06 水力学上 第六章 量纲分析与相似理论.pptx

第1页：第六章 量纲分析与相似理论

量纲分析法是用于寻求一定物理过程中，相关物理量之间规律性联系的一种方法。

它对于正确地分析、科学地表达物理过程是十分有益的。

• 两个规模不同的流动相似是流体力学试验时必须面对的问题。

• 本章在量纲分析法的基础上探讨流动的相似理论，对流体力学试验研究有重要的指导意义。

第六章量纲分析与相似理论

第2页：§6—1 量纲分析

§6—1量纲分析§6—2相似理论第六章量纲分析与相似理论

第3页：量纲与无量纲量

§6—1量纲分析一.量纲、无量纲量

• 在量度物理量数值大小的标准（单位）确定之后，一个具体的物理量就对应于一个数值，有了比较意义上的大小，这是物理量的量的特征。

• 量纲是指物理量所包含的基本物理要素及其结合形式，表示物理量的类别，是物理量的质的特征

第4页：基本量纲与诱导量纲

基本量纲具有独立性，比如与温度无关的动力学问题可选取长度[L]、时间[T]和质量[M]为基本量纲。

α,β,γ基本量纲

• 量纲诱导量纲

• 诱导量纲可由量纲公式通过基本量纲导出

• 诱导量纲可由量纲公式通过基本量纲导出称为量纲指数则x为几何学的量则x为运动学的量则x为动力学的量[x]=[LαTβMγ]α≠0,β=0,γ=0α≠0,β≠0,γ=0α≠0,β≠0,γ≠0如[ν]=[L2T−1]运动粘性系数[μ]=[L−1T−1M]动力粘性系数

第5页：无量纲量与压强系数

122∞p−pCp=∞ρU

• 无量纲（量纲为一）量

• 无量纲（量纲为一）量相同量纲量的比值几个有量纲量通过乘除组合而成几个有量纲量通过乘除组合而成如角度，三角函数定义：物理量的所有量纲指数为零如压力系数

第6页：二、量纲和谐原理

正确反映客观物理规律的函数关系式或方程式，其各项的量纲指数都分别相同。

二.量纲和谐原理

• 任何表示客观物理规律的数学关系式，其数学形式不随单位制变换而改变形式。

• 客观物理规律必定可以通过无量纲量之间的关系式来表达

第7页：量纲和谐原理与π定理

物理过程的有量纲表达形式为，其中m个物理量的量纲被选为基本量纲，余下n-m个物理量可各自与这m个物理

• 量组合成无量纲量，

• 定理的结论是：物理过程的无量纲表达形式为

• 物理过程的有量纲表达形式为f(x1,x2,-,xn)=0，其中m个物理量的量纲被选为基本量纲，余下n-m个物理量可各自与这m个物理量组合成无量纲量

• 2,-,

• n−m，

• 定理的结论是：物理过程的无量纲表达形式为F(

• 2,-,

• n−m)=0三.

• 物理过程涉及n个物理量，其中有m个物理量的量纲是互相独立的，选这些量纲为基本量纲，可组成n-m个无量纲量，物理过程则可由这n-m个无量纲量的关系式描述。

否则就违反了量纲和谐原理

第8页：做一次实验测得

例初速为零的自由落体运动位移ss～g,tg , t选为基本量纲三个量只能组成一个无量纲量s/gt2初速为零的自由落体运动规律s/gt2=C做一次实验测得C=1/2，就不用再做类似实验，包括在月球上做实验。

做一次实验测得C=1/2，就不用再做类似实验，包括在月球上做实验

第9页：定理要点（也是难点）在于

从无量纲表达看，似乎物理过程涉及的因素减少了，其实涉及的物理量并未减少，只是这些物理量组合成了若干无量纲量相互关联。

比起有量纲表达来，无量纲表达更接近于相关物理量之间规律性联系的实质，也更具普遍性。

• 定理要点（也是难点）在于：确定物理过程涉及的物理量时，既不能遗漏，也不要多列。

第10页：§6—2 相似理论

本节在量纲分析基础上，讨论两个规模不同的不可压流体流动的相似问题。

这是进行有关流体力学模型试验时必须面对的问题。

§6—2相似理论一.流动相似概念

• 几何相似：流场几何形状相似，相应长度成比例，相应角度相等。

几何相似还可认为包括流场相应边界性质相同，如固体壁面，自由液面等。

长度比尺λl=lp/lm

第11页：

第12页：运动相似：以几何相似为前提

运动相似

以几何相似为前提。

流体质点流过相应的位移所用时间成比例。

在对应瞬时，流场速度图相似，即相应点速度大小成比例，方向相同。

长度比尺λl=lp/lm时间比尺λt=tp/tm

第13页：长度比尺与动力相似

动力相似

在对应位置和对应瞬时，流场中各种成分的力（时变惯性力、位变惯性力、质量力、压差力和粘性力）矢量图都相似，即相应点力的大小成比例，方向相同。

并且五种成分力的相似比例数也相同，即力多边形相似。

长度比尺λl=lp/lm时间比尺λt=tp/tm作用力比尺λF=Fp/Fm

第14页：二、相似准则

在两个相似流动中，对应的无量纲量是相同的。

• 不可压流体的流动都受N-S方程的控制，那么我们怎样来保证两个不同规模的流动是相似的呢？

两个相似的不可压流体流动的无量纲解应是相等的，这意味着控制流动的无量纲方程和无量纲边界条件和初始条件应是完全一样的。

二.相似准则

• 用流动的时间、长度、流速和压强特征量，将方程的自变量和应变量无量纲化：(x,y,z)=(L~x,L~y,L~z)t=T~tu=Uu~p=P~p带‘～’的量成为无量纲带‘～’的量成为无量纲量。

