03 水力学上 第三章 流体运动学.pptx

第1页：第三章 流体运动学

在连续介质假设下，讨论描述流体运动的方法，根据运动要素的特性对流动进行分类。

• 本章的讨论是纯运动学意义上的，不涉及流动的动力学因素。

• 连续方程是质量守恒定律对流体运动的一个具体约束，也在本章的讨论范围之中。

第三章流体运动学

第2页：§3—1 描述流动的方法

§3—1描述流动的方法§3—2有关流场的几个基本概念§3—3流体微团运动的分析§3—4连续性方程第三章流体运动学

第3页：§3—1 描述流动的方法

§3—1描述流动的方法离散质点系刚体流体质点间的约束强无弱一.描述流体运动的困难质点数N个无穷无穷

第4页：离散质点系刚体流体

离散质点系、刚体与流体在质点数量与约束强弱上的对比，说明描述流体运动的困难所在。

第5页：六个自由度运动

六个自由度运动

• 编号，逐点描述

• 3N个自由度困难：

• 无穷多质点

有变形

• 不易显示离散质点系刚体流体

第6页：二、拉格朗日法

二.拉格朗日法

• 拉格朗日法是质点系法，它定义流体质点的位移矢量为：(a,b,c)是拉格朗日变数，即t=t0时刻质点的空间位置，用来对连续介质中无穷多个质点进行编号，作为质点标签。

(a,b,c)是拉格朗日变数，即t=t0时刻质点的空间位置，用来对连续介质中无穷多个质点进行编号，作为质点标签。

• 流体在运动过程中其它运动要素和物理量的时间历程也可用拉格朗日法描述，如速度、密度

• 流体在运动过程中其它运动要素和物理量的时间历程也可用拉格朗日法描述，如速度、密度等：ρ=ρ(a,b,c,t)u=u(a,b,c,t)

第7页：三、欧拉法

欧拉法是流场法，它定义流体质点的速度矢量场为：u=u(x,y,z,t)(x,y,z)是空间点（场点）。

流速u是在t时刻占据(x,y,z)的那个流体质点的速度矢量。

(x,y,z)是空间点（场点）。

三.欧拉法a=a(x,y,z,t)p=p(x,y,z,t)

• 流体的其它运动要素和物理特性也都可用相应的时间和空间域上的场的形式表达。

如加速度场、压力场等：

第8页：拉格朗日法与欧拉法对比

拉格朗日法欧拉法着眼于流体质点，跟踪质点描述其运动历程着眼于空间点，研究质点流经空间各固定点的运动特性布哨跟踪

第9页：恒定流与非恒定流

如果流场的空间分布不随时间变化，其欧拉表达式中将不显含时间t，这样的流场称为恒定流。

否则称为非恒定流。

• 欧拉法是描述流体运动常用的一种方法。

• 欧拉法把流场的运动要素和物理量都用场的形式表达，为在分析流体力学问题时直接运用场论的数学知识创造了便利条件

第10页：四、流体质点的加速度、质点导数

四.流体质点的加速度、质点导数

• 速度是同一流体质点的位移对时间的变化率，加速度则是同一流体质点的速度对时间的变化率。

• 通过位移求速度或通过速度求加速度，必须跟定流体质点，应该在拉格朗日观点下进行

第11页：一、二阶导数即可

∂tdtu(a,b,c,t)=dr(a,b,c,t)=∂r(a,b,c,t)∂2r(a,b,c,t)∂t2∂u(a,b,c,t)∂tdu(a,b,c,t)dt==a(a,b,c,t)=

• 若流动是用拉格朗日法描述的，求速度和加速度只须将位移矢量直接对时间求一、二阶导数即可。

• 求导时a,b,c作为参数不变，意即跟定流体质点

第12页：质点加速度的求法

跟定流体质点后，x,y,z均随t变，而且xyzdtd(x,y,z)=(u,u,u)

