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本课件从运动学角度讨论有旋流动的流场结构，再从动力学角度介绍在质量力有势、流体理想不可压缩条件下的有势流动，给出速度势函数与流函数的定义、性质及其与平面流动的关系。
第五章有旋流动和有势流动
第五章有旋流动和有势流动§5—1有旋流动的运动学性质§5—2理想不可压缩流体的旋涡动力学特性§5—3兰肯涡和卡门涡街§5—4有势流动及解法概述§5—5理想不可压缩流体恒定平面势流的奇点分布解法
无旋流动有旋流动这个分类是很重要的判别的唯一标准是看流速场的旋度是否为零§5—1有旋流动的运动学性质
涡线是涡量场的矢量线，是某瞬时对应的流场中的曲线，该瞬时位于涡线上各点对应的涡量都沿着涡线的切向。
与流线一样，涡线是与欧拉观点相对应的概念。
涡量场是矢量场。
根据定义，涡线的微分方程为Ω×dl=0dl=dxi+dyj+dzkdzdydxΩz(x,y,z,t)=Ωy(x,y,z,t)=Ωx(x,y,z,t)zΩxΩyΩijkdxdydz=0实际上这是两个微分方程，其中t是参数。
可求解得到两族曲面，它们的交线就是涡线族。
其中涡线微分方程
在流场中，取一条不与涡线重合的封闭曲线L，在同一时刻过L上每一点作涡线，由这些涡线围成的管状曲面称为涡管。
涡管涡线涡管与涡线一样，涡管是瞬时概念Ω
涡通量I=
×u)
通过涡管任一截面A的涡通量又可称为涡管强度AΩ留下一个问题：为什么可取任一截面计算涡管强度
速度环量、斯托克斯定理速度环量定义流速矢量u沿有向曲线L的线积分为速度环量Γ=
沿L的速度环量通过A的涡通量=
涡量与环量计算例题：下表列出相关数据。
| 物理量 | 数值 |
|---|---|
| u | 0yzy |
| z | 0 |
| z−y | 0x |
例已知不可压缩流体速度分布+z2,u=u=0yzy2ux=a涡线方程及沿封闭围线的速度环量求
−=−
涡线方程与速度环量：下表列出相关数据。
| 物理量 | 数值 |
|---|---|
| z | 0 |
| Ωy | 0 |
| adA | 0AAAA |
求涡线==0z−ydxdydz
旋涡随空间的变化规律奥—高定理
根据不可压缩流体连续方程
∂∂∂x∂y−∂ux)=0−∂uz)+∂(∂uy∂x∂z∂x∂y−∂uy)+∂(∂ux∂z∂y∂z=∂(∂uz∂x∂y∂zuxuyuzijk
散度为零的矢量场也称无源场，其矢量线必成管状，所以也称管形场。
涡量的散度必为零
由于涡管侧壁没有涡通量，所以根据涡量场是无源场可得如下结论：涡线涡管Ω在同一时刻，穿过同一涡管的各断面的涡通量都是相同的。
即同一时刻，一根涡管对应一个涡管强度。
结论这是个纯运动学范畴的定理回答了前面的问题
涡管不能在流体中产生与消失，要么成环形，要么两端位于流场的自由面或固体边界
L是由确定流体质点组成的封闭线，是一个系统，在流动中会改变位置和形状。
加速度环量tt+dtu(t+dt)L(t)u(t)速度环量对时间的全导数
dΓdtLdt
d(u
δl+
δl+
LuL
无旋与有势的等价性无旋流动有势流动Ω=
uz=
dl=
M(x,y,z)
无旋流动有势流动等价u=
§5—2理想不可压缩流体的旋涡动力学特性
tt+dtΩΩ
容易通过开尔文定理予以证明，上述亥姆霍兹定理成立的条件应与开尔文定理相同
粘性对旋涡运动的影响开尔文定理说明，若质量力有势，流体为理想不可压缩流体，那么涡通量不会产生，初始时刻为无旋的流动将永远保持无旋，而有旋流动的涡通量则有保持性，既不会消失，也不会扩散。
