页数：80页文件大小：1.12 MB来源： 水力学ppt课件
本课件进一步分析运动流体的应力状态，定义应力张量并给出其与变形率张量的联系，建立不可压缩流体的运动微分方程，进而导出沿流线与总流的能量方程及动量方程，为后续水力计算提供理论基础。
第四章流体动力学基础
建立不可压缩流体运动微分方程—N-S方程。
三大守恒定律质量守恒动量守恒能量守恒连续方程能量方程动量方程恒定总流三大方程水力学课程重点
§4—1运动流体的应力状态§4—2流体运动微分方程§4—3恒定总流的能量方程§4—4恒定总流的动量方程§4—5求解恒定总流问题的几点说明第四章流体动力学基础
§4—1运动流体的应力状态
dV=0dtduypydAy−pndAncos(n,y)+ρYdV−ρdxpypndznyzxoMdypydAy−pndAncos(n,y)+ρYdV=0静止流体运动理想流体
一点处的应力pn取决于作用面法向，所以脚标中须加上n
后一个表示应力分量之投影方向。
法向为x轴正方向的作用面上的应力在y方向的分量。
（切应力）法向为x轴正方向的作用面上的的含义：应力在x方向的分量。
（法应力）
主对角线上的三个元素是法应力分量，其它是切应力分量。
应力张量九个量组成的二阶张量可以证明这个张量是对称的，只有六个独立的分量。
ppp
有了应力张量[P]，任意方位作用面上的应力都可知道，有了应力张量[P]，任意方位作用面上的应力都可知道，为：pn=n
应力张量主对角线上三个元素之和是坐标变换中的不变量，即其值不随坐标轴的转动而改变，任意三个相互垂直的作用面上的法应力之和都是相同的。
3zzyyxx+p+p)p=−1(p
所以运动流体中存在一动压强场，它是数量场。
要注意p并非任意方位作用面上真正的压应力−pnn定义定义流体的动压强
广义牛顿内摩擦定律[P]=2μ[ε]−p[δ]牛顿内摩擦定律dyτ=μdu推广各向同性的不可压缩牛顿流体的应力和变形速率之间存在线性关系广义牛顿内摩擦定律
§4—2流体运动微分方程理论基础是动量守恒定律，讨论在欧拉观点下进行。
一.以应力表示的流体运动微分方程xyzodxdyuxabcda’dzb’c’d’
净流入前后这一对表面的x方向的动量为−∂(ρuxux)dxdydz∂x同理可知，在单位时间里，沿着y方向和z方向净流入左右和上下两对表面的x方向的动量分别为∂y−∂(ρuyux)dxdydz∂z−∂(ρuzux)dxdydz和dxabcdd’dyuzc’xyzuya’dzb’o
作用于六面体表面沿x方向的表面力有：前后一对面元法向力左右一对面元切向力-pzxxyzoxxxx∂x−pdydz+(p+∂pxxdx)dydz∂y∂pyx−pyxdxdz+(pyx+dy)dxdzzxzx∂z−pdxdy+(p+∂pzxdz)dxdy上下一对面元切向力∂x∂y∂z(∂pxx+∂pzx)dxdydz+∂pyx相加得沿x方向的总表面力dxdy-pyx-pxxdz
作用于六面体微元沿x方向的质量力为ρXdxdydz
∂z]∂ux∂ux∂y∂ux∂x+uz+uyρ[∂t+ux∂ux∂x∂y∂z+∂pzx)+∂pyx∂t∂x∂y∂z∂(ρux)+[∂(ρuxux)+∂(ρuyux)+∂(ρuzux)]=ρX+(∂pxx]zyxx∂z∂(ρu)∂y∂(ρu)∂ρ∂(ρu)∂t∂x++++u[dtρduxdtρ∂x∂y∂zdux=X+1(∂pxx+∂pyx+∂pzx)0由连续方程知左边等于整理得整理得
方程组不封闭dtduy+∂pzy)+∂pyyρ∂x∂y∂z=Y+1(∂pxyduz+∂pzz)∂y∂z+∂pyzdtρ∂x=Z+1(∂pxzdtdux+∂pzx)+∂pyxρ∂x∂y∂z=X+1(∂pxx
∂x2∂y2∂z2∂2∂2∂2++
≡xν
ρdu=∂u+(u