• 若流场是用欧拉法描述的，流体质点加速度的求法必须特别注意。

• 用欧拉法描述，处理拉格朗日观点的问题。

• )uz∂u+u∂u+u∂u=(∂∂tx∂xy∂y∂z∂t=∂u+ua=du=∂u+∂udx+∂udy+∂udzdt∂t∂xdt∂ydt∂zdtu=u(x,y,z,t)

第13页：质点加速度公式

dtdu∂u∂t(u

• )u=+质点加速度位变加速度由流速不均匀性引起时变加速度由流速不恒定性引起

第14页：加速度的时变项与位变项

a=du=∂u+(u

• )udt∂tzzzyzxzz∂z∂u+u∂y∂u+u∂x∂u+ua=dt∂tdu=∂uzxzxyxxxx∂z∂u+u∂y∂u+u∂x∂u+ua=dt∂tdu=∂uxayzyyyxy∂z∂u+u∂y∂u+u∂x+u=duy=∂uy∂udt∂t分量形式

第15页：加速度表达式的推导

MMΔtΔt′′=limdt0000Δt→0Δt→0−uM)+(uM−u)(u−uMa=du=limuM

• 时间因素与空间因素对加速度贡献的分解

• 时间因素与空间因素对加速度贡献的分解yxt+ΔtM0’∂u∂t(u

• )uyxzzMM0t

第16页：时变与位变加速度举例

时变加速度与位变加速度的示意举例，对比同一质点在不同时刻经过不同空间点的速度变化。

第17页：全导数与当地导数、迁移导数

dtd∂∂t(u

• )=+时变导数当地导数局部导数全质导点数导数位变导数迁移导数对流导数算子算子

第18页：密度的全导数与不可压缩条件

dtdρ=0ρ=constdρ=∂ρ+(u

• )ρdt∂tdρ=∂ρ+u∂ρ+u∂ρ+u∂ρdt∂tx∂xy∂yz∂z例如例如不可压是其特例

第19页：§3—2 有关流场的几个基本概念

§3—2有关流场的几个基本概念一.恒定流、非恒定流

• 若流场中各空间点上的任何运动要素均不随时间变化，称流动为恒定流。

否则，为非恒定流。

• 恒定流中，所有物理量的欧拉表达式中将不显含时间，它们只是空间位置坐标的函数，时变导数为零。

例如，恒定流的∂t∂u=0流速场：u=u(x,y,z)

• 恒定流的时变加速度为零，但位变加速度可以不为零

第20页：恒定流的相对性

流动是否恒定与所选取的参考坐标系有关,因此是相对的概念

第21页：二、迹线和流线

二.迹线和流线

• 迹线是流体质点运动的轨迹，是与拉格朗日观点相对应的概念。

• 拉格朗日法中位移表达式r=r(a,b,c,t)即为迹线的参数方程。

t是变数，a,b,c是参数

第22页：迹线的定义与求法

dr=u[x(t),y(t),z(t),t]dtdxux[x(t),y(t),z(t),t]dyuy[x(t),y(t),z(t),t]dzuz[x(t),y(t),z(t),t]===dt这是由三个一阶常微分方程组成的方程组，未知变量为质点位置坐标（x,y,z），它是t的函数。

给定初始时刻质点的位置坐标，就可以积分得到迹线。

这是由三个一阶常微分方程组成的方程组，未知变量为质点位置坐标（x,y,z），它是t的函数。

• 在欧拉观点下求迹线，因须跟定流体质点，此时欧拉变数x,y,z成为t的函数，所以迹线的微分方程为

第23页：流线的定义与性质

流线是流速场的矢量线，是某瞬时对应的流场中的一条曲线，该瞬时位于流线上的流体质点之速度矢量都和流线相切。

流线是与欧拉观点相对应的概念。

有了流线，流场的空间分布情况就得到了形象化的描绘

第24页：根据定义，流线的微分方程为

根据定义，流线的微分方程为

• 根据定义，流线的微分方程为u×dl=0dl=dxi+dyj+dzkdx=dy=dzux(x,y,z,t)uy(x,y,z,t)uz(x,y,z,t)ijkdxdydz=0uxuyuz实际上这是两个微分方程，其中t是参数。