开尔文定理也反过来说明了之所以在实际流体的运动中会有旋涡的产生、发展和消失，以及涡量在流场中的扩散现象，粘性的存在应该是最重要的因素
§5—3兰肯涡和卡门涡街
外围区是自由中心区是以涡心为圆心的圆，其中的速度与离涡心的距离成正比，涡量为常数。
外围部分的流速则与离涡心的距离成反比，流动有势，涡量为零。
Γ0u0uxyCrr0涡。
*************
兰肯涡是比较接近实际的平面旋涡模型，其中心部分的流体象刚体一样旋转，需有外力不断推动，中心部分也可用圆柱形刚体的转动来代替。
外围部分流体的运动在开始时是由中心部分的转动通过粘性的作用形成的，在流动稳定以后，则无须再加入能量，粘性也就不再起作用。
xCrΓ0u0uyr0
000Γ=2πr×u中心区的流动=2ωΩ=∂x∂y∂u−∂uxyz用涡通量计算得到同样的结果ux=−ωy,uy=ωx0rω=u0涡量处处为常数00000ruΓ=πr2×20=2πru速度分布绕r=r0的速度环量xCrΓ0u0uyr0
兰肯涡外围自由涡流速：下表列出相关数据。
| 物理量 | 数值 |
|---|---|
| −x | 0 |
| Γ | 2 |
| u | 2 |
xCrΓ0u0uyr0流速分布0ru=r0u∂u∂x∂y∂uyΩz=−x=0Γ=2πr×u=2πr0u0=Γ000r2xr00r2y,ryxu=xu=ruu=−yu=−ru外围区是无旋流动的封闭曲线也可）的速度环量都等于Γ0绕任一r>r0的圆周（任意包住r=r0外围区的流动
xCrΓ0u0uyr0压强分布外围区流动恒定无旋，可用欧拉积分确定压强的径向分布2ρu2p=p∞−r=r0ρu2−02中心区流动恒定有旋，只能用伯努利积分，但得不到压强的径向分布。
须直接由理想流体运动方程出发求解。
时p0=p∞速度分布外围区的压强r020ρu220ρu2p0p∞pC
ρdr−ω2r=−1dp向心力压差力p=1ρω2r2+C=1ρu2+C2202222ρωr−ρωrp=p+∞2021212ρu−ρup=p+∞xCrΓ0u0uyr0中心区的压强ρu2−0220由p0=p∞定C=p∞−ρu速度分布压强分布r020ρu220ρu20pp∞pC
0222212ρωr−ρωrp=p+∞xrΓ0u0uyCr0中心区的压强速度分布压强分布r002ρu220ρu2p0p∞pC抛物线分布，涡心处最低p=p−ρω2r2C∞0中心区速度越快，压强越高，速度越慢，压强越低。
与无旋区有本质的不同
Uduh/2h/2
当雷诺数大于90后，可以看到有规则交错排列的双列线涡，称为卡门涡列，其中尤以雷诺数等于150左右时最为典型。
eR=Udν-ΓΓL/2L/2
Uduh/2h/2旋涡从圆柱体上交替地脱落到下游，因而形成周期性的振动，旋涡从柱体上脱落的频率f将以斯特劳哈尔数表达，并由雷诺数决定-ΓΓL/2L/2UteS=fd=F(R)
Uduh/2h/2从柱体上、下面分别脱落的旋涡，其旋转方向是彼此相反的，同时所有旋涡都以相同速度（因有旋涡间相互干扰，此速度比来流速度小）向下游移动。
-ΓΓL/2L/2卡门的分析研究表明，当涡列的空间尺度为h/L=0.281时，涡列对于小扰动才是稳定的，实测证实了这一点
§5—4有势流动及解法概述由开尔文定理可知，理想不可压缩流体从静止或无旋状态开始的流动将保持为无旋流动。
所以无旋流动往往是以理想流体为前提条件的。
无旋流动即为有势流动。