• 用流动的时间、长度、流速和压强特征量T,L,U,P，将方程的自变量和应变量无量纲化：

第15页：控制方程的无量纲化

将无量纲变量代入连续方程~~~2L

• u+(u

• )u=−gk−U2P~~νU~2~ρLU∂u~T∂~tL

• u=0∂u+(u

• )u=−gk−1

p+ν

• 2u∂tρ

• u~=0N-S方程得到无量纲方程和

• ~≡(∂i+∂j+∂k)∂~x∂~y∂~z其中

第16页：无量纲化后的运动方程

LUU2+(u~

• ~)u~=−gLk−P

• ~~p+ν

• ~2u~L∂u~TU∂~tρU2

• 另一方面，也要将定解条件无量纲化，即给出在无量纲边界上的边界条件及在无量纲时间初值时的初始条件。

接着再将无量纲N-S方程对流项前的系数归一，得到必须相等。

它们都是无量纲量，分别反映了时变惯性力、重力、压差力和粘性力在流动的动力平衡中相对于位变惯性力的重要性。

TUU2ρU2LUL,gL,P,ν

• 相似流动的无量纲方程和边界条件、初始条件应该完全一样，所以两个相似流动对应的

第17页：根据上面得到的四个无量纲量

根据上面得到的四个无量纲量（有的作了取倒数、开方等改形）得到流动的相似准数：

• 根据上面得到的四个无量纲量（有的作了取倒数、开方等改形）得到流动的相似准数：LtS≡UT

• 斯特劳哈尔数gLFr≡

• 弗劳德数UnPρU2E≡

• 欧拉数νeR≡UL

• 雷诺数它们分别是时变惯性力、重力、压差力、粘性力相似的准数。

它们分别是时变惯性力、重力、压差力、粘性力相似的准数

第18页：相似准数：雷诺数与弗劳德数

时变惯性力位变惯性力表征LtS≡UT

• 斯特劳哈尔数gLFr≡

• 弗劳德数UnPρU2E≡

• 欧拉数νeR≡UL

• 雷诺数位变惯性力重力位变惯性力粘性力位变惯性力压差力表征表征表征

第19页：特征量的选取

流动的特征量一般应取流动中容易测量到的、能显著体现流动特征，或者对流动起到重要控制作用的量。

如如这些特征量常取在边界处，使相似准数中自然融进边界条件的相似。

这些特征量常取在边界处，使相似准数中自然融进边界条件的相似。

• T取为周期性运动的周期

• U取为无穷远方来流速度

• P取为与无穷远方的压差

• L取为绕流物体的特征长度或圆管直径

第20页：相似准则：重力相似准则

相似准则：

• 相似准则：重力相似准则：保证两现象的弗劳德数相等重力相似准则：保证两现象的弗劳德数相等非恒定相似准则：保证两现象的斯特劳哈尔数相等非恒定相似准则：保证两现象的斯特劳哈尔数相等压差力相似，即欧拉数相等往往是两现象动力相似的结果压差力相似，即欧拉数相等往往是两现象动力相似的结果粘性相似准则：保证两现象的雷诺数相等粘性相似准则：保证两现象的雷诺数相等

第21页：三、相似理论的应用在相似的条件下

三.相似理论的应用在相似的条件下进行实验在相似的条件下进行实验应该测量实验结果无量纲表达式包含的所有物理量应该测量实验结果无量纲表达式包含的所有物理量实验结果应整理成以相似准数和其它无量纲量来表示的函数关系式或绘制成曲线；

实验结果只能应用于相似现象之间。

实验结果应整理成以相似准数和其它无量纲量来表示的函数关系式或绘制成曲线；

在什么条件下进行实验?

应该测量哪些物理量?

实验结果如何应用?

• 如何进行实验?

第22页：粘性与重力相似的矛盾

可见粘性和重力相似条件产生矛盾，除非改变g和

• .而我们知道改变g是不大可能的（由此可知为什么有些实验要在航天飞机上做），改变

• 的可能性也不大，因为流体力学实验可供选择的流体种类是很少的。

通常我们只能抓主要矛盾，保证起决定作用的那个相似准数相等，称为。

可见粘性和重力相似条件产生矛盾，除非改变g和ν.而我们知道改变g是不大可能的（由此可知为什么有些实验要在航天飞机上做），改变ν的可能性也不大，因为流体力学实验可供选择的流体种类是很少的。

部分相似

• 在相似的条件下进行实验Frp=Frmuplpumlm=Rep=Remup=lmumlp完全相似完全相似严格地要求四个相似准数都相同严格地要求四个相似准数都相同难于做到g相同相同ν相同λu=λlluλλ=1例如