可求解得到两族曲面，它们的交线就是流线族。

实际上这是两个微分方程，其中t是参数。

第25页：已知直角坐标系中的速度场

已知直角坐标系中的速度场：下表列出相关数据。

已知直角坐标系中的速度场ux=x+t；

uy=-y+t；

uz=0,试求t= 0时过M(-1,-1)点的流线。

解解

dx=dy=dzuxuyuzux=x+t；

uz=0=dxdyx+t−y+t(x+t)(-y+t) =C(x+t)(-y+t) =Ct=0时过M(-1,-1)：C=-1积分xy=1xy=1由流线的微分方程：t=0时过M(-1,-1)点的流线：举例举例

第26页：流线与迹线计算例题

流线与迹线计算例题：下表列出相关数据。

t= 0时过M(-1,-1)

2C1=C=0已知直角坐标系中的速度场ux=x+t；

uy=-y+t；

uz=0,试求t= 0时过M(-1,-1)点的迹线。

已知直角坐标系中的速度场ux=x+t；

解解

ux=x+t；

uz=0求解x+y=-2x+y=-2由迹线的微分方程：dx=dy=dz=dtuxuyuzdtdx=x+tdtdy=−y+t21y=Ce−t+t−1x=Cet−t−1x=-t-1y=t-1消去t，得迹线方程：举例举例

第27页：过M点的流线与迹线示意图

流线xy迹线ot=0时过M(-1,-1)点的流线和迹线示意图M(-1,-1)

第28页：流线与迹线的区别

在非恒定流情况下，流线一般会随时间变化。

在恒定流情况下，流线不随时间变，流体质点将沿着流线走，迹线与流线重合。

• 迹线和流线最基本的差别是：迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观点对应，而流线是同一时刻、不同流体质点速度矢量与之相切的曲线，与欧拉观点相对应。

即使是在恒定流中，迹线与流线重合，两者仍是完全不同的概念。

• 根据流线的定义，可以推断：除非流速为零或无穷大处，流线不能相交，也不能转折

第29页：流线与迹线的拍摄方法

本页说明如何用摄像机获取流线与迹线，并给出二者的观测与记录方法。

第30页：三、流管和流量流线

三.流管和流量流线

• 在流场中，取一条不与流线重合的封闭曲线L，在同一时刻过L上每一点作流线，由这些流线围成的管状曲面称为流管。

• 与流线一样，流管是瞬时概念。

• 根据流管的定义易知，在对应瞬时，流体不可能通过流管表面流出或流入。

第31页：与流动方向正交的流管的横断面

与流动方向正交的流管的横断面

• 过水断面为面积微元的流管叫元流管，其中的流动称为元流。

• 过水断面为有限面积的流管中的流动叫总流。

总流可看作无数个元流的集合。

总流的过水断面一般为曲面。

dA1u1dA2u2

• 过水断面

• 过水断面与流动方向正交的流管的横断面

第32页：质量流量与体积流量

称为质量流量，记为Qm，单位为kg/s.流量计算公式中，曲面A的法线指向应予明确，指向相反，流量将反号。

闭曲面的法向一般指所围区域的外法向。

• ndA称为质量流量，记为Qm，单位为kg/s.流量计算A公式中，曲面A的法线指向应予明确，指向相反，流量将反号。

• 通过流场中某曲面A的流速通量

• ndAA称为流量，记为Q，它的物理意义是单位时间穿过该曲面的流体体积，所以也称为体积流量，单位为m3/s.dAuAn

第33页：断面平均流速与流量

为，其中uA为流速的大小。

udA

• 定义体积流量与断面面积

• 总流过水断面上的流速与法向一致，所以穿过速过水断面A的流量大小为断面平均流，它是过水断面上不均匀流速u的一个平均值，假设过水断面上各点流速大小均等于v，方向与实际流动方向相同，则通过的流量与实际流量相等。