p+ν
yzyyyxρ∂y∂z∂u∂y∂u∂x=Y−1∂p+u+u+uzzzyzxρ∂z∂y∂z∂u∂x∂u∂u=Z−1∂p+u+u+uxzxyxxρ∂x∂z∂y∂u∂u∂u=X−1∂p+u+u+udux=∂uxdt∂t∂xduy=∂uy∂udt∂tduz=∂uzdt∂tρdt∂tdu=∂u+(u
ρf−1
p=0
四个方程可求四个未知量：p和u，方程组是封闭的。
但由于运动方程是二阶偏微分方程，其中的位变惯性力（常称为对流项）是非线性的，解析求解非常困难。
基本微分方程组
解法概述
而绝大部分流动都不能直接对N-S方程解析求解，我们只能抓住问题的主要方面，作相应的简化，才能进行进一步的解析处理。
如果流动是有势流动，解析处理就有更多的便利条件。
后面我们就将分门别类地对各种流动进行求解方法的讨论。
初始条件和边界条件流体动力学定解问题流体运动基本方程初始条件边界条件流动共性体现个性
常见的边界条件有：固壁条件和液体的自由表面条件。
液体的自由表面动力学条件为自由表面上压强为常数（大气压）。
u=U*************
五.理想流体的运动微分方程的积分
下面先讨论在恒定条件下理想流体运动方程沿流线的积分。
理想流体恒定流动uxdt=dxdux=X−1∂pdtρ∂x××duz=Z−1∂pdtρ∂z××uzdt=dzduy=Y−1∂pdtρ∂y××+uydt=dy+（dx,dy,dz)是流线上沿流动方向一段弧长，与迹线重合
xyz
ρdp=d
pρ2
在理想流体的恒定流动中，同一流线上各点的上式的积分为上式的积分为伯努利积分pu2W−ρ−2=Cl
其中W是力势函数，ρ是不可压缩流体的密度。
从推导过程看，积分是在流线上进行的，所以不同的流线可以有各自的积分常数，将它记作Cl，称为流线常数。
pu2gz+ρ+2=Clpu2z+γ+2g=Clppu2u2z1+1+1=z2+2+2γ2gγ2g这是水力学中普遍使用的方程。
重力场中的伯努利积分W=−gz伯努利积分可写为或伯努利积分，即有12zu伯努利方程oo对同一流线上任意两点1和2利用流线
以上讨论了伯努利积分,其成立的条件是：理想，恒定，不可压，质量力有势。
现在再加无旋（有势）条件，导出理想流体运动方程的欧拉积分。
zxxyxx∂zρ∂x∂y∂x∂u∂u∂u=X−1∂p+u+u+udux=∂uxdt∂tuxzxyxx∂zρ∂x∂y∂u∂x∂u∂u=X−1∂p+u+u理想uzzyyxxρ∂x∂x∂x∂u∂x∂u∂u=X−1∂p+u+ux1∂pρ∂xy22z22
=X−
1∂pρ∂x2
xyz
=X−
=Y−
=Z−
+=Cz+u2pγ2g
其中W是力势函数，是不可压缩流体的密度。
其中W是力势函数，ρ是不可压缩流体的密度。
表面上看，伯努利积分和欧拉积分很相似，但两者的适用条件和使用范围是截然不同的。
C：通用常数
§4—3恒定总流的能量方程一.恒定元流的能量方程伯努利积分伯努利积分pu2z+γ+2g=Cl欧拉方程各项的量纲是单位质量流体受力，伯努利积分是欧拉方程的各项取了势函数而得来的，即力对位移作积分，力势函数是能量量纲，所以伯努利方程表示能量的平衡关系。
伯努利积分伯努利积分pu2z+γ+2g=Clu22g单位重量流体所具有的动能（简称单位动能）********单位重量流体所具有的总机械能（简称单位总机械能）pu2z+γ+2g在理想流体的恒定流动中，同一流体质点的单位总机械能保持不变。
在理想流体的恒定流动中，位于同一条流线上任意两个流体质点的单位总机械能相等。
拉格朗日观点欧拉观点
位置水头z压强水头pγ测压管水头γz+pu22g速度水头总水头2H=z+p+uγ2gpu2z+γ+2g=Cl
********伯努利积分
伯努利方程在流线上成立，也可认为在元流上成立，所以伯努利方程也就是理想流体恒定元流的能量方程。
