30 水力学下 第二十讲 二维非恒定流.pptx

第1页：内容提要

第20讲二维非恒定流雷诺方程基本假定水面条件底部条件浅水方程边界条件与实例ϖ小结ϖ非恒定流总结作业：本ppt的后面内容提要ϖ二维浅水方程重点

第2页：一基本概念

一基本概念：下表列出相关数据。

一基本概念、知识1符号说明zbhη=h+zbzyxox1x3x2u3u1(u)(w)u2(v)，。

ϖ坐标xi，i=1,2,3,z=x3;

ϖ流速ui，i=1,2,3,w=u3;

ϖ下脚标i=1,2,3,j=1,2,3j为求和指标,l=1,2l为求和指标;

1j1j∂ui∂ui∂x+u2∂x+u3∂x23∂ui∂ui∂x∂t∂ui∂ui＝+u例：+u∂ti为自由指标，j为求和指标ϖ自由水面高程η(x,y,t)底部高程zb，水深hη(x,y,t)=z(x,y)+h(x,y,t)b

第3页：一、基本概念、知识一.基本概念

一.基本概念、知识一.基本概念、知识dydxdzyxzPzτzxτzyPxτxzτxyPyτyzτyx2不可压缩流动的N-S方程连续方程jjiijiiji∂x1∂τρ∂xρ∂x∂∂1∂p∂t(u)+(uu)=X−+(i,j=1,2,3)∂(u)=0j∂xj（j=1,2,3）雷诺方程jijiij∂t∂xρ∂xiρ∂x−1∂p+1∂τTij∂(u)+∂(u u)=XτTij=(τij−ρui'uj')

第4页：一 基本概念与基本假定

一基本概念、知识3基本假定,h)垂向变化忽略不计，w=0,∂()=0,得静水压分布∂z2）渐变流（流线平行，水面波动数值与水深相比为小量）p=−ρg(z−η；

)1）垂向流速及其(ui3）局部损失不计

第5页：垂向动量方程的简化

一基本概念、知识4垂向动量方程的简化

• 略去动量方程中垂直方向上的所有加速度项和应力项，得到静水压力分布方程p=ρg(η−x3)+pa5平均值的定义ηηui=(

• zbuidz)/hTij=(

• zbτijdz)/hijijjij′′∂u∂x∂x)−ρuuτ=μ(∂ui+

• 平均流速

• 平均应力

• 应力定义

第6页：一、基本概念、知识一.基本概念

一.基本概念、知识一.基本概念、知识6自由表面运动学条件lDt∂t∂ηlη∂xηu=w|=Dη=∂η+u3η

• 座标方程

• 运动方程z=η(x,y,t)7底部运动学条件z=zb(x,y)llzb∂x∂zbu3zb=wzb=u

• 座标方程

• 运动方程

第7页：一基本概念、知识z=η

一基本概念、知识z=η(x,y,t)Z(x3)Y(x2)X(x1)ou3(w)u2(v)u1(u)9.方程沿水深积分h(x,y,t)ηb

• zF(,x,y,z,t)dz=0z=zb(x,y)F(x,y,z,t)=08莱布尼兹（Leibnitz）公式baiiiib∂xa∂xfdx=dx+f−f∂x∂b∂f∂b∂a

a∂x

• 33ababa∂xi∂xi∂b+f∂abfdx−f∂xi∂dx=∂f∂xi

第8页：二 浅水方程 连续方程

二 浅水方程 连续方程：下表列出相关数据。

二.浅水方程二.浅水方程zbhη=h+zbzyoxx1x3x2u3u1(u)(w)u2(v)1连续方程

• dz=0∂x

dz+

dz=

• zbzb

∂ul

∂u3

∂uj

• (u)dz=0b

• zlη∂η+∂∂t∂xl|=0+∂zbbl

• zllzb∂xl∂z(u)dz−u|+u∂xl∂xlw|−w|bηηη∂η∂t∂xll∂η+∂(uh)=0l=1,2自由表面运动学条件l∂ηηu=w|=Dη=∂η+u3η底部运动学条件lzblzb∂xDt∂tlη∂x∂zbu=w=u3zb

第9页：二维浅水方程 x,y动量方程

二浅水方程二浅水方程2x,y动量方程(i=1,2)ijijjiijiij∂(τ−ρu'u')ρ∂xρ∂x−1∂p+1∂t∂x∂(u)+∂(uu)=Xbz

∂xl

dz+

dz+

• ∂xj∂∂∂tη

• ∂uiul

∂ui

• ∂x3η

• ∂uiu3

• (uiuj)]dz=

• z(ui)+[iizb|zb∂zb∂t∂t

dz=

∂zb

• ∂t∂u

• (ui)dz−u|η+uiηη∂η

∂x3

• dz=uiu3|η−uiu3|zbη

• ∂uiu3

• b|zb∂xl∂zb∂xl(uiul)dz−uiul∂xl∂

dz=

∂xl

• z|η+uiulηη

• ∂uiul

• ∂η=0iijib∂xl∂t∂hu+∂huiul∂xj∂∂∂t

• zη(uu)]dz=(u)+[

第10页：x,y动量方程（续

二浅水方程二浅水方程2x,y动量方程(i=1,2)iiij∂t∂xjρ∂xjρ∂xi+1∂τTij−1∂p∂(u)+∂(uu)=Xp=ρg(η−x3)+paiibb＝−gh（∂h＋∂zb）∂xi∂xi∂xidz=−gh∂xidz=−g∂xib