A之比v=Q

第34页：四、均匀流、非均匀流

位变导数(u

• )u=0？

均匀流非均匀流四.均匀流、非均匀流；

渐变流、急变流均匀流的流线必为相互平行的直线，而非均匀流的流线要么是曲线，要么是不相平行的直线。

均匀流的流线必为相互平行的直线，而非均匀流的流线要么是曲线，要么是不相平行的直线。

判别：

第35页：均匀流与非均匀流

uxazyx

• 例如，以下的流动是均匀流：ux=ux(y),uy=uz=0

• 应注意将均匀流与完全不随空间位置而变的等速直线流动u=const相区别，前者是流动沿着流线方向不变，后者是流动沿着空间任何方向不变。

后者是均匀流的一个特例。

第36页：这些均匀流的运动学特性

在实际流动中，经常会见到均匀流，如等截面的长直管道内的流动、断面形状不变，且水深不变的长直渠道内的流动等。

• 恒定均匀流的时变加速度和位变加速度都为零，即流体质点的惯性力为零，将作匀速直线运动。

若总流为均匀流，其过水断面是平面。

这些均匀流的运动学特性，将给以后处理相关的动力学问题带来便利，因此在分析流动时，特别关注流动是否为均匀流的判别

第37页：渐变流与急变流

是否接近均匀流？

渐变流流线虽不平行，但夹角较小；

流线虽有弯曲，但曲率较小。

急变流流线间夹角较大；

流线弯曲的曲率较大。

• 渐变流和急变流是工程意义上对流动是否符合均匀流条件的划分，两者之间没有明显的、确定的界限，需要根据实际情况来判定

• 渐变流和急变流是工程意义上对流动是否符合均匀流条件的划分，两者之间没有明显的、确定的界限，需要根据实际情况来判定是否

第38页：急变流示意图

急变流示意图，展示流线弯曲明显、过水断面上动水压强偏离静水压强分布的情形。

第39页：五、流动按空间维数的分类一维流动

五.流动按空间维数的分类一维流动二维流动三维流动平面流动平面流动轴对称流动轴对称流动

• 任何实际流动从本质上讲都是在三维空间内发生的，二维和一维流动是在一些特定情况下对实际流动的简化和抽象，以便分析处理

第40页：平面流动的流函数

• ux=ux(x,y,t)=u(x,y,t)

u=0

• 直角系中的平面流

• 直角系中的平面流动：=0∂zuz=0∂流场与某一空间坐标变量无关，且沿该坐标方向无速度分量的流动。

流场与某一空间坐标变量无关，且沿该坐标方向无速度分量的流动。

xyoxzou0u0y大展弦比机翼绕流

• 二维流动

第41页：轴对称流动

轴对称流动：下表列出相关数据。

=u(r,z,t)

uzz

• ur=ur(r,z,t)

• uθ=0

• 柱坐标系中的轴对称流

• 柱坐标系中的轴对称流动：∂=0∂θuθ=0液体在圆截面管道中的流动rθzo子午面

第42页：一维流动与总流简化

流动要素只取决于一个空间坐标变量的流动

• 在实际问题中，常把总流也简化为一维流动，此时取定空间曲线坐标s的值相当于指定总流的过水断面，但由于过水断面上的流动要素一般是不均匀的，所以一维简化的关键是要在过水断面上给出运动要素的代表值，通常的办法是取平均值。

• 一维流动

• 一维流动其流场为s—空间曲线坐标u=u(s,t)