伯努利方程是能量守恒原理在流体力学中的具体体现，故被称之为能量方伯努利方程是能量守恒原理在流体力学中的具体体现，故被称之为能量方总机械能不变，并不是各部分能量都保持不变。
三种形式的能量可以各有消长，相互转换，但总量不会增减。
总机械能不变，并不是各部分能量都保持不变。
由于是恒定流，通过元流各过水断面的质量流量相同，所以在单位时间里通过各过水断面的总机械能（即能量流量）也相等。
*********
将各项水头沿程变化的情况几何表示出来。
水头线测压管水头线总水头线位置水头线zpγu22goo水平基准线H理想流体恒定元流的总水头线是水平的
毕托管测速
毕托管利用两管测得总水头和测压管水头之差——速度水头，来测定流场中某点流速。
u=c2gh实际使用中，在测得h，计算流速u时，还要加上毕托管修正系数c，即实用的毕托管常将测压管和总压管结合在一起。
Ⅰ管——测压管，开口方向与流速垂直。
Ⅰ管Ⅱ管Ⅰ管测压孔Ⅱ管测压孔********Ⅱ管—*—**总**压**管**，**开**口**方*向迎着流速。
思考为什么？
动能势能相互转换位置势能压强势能例子不胜枚举
二.恒定总流的能量方程ppAAAu2u2
总流是无数元流的累加理想流体恒定总流各过水断面上的能量流量相等pAu2
恒定均匀流运动方程中只有重力、压差力和粘性力（因以后要将能量方程扩展到实际流体，故在此不作理想流体假设），为解决测压管水头的积分寻求平均测压管水头考察均匀流的过水断面上测压管水头的分布情况ρ−gk−1
p+ν
均匀流的流线是平行直线，流速都沿着同一方向，其过水断面是平面，取直角坐标系：x轴为流速方向，y轴和z1轴在过水断面所在平面上，其中y轴水平。
***********
xozz1运动方程的分量式ρ−∂∂xpx(gz+)+ν
均匀流的过水断面上测压管水头是常数只能在同一过水断面上应用上述结论，因为x方向的运动方程里有粘性力项，所以沿着流动方向动水压强分布不同于静水压强，导致不同过水断面上测压管水头可能是不同的常数。
渐变流近似于均匀流，所以渐变流过水断面上的测压管水头可视为常数，任何一点的测压管水头都可以当作过水断面的平均测压管水头。
************均匀流的过水断面上粘性力的分量为零，只有压差力与重力之间的平衡，所以动水压强按静水压强的规律分布。
^^^^^^^^^^^^^^^
渐变流过水断面上测压管水头的积分Aγγ
^^^^^^^^^^^^
渐变流过流断面上测压管水头是常数31OO1232γz+p
23z1p1γz3p3γp2γz2OO1急变流过流断面上测压管水头不是常数急变流过流断面上测压管水头不是常数离心力方向离心力方向
动水压强分布静水压强分布动压和静压的差提供向心力
A2g2g22γdQ=αvγQ
它是一个大于
流速分布越均匀，越接近于
流速分布越不均匀，α的数值越大。
在一般的渐变流中的α值为
pαv2γQ(z+γ+2g)2gpαv2H=z+γ+理想不可压流体恒定总流，流动中无机械能损耗，通过各过水断面的能量流量相同，而由连续方程决定了重量流量γQ沿程不变，所以在任意两个分别位于总流的渐变流段中的过水断面A1和A2有H1=H22g2g222211pαvpαv=z2+γ2+z1+γ1+总流通过渐变流段中过水断面的能量通量为断面单位重量流体的总机械能（即总水头）为理想不可压缩流体恒定总流的能量方程即A1A2γQγQ*******
2g2g222211pαvpαv=z2+γ2+z1+γ1+完成了对恒定总流能量方程的一维化表达在总流能量方程的上述表达式中断面平均流速v、动能修正系数α和测压管水头的取值都是由断面唯一确定的，条件是过水断面应处于渐变流段中。
γz+p
断面A1是上游断面，断面A2是下游断面，hw1-2为总流在断面A1和A2之间平均每单位重量流体所损耗的机械能，称为水头损失。