一.无旋流动的速度势函数
dl=
(x,y0,z0)(x,y,z)φ(x,y,z)=
速度势函数的求法（二）寻找全微分，确定速度势f1(y,z)φ=
给出流场，求解速度势，要先检查流场是否无旋。
dφ=uxdx+uydy+uzdz代入确定
例已知速度场：下表列出相关数据。
| 物理量 | 数值 |
|---|---|
| ux | 3bx |
| u | 022yz |
| bx | 0 |
例已知速度场ux=3bx−3by,u=−6bxy,u=022yz此流动是不可压缩流体的平面势流，并求速度势函数。
求证由+=6bx−6bx=0∂u∂u∂uzyx+=−6by=∂uy∂y∂x∂x∂y∂z∂ux−3by2)dx+f(y)=bx3−3bxy2+f(y)φ=
yxyx002(x,y)(x,0)(0,0)(x,0)dy=3bxdx+−6bxydyudx+uφ(x,y)==bx3−3bxy2+C
dφ=u
φ)≡
极坐标中速度势函数的微分为不可压流体无旋流动的速度势函数满足拉普拉斯方程。
dldrxyrdθrdθθrr∂θ∂r1∂φ=u∂φ=u,
平面势流速度势求解例题：下表列出相关数据。
| 物理量 | 数值 |
|---|---|
| u | 0q |
| qxuy | 2 |
| ux | 2 |
| C | 0 |
| qdrr | 0 |
例已知速度场θ,u=0q2πru=r此流动是不可压缩流体的平面势流，并求速度势函数。
求证,qxuy=2πx2+y2ux=2πx2+y2=0∂y∂x−∂uy∂ux2πφ=qlnr+C=0∂x∂y+∂uy∂uxr2πrθdφ=udr+urdθ=qdrr=0奇点qy
已知速度场Γ：下表列出相关数据。
| 物理量 | 数值 |
|---|---|
| πru | 0 |
| C | 0 |
| uy∂y∂x | 0 |
| Γdθr | 0 |
已知速度场Γrθ2πru=0,u=例此流动是不可压缩流体的平面势流，并求速度势函数。
求证,uyxu=−Γy2πx2+y22πx2+y2
∂ux∂x∂y+∂uy=0∂y∂ux∂x−∂(−uy)=0二.不可压缩流体平面流动的流函数不可压缩流体平面流动的连续方程改写矢量场无旋，必有相应的势函数。
−uyi+uxj原流速场的流函数M(x,y)
将平面上一段有向微元弧长dl=dxi+dyjndl=dyi−dxjdψ=uxdy−uydx=u
顺时针转900，方向为dl之法向n，大小为dl，可记为ndl根据流函数定义dldx-dxdydyndlu
M(x,y)ψ(x,y)=
根据定义确定流函数时选取不同的起点M0，流函数将相差一个常数，但同样不会影响对流场的描述。
M0M对于不可压流体的平面流动是容易理解的，而三维流动就得不到这样的结论
两点流函数的差表示穿过两点间任意连线的流量。
ψ=C（常数）不可压流体平面流动的流线方程表示有流量自M1M2连线左侧流进右侧，由此可确定流动方向。
如图中所示,若ψ(M2)−ψ(M1)=C2−C1>0M1M2ψ=C21ψ=C
画出穿过微元弧长的流量示意图，可以帮助记忆流函数定义。
在直角坐标系中dψ=urrdθ−uθdrur∂ru=−∂ψr∂θθ=1∂ψ,xy∂y∂xu=∂ψ,u=−∂ψdψ=uxdy−uydxuxdydψy−udxdxdy在极坐标系中dψurrdθ−uθdrdrrdθ
说明流函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。