−∂x

dz=

z−g

• z∂η∂η∂ηρ∂xi

• ρ∂xρηηη

1∂p

• −1∂p=−1[ρg(η−x)+p]=−g∂η3a由静水压力假设

第11页：x,y动量方程（续二

二浅水方程二浅水方程x,y动量方程(i=1,2)ijijiij∂t∂xρ∂xρ∂x−1∂p+1∂τTij∂(u)+∂(uu)=Xzbllilljbb|zb∂x∂zb|∂x∂xl∂zb∂xl∂xl∂+

∂xl

∂x3

dz+

dz=

• −τ|zb+τTil∂η||−τ=∂(hT)+τ|+τTil∂ητTildz−τTil=τTi3ηTil∂xηTi3ηTi3|η−τTi3|zbη

• ∂τTil

• ∂τTi3

• ∂τTij

• zbljijτTη∂∂x

dz=

• ∂xη∂

• (hTil)+τi−τiliTi3ηTil∂xη∂η|τη=τ|−τzbli|Ti3zbTil∂x∂zb|−τzb=ττττcosβsinβ22η1η2wawa=Cρω=Cρω水面风应力底部阻力切应力积分

第12页：二浅水方程二浅水方程

二浅水方程二浅水方程)=0ll∂t∂x∂h+∂(hu2biiibiilli−τ)/ρ+(τη∂x∂z(gh)=−gh∂1∂x2(huu)+(hu)+∂t∂x∂∂zbhη=h+zbzyoxx1x3x2u3u1(u)(w)u2(v)底部阻力时间变化对流项压力项重力底部阻力ibiu22u21C2+uρgτ=连续方程动量方程水面风应力单宽流量空间变化水深时间变化dJf=v/(cR)22(v±2gh)=g(i−Jf)dt,1D情况

第13页：二浅水方程二浅水方程

二浅水方程二浅水方程=0l∂h+∂hu∂t∂xliliil∂t∂x∂xigh)=S12∂(hu)+∂(huu)+∂(2连续方程动量方程ililliiillli∂x+gh∂h∂tl∂x∂u+u∂ui∂∂ti∂x∂xl∂x∂ti∂x+u∂h+u∂th∂ui(hu)]+h[=[u∂h+u∂(u)+gh∂h∂(hu)+hu=Si/h∂xi∂h(ui)+g∂xl∂+ul∂t∂ui=0(连续方程）1112+g∂h+u∂u1+u∂u1=S/h∂t∂x1∂x2∂x∂u1=0∂h+u∂h+h∂u1+u∂h+h∂u2∂t1∂x∂x2∂x∂x1122连续方程X方向动量方程y方向动量方程2=S/h∂t1∂x∂x2∂x122∂u2+u∂u2+g∂h+u∂u2

第14页：浅水方程的各项展开

二浅水方程二浅水方程1222111+0∂u2=S/h+0∂h+u∂u1+0∂u2+g∂h+u∂u1∂t∂x1∂x∂x∂x2∂x∂x∂u121+h∂u2]=02∂x∂x∂x22∂h+0∂u1+0∂u2]+[u∂t1∂x∂x∂x11∂h+[u∂h+h∂u1连续方程X方向动量y方向动量22221=S/h+u∂u2∂x∂x2∂x+g∂h+0∂u1+u∂u21∂x1∂x1∂x∂t∂u2+0∂h+0∂u1

S/h

S/h

∂xu

• 0u20u20g

• hu10u1g0∂

• 时间变化项X方向变化（压力、动量改变）y方向变化（压力、动量改变）右向量（重力、阻力）

第15页：二浅水方程二浅水方程

二浅水方程二浅水方程

S/h

• S1/h

• u20u20

• 01hu10

• u1h0

gu0

u0h

• 0u20

• λ2=u1+c

• λ3=u1−c

• λ1=u1

• 32221

• ω=uω=u∂U+G∂U+H∂U=R∂t∂x1∂x2特征向量特征2向量

• ω=u+c−c+A=S∂t∂s∂U∂U

0S=

• g(i−Jf)