水头损失如何确定，将在后面叙述。
222211−2w++h+=z+z+pαv2γ2gpαv2111γ2g采取补上流体在流动过程中机械能损耗的方法，将理想流体的能量方程推广到实际流体。
实际流体恒定总流的能量方程分析水力学问题最常用也是最重要的方程式
总流水头线的画法和元流水头线是相仿的，其中位置水头线一般为总流断面中心线。
恒定总流能量方程的几何表示——水头线与元流一样，恒定总流能量方程的各项也都是长度量纲，所以可将它们几何表示出来，画成水头线，使沿流能量的转换和变化情况更直观、更形象。
水平基准线位置水头线测压管水头线总水头线oozpγu22ghw***********
水力坡度J=−dH=dhwdsds称为水力坡度。
其中s是流程长度，hw为相应的水头损失。
水力坡度表示单位重量流体在单位长度流程上损失的平均水头。
实际流体的流动总是有水头损失的，所以总水头线肯定会沿程下降，将水头线的斜率冠以负号测压管水头线可能在位置水头线以下，表示当地压强是负值
恒定总流能量方程的应用条件（1）流动必须是恒定流，并且流体是不可压缩的。
（2）作用于流体上的质量力只有重力。
（3）所取的上下游两个断面应在渐变流段中，以符合断面上测压管水头等于常数这一条件。
但在两个断面之间流动可以不是渐变流。
断面应选在已知条件较多的位置。
在渐变流断面上取任何一点的测压管水头值都可作为整个断面的平均值，为简便通常取管道中心点或渠道水面点。
1流动必须是恒定流，并且流体是不可压缩的。
2作用于流体上的质量力只有重力。
3所取的上下游两个断面应在渐变流段中，以符合断面上测压管水头等于常数这一条件
先看一个跌水的例子。
取顶上水深处为1-1断面，平均流速为v1，取水流跌落高度处为断面2-2，平均流速为v2，认为该两断面均取在渐变流段中。
基准面通过断面2-2的中心点。
三.能量方程的应用举例恒定总流能量方程表明三种机械能相互转化和总机械能守恒的规律，由此可根据具体流动的边界条件求解实际总流问题。
1122oahv1v2o%%%%%%%%%%%%
1γ1pz+=a+h=02γ2pz+=0hw1−22222g++αv2112g=+αv在水面点取值四周通大气，取断面形心处忽略空气阻力写出总流能量方程如已知a，h，v1，即可求出v22g2gv2v2a+h+1=2α1=α2=1.0近似地取整股水流的水面都与大气相通，属于无压流动，因此在流动过程中我们仅看到位置势能和动能之间的转换。
的位置水头%%%%%%%%%*******
另一个例子是文透里管中的流动。
文透里管是一种常用的量测管道流量的装置，它包括“收缩段”、“喉道”和“扩散段”三部分，安装在需要测定流量的管道上。
在收缩段进口断面1-1和喉道断面2-2上接测压管，通过量测两个断面的测压管水头差，就可计算管道的理论流量Q，再经修正得到实际流量。
d11d222Δh1Qh1h2@@@@@@@@@@@@@@
d11d22ΔhQ12h1h2水流从1-1断面到达2-2断面，由于过水断面的收缩，流速增大，根据恒定总流能量方程，若不考虑水头损失，速度水头的增加等于测压管水头的减小，所以2g212g2g2g2v2v211222≈−−αvαvΔh=h−h=(z+p1)−(z+p2)=121γ2γA1v1=A2v212d2d2vv1=2根据恒定总流连续方程又有即
当管中流过实际液体时，由于两断面测管水头差中还包括了因粘性造成的水头损失，流量应修正为：v=2gΔh1−
以上，由能量方程和连续方程得到了v1和v2间的两个关系式，联立求解，得理论流量为：式中^^^^^^^^**********
d11d222Δh1QΔh2d22Qd111斜置上下游倒置文透里管可否斜置?
可否上下游倒置?
