页数：22页文件大小：420.1 KB来源： 复变函数与积分变换ppt课件
本课件先说明如何把拉氏逆变换化为留数计算，给出梅林反演公式与工程上常用的亥维赛得展开式；随后把卷积概念推广到拉氏变换并给出卷积定理；最后用拉氏变换求解积分方程、弹簧振子振动方程与微分方程组。
§3拉氏逆变换主要内容：介绍一种用留数计算拉氏逆变换的方法拉氏逆变换公式为：其中的积分是一无穷直线上的复变函数的积分。在一定条件下可化为留数计算：这一式子也称为梅林反演公式
cR。β。β-jR。β+jR.z2.z1.zn证明思路：如图，引进辅助半圆周，则路径闭合。然后呢？应用留数定理，令R→∞，并证明cR上的积分趋于0，由此便可得到结论。
需要特别指出的是：因而这类象函数的逆变换便可用上述公式求出。工程上称其为亥维赛得展开式真有理分式：分子、分母皆为多项式，且分母比分子次数高！
例：用梅林反演公式求下列有理分式的逆变换：解：1）
因此由反演公式及留数准则，有
§4卷积及卷积定理内容：将付氏变换中卷积的概念及结论平行推广到拉氏变换中在付氏变换中卷积的定义为：现在在拉氏变换的环境中考察，注意到：此时当自变量为负时，认为函数值为0，由此上式可表示为：这便是拉氏变换意义下的卷乘积一、概念
二、卷积定理同付氏变换一样，拉氏变换也有如下结论：两个象函数乘积的逆变换等于各自逆变换的卷乘积即：结论本身已反映出定理的作用：两个函数各自的逆变换知道了，由此便可求出乘积的逆变换！
如：已知练习：
§5拉氏变换在数学中的应用──求解微积分方程拉氏变换在线性系统分析中的应用，要涉及到激厉、响应、传递函数等专业术语，这在后面专业课中会详细讨论。下面举例说明它在数学中的应用：用拉氏变换求解微分（常微分，偏微分）方程、积分方程方法的原理在付氏变换中提到过：应用变换的微分、积分公式，将未知函数的微积分方程化为其象函数的代数方程，求解象函数，最后取逆变换便得到原方程的解！
例：解下列积分方程：解：本题关键是方程为卷积型的，即可表为：因此，两端取拉氏变换，记那么由卷积定理，得查表，得求解，得到象函数表达式为：
最后一步呢？取逆变换：f(t)m例：求解受外力的弹簧振子的振动方程：其中，未知函数x(t)表示位移注：1、为简单起见，这里没考虑阻力，否则方程为
解：方程两端同时取拉氏变换，并记：2、若水平方向又不受外力，则为简谐振动，方程为其解众所周知那么由线性关系及微分公式，有：解得：考虑：如何取逆？
改写，得：由此一来，由表：再由卷积定理，最终得到：
练习：求解方程组：解：方法、过程都很熟悉了：方程两端取拉氏变换，记
由微分、积分公式，得这是一关于X(s),Y(s)的线性代数方程组，求解，得最后取逆变换：因为是真有理分式，故此可用梅林反演公式化为留数计算
或者采用有理式分解为简单函数的方法：同理可得：
思考：分析积分变换求解偏微分方程的原理所在如：这里思路：方程两端对x取付氏变换，结果如何？偏微分方程问题化为常微分问题！
练习：用卷积定理证明：已知条件：
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