：画圈原则

画圈原则：圈尽量大→消去的变量多圈尽量少→结果乘积项少要有新成份→没有冗余项使用方法：圈1→得到F原函数圈0→得到F反函数画的圈不同，结果的表达式形式可能不同，但肯定是最简的结果。圈1个格→消0个变量圈2 → 1圈4 → 2圈8 → 3…………

第62页：卡诺图

0101AB1 10101AB110101AB1 11二变量卡诺图的典型合并情况

第63页：卡诺图

00 01 11 1001BCA1111BC00 01 11 1001A1 11 11 1 1 101BCA00 01 11 10三变量卡诺图的典型合并情况

第64页：卡诺图

100 01 11 1000011110CDAB111111100 01 11 1000011110CDAB111111110001111000 01 11 10CDAB1111111111四变量卡诺图的典型合并情况

第65页：例1求解过程

ABCD0001111000011110不是矩形无效圈示例1

第66页：例2求解过程

无效圈示例2ABCD0001111000011111111111111101没有新变量.无效圈.

第67页：例1求解过程

ABC0001111001ABBCF=AB+BC例1：卡诺图化简

第68页：卡诺图化简举例化简

F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)ABCD0001111000011110A例2：化简

第69页：例3求解过程

ABCD0001111000011110ABD例3：化简

第70页：卡诺图与化简

F(A, B, C, D)=m(0, 5, 7, 9, 10, 12, 13, 14, 15)100 01 11 1000011110CDAB11111111解：1100 01 11 1000011110CDAB1111111例4：用卡诺图化简逻辑函数

第71页：卡诺图与化简

CD00 01 11 1000011110AB11111111100 01 11 1000011110CDAB11111不同的圈法，得到不同的最简结果F(A, B, C, D)=m(2, 3, 8, 9, 10,12, 13)例5：用卡诺图化简逻辑涵数

第72页：最小项互补,即编号互为补充

最小项互补,即编号互为补充例6：用卡诺图把逻辑函数F(A, B, C, D)=M( 3, 4, 6, 7, 11, 12, 13, 14,15)化简成最简"或与"表达式。

第73页：此处圈0,应理解为对反函数是圈

100 01 11 1000011110CDAB011001110000001原函数为0时,反函数为1.此处圈0,应理解为对反函数是圈1.F(A, B, C, D)=M( 3, 4, 6, 7, 11, 12, 13, 14,15)

第74页：无关最小项

⑴包含无关最小项的逻辑函数的化简无关最小项：一个逻辑函数,如果它的某些输入取值组合因受特殊原因制约而不会再现,或者虽然每种输入取值组合都可能出现,但此时函数取值为1还是为0无关紧要,那么这些输入取值组合所对应的最小项称为无关最小项。无关最小项用“d”或者“×”表示。⒊逻辑函数化简中两个实际问题的考虑无关最小项可以随意加到函数表达式中，或不加到函数表达式中，并不影响函数的实际逻辑功能。其值可以取1，也可以取0。

第75页：无关最小项举例

无关最小项举例例1 :十字路口红绿灯,设控制信号G=1→绿灯亮;控制信号R=1→红灯亮;则GR可以为GR=00、01、10，但GR ≠ 11。例2 :电动机正反转控制,设控制信号F=1→正传;控制信号R=1→反转;则FR可以为FR=00、01、10，但FR ≠ 11。例3 :8421BCD码中，从1010～1111的六种编码不允许出现，可视为无关最小项。

第76页：无关最小项与最小项真值表

A B C DF0 0 0 0d0 0 0 1d0 0 1 0d0 0 1 110 1 0 010 1 0 110 1 1 000 1 1 101 0 0 001 0 0 101 0 1 011 0 1 111 1 0 011 1 0 1d1 1 1 0d1 1 1 1d100 01 11 1000011110CDAB11111解：1)不考虑无关最小项：例1：给定某电路的逻辑函数真值表如下，求F的最简"与或"式。

第77页：无关最小项与最小项

A B C DF0 0 0 0d0 0 0 1d0 0 1 0d0 0 1 110 1 0 010 1 0 110 1 1 000 1 1 101 0 0 001 0 0 101 0 1 011 0 1 111 1 0 011 1 0 1d1 1 1 0d1 1 1 1d2)考虑无关最小项：100 01 11 1000011110CDAB11111dddddd这2个d看作“1”，其余d看作“0”

第78页：状态未给出

101状态未给出，即是无所谓状态。例2：已知真值表如图，用卡诺图化简。

第79页：含无关项的化简化简

ABC0001111001化简时可以将无所谓状态当作1或0，目的是得到最简结果。认为是1AF=A

第80页：多输出逻辑函数的化简(不要求)

对于多输出逻辑函数，如果孤立地将单个输出一一化简，然后直接拼在一起，通常并不能保证整个电路最简，因为各个输出函数之间往往存在可供共享的部分。多输出逻辑函数化简的标准：2）在满足上述条件的前提下，各不同"与项"中所含的变量总数最少。1）所有逻辑表达式包含的不同"与项"总数最小；⑵多输出逻辑函数的化简(不要求)

第81页：卡诺图

例：多输出函数.对应的卡诺图为100 01 11 1001ABC11F1100 01 11 1001ABC11F2F1,F2共含4个不同的与项。

第82页：从多输出函数化简的观点来看

从多输出函数化简的观点来看，它们不是最佳的，应该是：多输出逻辑函数的化简考试不要求对应的卡诺图为：100 01 11 1001ABC11F111100 01 11 1001ABCF2F1,F2共含3个不同的与项，其中ABC为共享部分。

第83页：逻辑代数

本章要求熟练掌握逻辑代数的基本公式和规则。熟练掌握逻辑函数的公式法化简和卡诺图化简方法。作业：2.3(7)2.4(4,7)2.5(4)2.10(1, 3, 5)本章结束