• 元流是严格的一维流动，空间曲线坐标s沿着流线

第43页：六、系统和控制体

六.系统和控制体

• 由确定的流体质点组成的集合称为系统。

系统在运动过程中，其空间位置、体积、形状都会随时间变化，但与外界无质量交换。

• 有流体流过的固定不变的空间区域称为控制体，其边界叫控制面。

不同的时间控制体将被不同的系统所占据。

• 站在系统的角度观察和描述流体的运动及物理量的变化是拉格朗日方法的特征，而站在控制体的角度观察和描述流体的运动及物理量的变化是欧拉方法的特征

第44页：系统与控制体概念

占据有限体积系统流体团微分体积系统流体微团最小的系统流体质点有限体积控制体微元控制体场点大小

第45页：§3—3 流体微团运动的分析

§3—3流体微团运动的分析

• 考察和分析流体质点之间的相对位移和相对运动。

• 谈及相对运动就必须把讨论问题的尺度从流体质点扩大到流体微团。

• 给出在同一时刻流体微团中任意两点速度之间的关系。

• 分析流体微团的运动形式

第46页：一、亥姆霍兹速度分解定理

一.亥姆霍兹速度分解定理

• 在M点的一阶台劳展开，以x方向分量为例。

Mˆ(x+dx,y+dy,z+dz)uˆu

• uˆ在M点的一阶台劳展开，以x方向分量为例。

drM(x,y,z)

第47页：流体微团的速度分解

• uˆ≈u+

∂ux

dx+

∂ux

dy+

∂ux

dzx

• =u∂x

• +∂uz

• dz∂x

• +∂uy

• dy+1

• ∂ux2∂y2

• ∂x∂x

• ∂ux+∂ux

• dx+1

∂ux

• −∂uz

• dz∂x

• −∂uy

• dy+1

• ∂ux2∂y+1

• ∂ux≡ux+εxxdx+εxydy+εxzdz−ωzdy+ωydzuˆy=uy+εyydy+εyzdz+εyxdx−ωxdz+ωzdxuˆz=uz+εzzdz+εzxdx+εzydy−ωydx+ωxdy同理

第48页：微团速度分解的一般形式

uˆ=u+[

• dr+Ω×druˆx=ux+εxxdx+εxydy+εxzdz−ωzdy+ωydzuˆy=uy+εyydy+εyzdz+εyxdx−ωxdz+ωzdxuˆz=uz+εzzdz+εzxdx+εzydy−ωydx+ωxdy合并成矢量形式流体微团中任意两点间速度关系的一般形式。