流函数的概念本与流动是否无旋无关，在这里引出，是为了下面建立不可压流体平面无旋流动复势的需要。
222=−−=−
不可压流体平面无旋流动既有速度势函数又有流函数，它们都满足拉普拉斯方程，都是调和函数。
三.不可压缩流体平面无旋流动的速度势函数与流函数的关系
等势线φ=C和等流函数线（流线）ψ=C必是互相正交φ=C上取一段微元弧长矢量dl，则dφ=u
以上速度势函数和流函数的关系是在不可压缩流体平面无旋流动的条件下建立的。
注意：如不可压缩流体平面流动的流函数ψ=x+x2+y2流动有旋，不存在速度势。
ux=2y,uy=−2x−1求流函数求速度势求速度势求流函数查是否平面不可压查是否无旋
四.理想不可压缩流体恒定有势流动的解法概述求解矢量场u求解数量场φu=
常用的解法理想不可压流体恒定平面有势流动同时存在速度势函数φ和流函数ψ，这是一对共轭调和函数。
给流场的求解带来更大的简便。
分离变量法奇点分布法保角变换法数值解法几何（流网）法实验（如水电比拟等）方法
绘制流网是求解理想不可压流体定常平面有势流动的一种近似的几何方法，流网是由等速度势函数线族和等流函数线（流线）族构成的正交网格。
一般取速度势函数和流函数的增量相等，流网呈正方形。
根据流网可以图解流速，再由欧拉积分推算压力。
xydsdnφ+dφψ+dψψφudφ=udsdψ=udnds=dndφ=dψo
流线间隔按流量相同划分，断面流速均匀，则流线间距相等；
自由面也是一条流线，但其位置、形状未知，需利用压强条件逐渐确定。
流网密处，流速大、压强小。
流网疏处，流速小、压强大。
已知一点处流速、压强，可知各点流速和压强。
BAψ>ψuA<uBpA>pBφA<φBABψφ
§5—5理想不可压缩流体恒定平面势流的奇点分布解法一.几种基本的不可压缩流体平面有势流动直线等速流动整个流场速度都一样，大小U∞，与x轴夹角αoαuxxU∞uyyψ5ψ4ψ3ψ2ψ1φφ234φφ5φ1
oαuxxU∞uyyψ5ψ4ψ3ψ2ψ1φφ234φφ5φ1
uy∞
ru平面点源oψ2xψ1ψ4y2ψ33φφφ1
ruoxyψ2ψ1ψ42ψ33φφφ1x2π2πψ=qθ=qtan−1yθ2πrdψ=urdθ−udr=qdθ等势线流线点源处r=0,u=∞，是流场的奇点以点源为圆心的同心圆从点源出发的半射线
平面点涡x
Γ以逆时针为正，顺时针为负。
o21yφ2ψψψ3φ3φ1uθx2π2πφ=Γθ=Γtan−1y
x2+y2ψ=−Γlnr=−Γln2π2πr2πrθdψ=urdθ−udr=−Γdr等势线流线点涡处r=0,u=∞，是流场的奇点从点源出发的半射线以点源为圆心的同心圆o21yφ2ψψψ3φ3φ1uθx
流场中若有多个点涡，各点涡处于其它点涡诱导的流场中，整个点涡组将会运动。
点涡对自身的诱导速度为零。
上面的公式都是针对奇点处于原点得到的，若有多个奇点，必有奇点不在原点位置，如为(a,b)，则相应的公式中(x,y)改为(x-a,y-b).ΓΓ/2πdΓdΓ/2πdΓ/2πdΓd-ΓΓ/2πd*********
二.基本有势流动的叠加
2212=0
一对等强度的源和汇叠加的极限情况间距保持不变qΔh=m强度Δh→0q→∞Δh→0q→∞limqΔh=m即偶极子方向：汇→源偶极子强度：m
强度为m，方向为–x轴的偶极子的速度势q(lnrA−lnrB）q→∞Δh→02πφ=limqrlnArBq→∞Δh→02π=lim
强度为m，方向为–x轴的偶极子的流函数BAq→∞ψ=limq(θ−θ）Δh→02π
−Δh
