页数：29页文件大小：422.7 KB来源： 复变函数与积分变换ppt课件
本课件为课程绪论与第一章节选，先交代复数从解代数方程产生、经欧拉与达朗贝尔阐明几何意义后确立的历史，再进入复数的概念与运算，并依次给出复平面、向量、三角与指数四种表示方法及其相互换算。
序言以前，高等数学中所接触到的函数，因为自变量、因变量的变化范围都是实数，故此称为实变函数。类似的，若一个函数的变量的变化范围为复数，则称其为复变函数另外,并不是所有方程的根都是实根，我们就把实根之外的根称为复根，由此产生了复数复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的1545年意大利数学家卡丹在解三次代数方程时首次产生负数开平方的思想！如：
但是，在十八世纪以前，人们对复数的概念了解的不够清楚，在对它进行运算时得到一些矛盾。如欧拉就在一本名字叫“代数”的书中出现过如此的运算：再如，著名的贝努里悖论：首先，莱布尼慈认为：而贝努里则由此发现了矛盾：
矛盾！贝努里悖论:
正因为众多矛盾的产生，所以，复数在历史上长期不为人们接受，复数也叫虚数，这一名词本身恰好就反映了这一点。直到十八世纪，欧拉和达朗贝尔等人才逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并应用复数和复变函数理论解决了流体力学等方面的一些问题，直到这时人们才接受了复数，复变函数理论也就得以顺利的建立和发展。以上是复数的发展，下面再来谈一下复变函数:复变函数的主要研究对象是解析函数，正因为如此，复变函数论也称解析函数论。
作为一门学科，它酝酿于十八世纪，而它的理论础奠定于十九世纪，故此属于近代数学的一门分支。这一理论的建立和发展与解决实际问题有着密切的联系，比如著名的柯西定理就是柯西本人在研究水波的传播问题时，通过计算一些复变函数的积分而发现的。现在，复变函数理论及方法在数学及工程技术中有着广泛的应用。比如，在复变函数理论最先得到成功应用的流体力学、电磁学、平面弹性力学这三个领域中，复变函数方法已经发展成为解决有关问题的几种经典方法之一。
本课程特点：主要研究对象是解析函数。何为解析函数？正文中自有定义，简单讲就是能展成幂级数的函数。初看起来这个定义似乎很普通，但正是这类函数具有许多独特的性质，而这些深刻的性质远不是一下子就能看出来的，只有经过深入一步的学习才能逐一弄清楚。所以注意:解析函数具有那些独特的性质是我们这门课的中心议题
第一章复数与复变函数§１复数及其运算一、复数的概念：称为一个复数其中：，实部；，虚部为虚数单位，满足若，则称为纯虚数。
注：１）两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相等２）两个复数之间无法比较大小，除非都是实数
二、复数的运算：定义复数的四则运算如下：加、减：乘法：注：１）乘法规则实际上就是将分别看作两个二项式，然后乘开、合并即可记：
２）一个复数与其共轭复数的乘积结果是一实数！
此外，还有下列性质：
例：
§2复数的几种表示方法1、复平面，向量表示o。(x,y)xy可以建立直角坐标平面与全体复数之间的一种一一对应关系。在这种意义下，我们也称直角坐标平面为复平面，坐标（x,y)复数通过下列方式：点x,y轴分别称为实轴、虚轴。由此，今后点与复数不加区分，即：点代表一个复数，复数也代表一个点。
xyor现在，以复数为终点，原点为起点做一向量，称其为复数的向量示。
324)规定：z=0的幅角不确定或为任意求复数的幅角主值的方法：最好引进辅助三角形，这样幅角一目了然，可以很清楚的将其用反三角函数表示。
复数的向量表示的优点：能将代数问题化为几何问题，从而使问题变的直观。注：
称为复数的三角不等式
2、欧拉公式，三角表示，指数表示：记复数的模、幅角分别为，显然有：从而，又可表示为：称为复数的三角表示
如：，则：所以，其三角表示为：例：已知求的三角表示解：注：由定义，求一复数的三角表示，只须求出其模、一个幅角即可
指数表示：来源：欧拉公式—三角、指数表示的优点：模、幅角一目了然。小结：复数的几种常见表示—坐标，向量，三角，指数
复数的球面表示：.zN..S.P复平面用如图所示的方法可建立复平面上的点与球面上的点之间的一种一一对应的关系，即这种方式称为复数的球面表示
3）化为实方程，为此代入，得化简，得，表示一直线4）关键：由得，代入直线方程，得因而可记为，其中为实数
例：设平面曲线c为其中t为实参数为其复数形式的参数方程，试分别写出直线，圆周，抛物线的复数形式的参数方程（简称复方程）解：直线抛物线圆周则称
练习：
下载地址：{{downurl}}
{{{a}}}
{{#b}}{{{b}}}
{{/b}} {{/title}} {{#nolog}}登陆注册
{{/nolog}} {{#djsx}}点我刷新
{{/djsx}} {{#gocz}} {{/gocz}} {{#ffqr}} {{/ffqr}}