亥姆霍兹速度分解定理

第49页：速度分解式的矢量表达

• yyxyyyz

• zxzyzz

• xxxyxz

• +∂uy

• +∂ux

• εεε=

∂z1

• ∂u∂z

• ∂y∂u

• ∂u∂y

• ∂z∂u

∂u2

∂y1

∂u2

• ∂x∂y

∂u1

• ∂ux+∂uz

• ∂y∂x

• ∂z∂x

∂ux

∂x1

• ∂ux[

• ]=ε主对角线上三个元素是线变形速率其余的是角变形速率流体的变形速率张量，是二阶对称张量

第50页：流体旋转角速度矢量

流体旋转角速度矢量，它恰是流速场的旋度矢量的一半。

2=1

• ×uzxyz∂y

• −∂ux

• ∂x−∂uz

• ∂uy∂z

∂y1

• ∂u−∂uy

• ∂ux=(ω,ω,ω)=Ω∂x∂y∂zuxuyuzijk∂∂∂旋度

×u=

第51页：二、流体微团运动分析

二.流体微团运动分析

• 以oxy平面上的运动为例，解释[E]和

• 的含义，进而给出亥姆霍兹速度分解定理的物理意义，分析流体微团的运动。

• 以oxy平面上的运动为例，解释[E]和Ω的含义，进而给出亥姆霍兹速度分解定理的物理意义，分析流体微团的运动。

M’Mˆ′A’B’ABMˆxyott+dtMdxdy

第52页：线变形速率

M’Mˆ′A’B’ABMˆxyott+dtxx∂xε=∂ux

• 由A点相对于M点的x方向的速度差引起∂uxMA的伸长=∂xdxdt表示单位时间、x方向单位长度流体线段的伸长，即x方向的线变形速率。

xdxdt∂x∂uMdxdy

第53页：角变形速率

M’Mˆ′A’B’ABˆxyott+dtMdxdydθ1dθ2∂xdxdt∂uyxdydt∂yM∂u,直角AMB的减小:12dθ+dθ=dt1y∂x∂u

• dθ=2∂ydθ=∂uxdtx

• ∂x+∂uy

• ∂y∂uεxy+∂uy

∂ux

• ∂y∂x

• 表示oxy坐标面上流体直角减小速率的一半，也称为角变形速率

第54页：微团旋转角速度

M’Mˆ′A’B’AMBMˆxyott+dtdxdydθ1dθ2∂x∂uydxdt∂y∂uxdydt表示oxy坐标面上两直角边旋转的平均速率，即直角平分线的旋转速率，也是M点处流体平均旋转角速度矢量在z轴上的分量。

直角边MA，MB的逆时针转过角度的平均值:dt,1y∂x∂u

• dθ=2∂ydθ=∂uxdt12(dθ1−dθ2)xydt

• −2∂x∂u

• xyz∂u

• ∂uω=

• 2∂x∂y1

第55页：亥姆霍兹速度分解定理各项的物理意义

亥姆霍兹速度分解定理各项的物理意

• 亥姆霍兹速度分解定理各项的物理意义：

• :点的流速；

• :流体变形率张量[E]对两点相对运动速度的贡献，包括线变形和角变形；

• :流体平均旋转角速度

• 引起的两点相对运动速度。

• uˆ:Mˆ点的流速；

• u:M点的流速；

• dr:流体变形率张量[E]对两点相对运动速度的贡献，包括线变形和角变形；

• :流体平均旋转角速度Ω引起的两点相对运动速度。

uˆ=u+[

• dr+Ω×dr平移变形转动基准点是展开点M

第56页：速度分解与刚体运动的异同

流体刚体适用范围转动速度变形速度流体微团因点而异有无不随点变整个刚体

• 流体速度分解与刚体速度分解的异同

第57页：三、有旋流动和无旋流动旋度无旋流

唯一的标准是看流速场是否满足，写成分量形式为：量形式为：

• 判别：三.有旋流动和无旋流动旋度无旋流动有旋流动

• ×u=0?

∂uy∂x∂y∂uz∂y∂z=∂ux∂ux=∂uz∂z∂x=∂uy,,唯一的标准是看流速场是否满足

• ×u=0，写成分这个分类是很重要的

第58页：无旋流动有势流动等价

无旋流动有势流动等价

• ×u=0dφ=uxdx+uydy+uzdzu=

uz=

• ∂z∂φ∂y=∂φ∂x=∂φLL

dl=

• uxdx+uydy+uzdz=0φ称为速度势函数

第59页：有旋流动与有势流动的判别

有旋流动和有势流动的判别仅在于流速场的旋度是否为零。

不要根据流线是直线或曲线来直观判别，以免出错。

• =k/r

• ur=0

uθy

• ux=ky

• =0流线是直线，有旋流线是圆周，无旋xyoxyo

第60页：一、三维流动的连续性微分方程

xyzodxdyuxabcda’dzb’c’d’净流入前后这一对表面的流体质量为一.三维流动的连续性微分方程

• 在时间段dt里，从abcd面流入微元体的流体质量为xρudydzdtxdx

• dydzdt

• ∂x+∂(ρux)ρu∂x−∂(ρux)dxdydzdt从a’b’c’d’面流出的流体质量为

第61页：§3—4 连续性方程

§3—4连续性方程

• 连续性方程——质量守恒定律对流体运动的一个基本约束

• 用欧拉观点对质量守恒原理的描述：连续介质的运动必须维持质点的连续性，即质点间不能发生空隙。

因此，净流入控制体的流体质量必等于控制体内因流体密度变化而增加的质量

第62页：连续方程的微元分析

xodxabcddzb’dyuzc’yd’