xy偶极子的流线)2)2m4πC2m4πC2=(x2+(y+圆心在y轴上与x轴相切的圆ψ=Cφ=Cm偶极子的等势线11x=0x2+y2−m2πCφ=C
直线等速流动+平面点源2πφ=Urcosθ+qlnr2πψ=Ursinθ+qθ零流线ψ=0θ=0驻点,0)q2πU(−过驻点流线的流线常数2ψ=q(上半段，θ取0-π）
2π2q=Ursinθ+qθ过驻点流线cqC4Ur=θ=π/2代入，得q2Ursinθ→θ→0过驻点流线在下游无穷远处开口宽度qU
设想用一刚性薄片按上述过驻点流线的形状弯成柱面，从垂直于流动平面的方向插入流场，将不会影响内外两部分流场的流动。
这就是流线与固壁的等价原理。
若按过驻点流线的形状制成半无穷柱体放入流场相应位置，取代点源，此时内部流动将不再存在，但外部流动仍不会改变。
所以点源对等速直线流动的影响与这个半无穷柱体对等速直线流动的影响是等价的。
上面我们得到的流场也就是等速直线流动绕过半无穷柱体的绕流解。
从这个意义上讲，点源这个抽象的流动变成了一个具体、实在的概念。
流线与固壁的等价原理
直线等速流动+一对平面源汇过驻点流线封闭，呈扁平的卵形。
一对平面源汇偶极子如何？
直线等速流动+偶极子cosθ2πrφ=Urcosθ+msinθ2πrψ=Ursinθ−m≡ar=m2πU零流线ψ=0θ=0θ=π代表绕圆柱r=a的绕流圆柱和偶极子的等价性
圆柱上的压强分布上下、左右都对称圆柱面r=a上的速度分布2∞p=p+ρU2(1−4sin2θ)221ρ=1−4sin2θU=p−p∞Cpm2πUa=ur=0θm2πa2∂rusinθ=−2Usinθ=−Usinθ−=−∂ψr=a圆柱面r=a上的压强分布无量纲表达圆柱在绕流中不受力，缘由是理想流体假设a
无环量圆柱绕流是一个重要的平面有势流动，圆柱对来流的作用完全可以由一个适当的偶极子来代替。
在无环量圆柱绕流解的基础上再叠加一个绕圆柱的环量，即在原点加上一个平面点涡，易知圆柱面仍是流线，形成有环量的圆柱绕流。
此时，圆柱面上的速度大小和压强分布不再是上下对称的了，因此引起升力
平面壁镜像法可以使不可压流体平面有势流动的奇点分布解法得到进一步的扩展。
前面我们讨论的都是在无界域（整个流动平面充满流体）中放置的奇点解，不能直接用于固壁一侧的半平面流体区域中放置奇点的情况，而借助于平面壁镜像法就可以解决这个问题。
三.平面壁镜像法aq
不妨以上半平面流体区域放置孤立奇点为例，探讨固壁x轴对流动的影响。
按照流线与固壁的等价原理，将流场延拓到下半平面，并在下半平面与原奇点关于x轴对称的位置放置同样的奇点，使延拓后的全平面流场中x轴成为一条流线，这样新加的奇点对原奇点的影响就取代了固壁x轴的作用。
aqqqaa两种情况下，上半平面的流动是完全相同的
镜像法求壁面压强分布：下表列出相关数据。
| 物理量 | 数值 |
|---|---|
| x∂x | 2 |
| y∂y | 2 |
| xuy | 0x |
| y | 0uy |
平面问题中的一条直线，从三维角度看是无限大的平面壁，所以这样的处理方法称为平面壁镜像法。
∂φq
φ=q
∂φq
y−a
若x和y轴都是固壁，考虑第一象限内放置奇点的流动，可推广上述方法，换成在全平面内上下、左右都对称的四个奇点的流动来求解。
取奇点关于平面壁的镜像时，应该把点涡和偶极子的方向也考虑进去。
此图中点涡会移动
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