四.有能量输入或输出的能量方程1−2+2+22+hw+11±Hm=z2z1+1pαv2γ2gpαv2γ2g1、2断面之间单位重量流体从水力机械获得（取+号，如水泵）或给出（取-号，如水轮机）的能量
1122ooz水泵管路系统1−2z1+1+11+Hm=z2+2+22+hwpαv2γ2gpαv2γ2g==≅000zHm=z+hw1−2水泵
Hm=z+hw1−2NpηpγQH=m水泵轴功率单位时间水流获得总能量分子水泵效率分母扬扬程程提水高度
压力钢管水轮机122ooz1引水渠水轮机管路系统≅=z11111−2w++h+−Hm=z2+z+pαv2222γ2gpαv2γ2g≅0=00Hm=z−hw1−2
Hm=z−hw1−2Nt=ηtγQHm水轮机功率单位时间水流输出总能量水轮机效率扬水轮机作用水程头不包括水轮机系统内的损失γQHmηt
§4—4恒定总流的动量方程控制体：上游过水断面A1和下游过水断面A2之间的总流管A1A2一.恒定总流的动量方程单位时间里通过总流过水断面的动量——动量通量
单位时间一段总流管内流体动量的增加单位时间净流入这段总流管的动量这段总流管内流体所受合力=0−
把渐变流过水断面上动量通量的表达一维化。
断面上各点u的方向一致。
用断面平均流速v代替u，定义v的大小为v，方向为u的方向，用v代替u，设
A大于
在一般的渐变流中的值为
上游水流作用于断面A1上的动水压力P1，下游水流作用于断面A2上的动水压力P2，重力G和总流侧壁边界对这段水流的总作用力R’。
其中只有重力是质量力，其它都是表面力。
ρQ(α02v2−α01v1)=FFρ(α02v2v2A2−α01v1v1A1)=F一维化的恒定总流动量方程或GA1A2P1P2R’u1u2*******水流对侧壁的作用力R是R’的反作用力
恒定总流动量方程建立了流出与流进控制体的动量流量之差与控制体内流体所受外力之间的关系，避开了这段流动内部的细节。
对于有些水力学问题，能量损失事先难以确定，用动量方程来进行分析常常是方便的。
ρQ(α02v2x−α01v1x)=FxρQ(α02v2y−α01v1y)=Fyz011z022zv−αv)=FρQ(α恒定总流动量方程是矢量方程，实际使用时一般都要写成分量形式
2=18m(HO)p1γ=17.7m(H2O)2γp弯管水平转过60度d=500mmQ=1m3/s已知v1R’xP1P2R’yR’v2oyx112260o水流对弯管的作用力水流对弯管的作用力水流对弯管的作用力R求例二.恒定总流动量方程应用举例
弯管受力计算例题：下表列出相关数据。
| 物理量 | 数值 |
|---|---|
| A | 1 |
| α | 1.0v |
| y | 0 |
v1R’xP1P2R’yR’v2yx1122o60ox022xv)=Pcos600−P+R′011x12022yv)=Psin600−R′011y1yρQ(αv−αρQ(αv−αyx+R′2R′2R′=yRx′R′tan(R′,x)=4A=1πd2A=Qv=v12v=vcos6001x1P1=p1AP2=p2A0201α=α≈1.0v=vsin6001y1v2x=v2v2y=0代入解得Rx′R′yR为R’的反作用力
上下游断面取在渐变流段上。
动量方程式中流出的动量为正，流入为负。
在这个过程中，要注意各投影分量的正负号。
本例要点
本例中流体水平转弯，铅垂方向无动量变化，重力不出现。
如解出结果为负值，则作用力方向与原假设方向相反。
不能将任何一个外力遗漏。
11223αp1v1v3xyo§4—5求解恒定总流问题的几点说明
v2p23p3
11223αp1v1v3xyov2p23p3
11223αp1v1v3xyov2p23p3
总能量平衡+3+33+hw1−3)pαv2γ2g+2+22+hw1−2)+γQ3(z3pαv2γ2gpαv2γ2gγQ1(z1+1+11)=γQ2(z2
否则三大方程不会给我们带来如此大的便利。
流量、动量和能量分配相互耦合。
关键在于确定水头损失。
问题的实质和关键
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