• 一维圣维南方程T2112R=[0,S/h,S/h]U=[h,u,u]Tλ+=v+cλ−=v−c特征向量

第16页：三、二维流动举例与边界条件三.二

三、二维流动举例与边界条件三.二：下表列出相关数据。

三.二维流动举例与边界条件三.二维流动举例与边界条件D圆柱CABu=u0v=0v=0v=0u=v=0h=h0例1

第17页：三、二维流动举例与边界条件三.二

三、二维流动举例与边界条件三.二：下表列出相关数据。

三.二维流动举例与边界条件三.二维流动举例与边界条件例2溃坝水流h=5mh=10mHDCAGFEu=v=0u=v=0Bh=5mh=10m6810H050100150X050100150200200Y

第18页：溃坝模拟溃坝模拟

溃坝模拟溃坝模拟6810H050100150X050100150200200Y6810H050100150X050100150200200Y

第19页：三、二维流动举例与边界条件三.二

三、二维流动举例与边界条件三.二：下表列出相关数据。

三.二维流动举例与边界条件三.二维流动举例与边界条件例3河道中横向射流动画播放1ABEFu=u0v=0CDu=0v=v0u=v=0u=v=0h=h0动画播放2

第20页：全章总结 圣维南方程

全章总结全章总结dtds=v+ghA>0ghA>0dtds=v−d(v+2gh)=g(i−Jf)dtd(v−2gh)=g(i−Jf)dt沿正特征线沿负特征线1一维圣维南方程组2特征线理论

• f=g(i−J)∂v∂h∂s∂s+v+g

• ∂v∂t∂s∂s∂h+hA∂v+v∂h=0

第21页：全章总结 固定网格法

全章总结全章总结3圣维南方程的求解固定网格法过P点作顺特征线交n时层线于L点过P点作逆特征线交n时层线于R点用线性插值确定L和R点的（h,v）特征网格法LRPBACtn+1nsλ+λ−RtRPtPsPsRλ+λ−LtLsLst4二维浅水方程1)基本假定w=0,,得静水压分布∂()=0∂z,h)垂向变化忽略不计，p=−ρg(z−η)(1）垂向流速及其(ui

第22页：全章总结 二维浅水方程

4二维浅水方程量）ll+(hu)=0∂t∂x∂h∂ητ)/ρ12biiiliilτ−2∂x(gh)=−gh∂zb+(∂t∂x∂xi∂(hu)+∂(huu)+∂lDt∂t∂ηlη∂xηu=w|=Dη=∂η+u3η2)自由表面的运动学条件3)底部运动学条件4)二维浅水方程lzblzb∂x∂zbu=w=u3zb全章总结全章总结基本假定(2）渐变流（流线平行，水面波动数值与水深相比为小(3）局部损失不计连续方程动量方程

第23页：全章总结 浅水方程矩阵形式

4二维浅水方程全章总结全章总结

S/h

00+

0u0

S/h

gu0

• u20h

• u1h0

• 时间变化项X方向变化（压力、动量改变）y方向变化（压力、动量改变）右向量（重力、阻力）

• u1h0

gu0

u0h

• 0u20

• λ2=u1+c

• λ3=u1−c

• λ1=u1

• 322221

• ω=u−cω=u∂U+G∂U+H∂U=R∂t∂x1∂x2特征向量特征向量

• ω=u+cT2112R=[0,S/h,S/h]U=[h,u,u]T

第24页：作业一

1）写出二维非恒定浅水方程；

2说明方程中各项的物理意义；

3在推导浅水方程中采用了哪些基本假设？

4讨论求解浅水方程的边界条件；

5二维浅水方程中水流的连续条件是如何满足的？

第25页：作业二

作业二对于如下的欧拉方程∂jj(u)=0∂xiijji∂t∂xρ∂x−1∂p∂(u)+∂(uu)=−gδi3对于底部为平底情况，建立其沿水深积分后的浅水方程（写出详细推导步骤）。

能否比照一维圣维南方程的特征线理论，建立二维浅水方程的特征方程和特征线方程？

第26页：作业三 平底矩形渠道

长6km的平底矩形渠道,初始水深h0＝0.918m，流速为v0=1m/s。

从时刻t=0起右端外海水位以（m）10000w=h[1−0.1sin(πt)]测验题测验题的规律升降,t的单位为秒。

忽略底部阻力。

1写出一维圣维南方程组，并解释各项物理意义(1分）2写出特征线方程和特征方程；

(1分）3利用特征线法求右端s=6km处的流速v=v(t),（假定时间变化范围为0～1000秒）(1分）4A点和B点的水位、流速值各为多少？

(1分）5）（选作）假设B点到P点的时间间隔为500秒，过P点作逆特征线交水平线AB于R点。

求R点的位置sR及其水位hR和流速vR（不计分）

第27页：测验题

测验题sh0=0.918mstΔtWPARv0=1m/s1000s500sΔsB