• 同理可知，在时间段dt里，沿着y方向和z方向净流入左右和上下两对表面的流体质量分别为∂y−∂(ρuy)dxdydzdt∂z−∂(ρuz)dxdydzdt和za’uy

第63页：连续方程微分形式

∂t∂x∂y∂z−∂(ρux)dxdydzdt−∂(ρuy)dxdydzdt−∂(ρuz)dxdydzdt=∂ρdxdydzdt=0+zy+x+∂z∂(ρu)∂y∂(ρu)∂ρ∂(ρu)∂t∂x∂ρ+

• (ρu)=0∂t三维流动的连续性微分方程

• 在时间段dt里，微元内流体质量的增加∂t∂ρdxdydzdt

• 根据质量守恒原理简化或写成

第64页：恒定流动的连续方程

恒定流动的连续方程

• (ρu)=∂(ρux)+∂(ρuy)+∂(ρuz)=0∂x∂y∂z

• 对于不可压缩流体的流动（不论是恒定或非∂u∂u∂u恒定），连续方程为∂z=0zy+∂y

• u=x+∂x

第65页：速度场的散度

∂x∂y∂z+∂uz+∂uy

• u=∂ux速度场的散度流体微团在三个互相垂直方向上的线变形速率之和，也是流体微团的体积膨胀率。

• 连续方程表明不可压缩流体微团在三个互相垂直方向上的线变形速率的总和必为零，若在一个方向上有拉伸，则必有另一个方向上的压缩，在运动过程中其体积不会发生变化。

• 连续方程

• u=0表明不可压缩流体微团在三个互相垂直方向上的线变形速率的总和必为零，若在一个方向上有拉伸，则必有另一个方向上的压缩，在运动过程中其体积不会发生变化

第66页：极坐标下的连续方程

试用微元分析法在极坐标中写出平面流动的微分形式连续方程

• 试用微元分析法在极坐标中写出平面流动的微分形式连续方程uθourrdθdrθdθr∂θr

• ∂t∂r∂ρ+1∂(ρrur)+∂(ρuθ)

• =0∂t∂rrr∂θ∂ρ+∂(ρur)+ρur+1∂(ρuθ)=0

第67页：二、恒定总流的连续性方程

恒定条件下：

• 总流管的形状、位置不随时间变化。

• 总流内的流体是不存在空隙的连续介质，其密度分布恒定，所以这段总流管内的流体质量也不随时间变化。

• 没有流体穿过总流管侧壁流入或流出，流体只能通过两个过流断面进出控制体。

• 恒定条件下：二.恒定总流的连续性方程

• 控制体：上游过水断面A1和下游过水断面A2之间的总流管A1A2QmQm

第68页：总流连续方程

A1A2

• ρudA=

• ρudA

• 根据质量守恒定律即可得出结论：在单位时间内通过A1流入控制体的流体质量等于通过A2流出控制体的流体质量。

通过恒定总流两个过水断面的质量流量相通过恒定总流两个过水断面的质量流量相等。

恒定总流连续方程

• 又若流体不可压，ρ=constQm1=Qm2A1v1=A2v2A1A2

• udA=

• udA即或通过恒定总流两个过水断面的体积流量相通过恒定总流两个过水断面的体积流量相等。

Q1=Q2

第69页：流线疏密与流速的关系

对于不可压缩流体，根据连续方程，容易理解为什么流线的疏密能够反映流速的大小。

• 在有分流汇入及流出的情况下，连续方程只须作相应变化。

质量的总流入=质量的总流出。

Qm2Qm1=Qm2+Qm3Qm1Qm3