17 第十七次 复变函数部分内容.pptx

第1页：复变函数部分内容回顾

复变函数部分内容复数及其运算复变函数（极限，连续）微分（导数，解析）积分积分三大定理：柯西基本定理，柯西积分公式，高阶导数公式泰勒展式罗朗展式解析函数无限次可微留数理论

第2页：第二部分 积分变换

第二部分积分变换傅立叶积分变换（傅氏变换）拉普拉斯积分变换（拉氏变换）

第3页：积分变换的概念

简介1、何为积分变换：所谓积分变换，实际上建立了从一类函数f(t)到另一类函数F(w)的一种映射。变换（映射）前的f(t)称为原象函数变换（映射）后的F(w)称为象函数K(t,w)称为变换的核

第4页：积分变换的作用

2、积分变换的产生及作用：数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得到原问题的解！原问题原问题的解直接求解困难变换较简单问题变换后问题的解求解逆变换

第5页：变换思想的例子

如：初等数学中，曾经利用取对数将数的积、商运算化为较简单的和、差运算，再通过反对数便可得到原来要求的值。再如：解析几何中的坐标变换，复变函数中的保角变换，其解决问题的思路都属于这种情况！基于这种思想，为解决某些问题的需要，便产生了积分变换！其主要作用体现在：

第6页：积分变换的主要作用

• 数学上：求解常微分、偏微分方程的重要工具；能实现卷积与普通乘积之间的互相转化工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统分析的重要工具
• 3、积分变换的三个基本问题：
• 1）积分变换的定义
• 2）积分变换的性质
• 3）逆变换

第7页：常见积分变换

4、常见积分变换：拉普拉斯变换希尔伯特变换欧拉变换傅立叶变换本课程讨论前两种：拉普拉斯变换傅立叶变换

第8页：第一章 傅立叶变换

第一章傅立叶变换傅立叶变换是由傅立叶积分公式引出的§1傅立叶积分公式一、周期函数的傅立叶展开式（指数形式）：则在连续点处定可展成傅立叶级数：

第9页：傅立叶级数的指数形式

（间断点收敛情况如何？）其中：由欧拉公式：代入fT(t)表达式中，得

第10页：指数表达式

其中：称为傅立叶展式的指数表达式

第11页：非周期函数的展开

二、非周期函数的傅立叶积分公式：对于非周期函数f(t),可看成是一串周期函数的极限。方法如下：

第12页：非周期函数波形

f(t)

第13页：傅立叶积分公式

• 傅立叶积分公式：
• 1）在任一有限区间上满足狄里克莱条件
• 2）在（-∞，+ ∞）上绝对可积，即则有：称为傅立叶积分公式

第14页：公式成立的注解

注：1、同傅立叶级数展开一样，上面公式也仅在f(t)的连续点处成立！间断点处，左端应换为f(t)的左、右极限的平均值

第15页：三角形式的傅立叶积分公式

3、由欧拉公式，上式也可用三角函数表示：三角形式的傅立叶积分公式

第16页：傅立叶积分变换的定义

§2傅立叶积分变换一、

定义

上当f(t)满足一定条件时，有傅立叶积分公式将公式中的内、外两层积分视为两种互逆的运算，这就引出了傅立叶积分变换的概念：

第17页：正变换与逆变换

定义：f(t)——原象函数F(ω)——象函数若已知象函数，求原象函数，则称为逆变换。根据傅立叶积分公式，付氏逆变换应定义为：为了区别，前一式也称为正变换！

第18页：傅立叶变换对

• 注：
• 1、象函数F(ω)为一实变量复值函数
• 2、积分变换实际上建立了原象函数与象函数之间的一种映射，故此，也称f(t)、F(ω)构成一付氏变换对:
• 3、逆变换表达式也称为函数f(t)的（付氏）积分表达式！二者之间知道一个，便可求出另一个！f(t) F(ω)

第19页：求傅立叶变换例题

解：由定义（上限+∞代入为0！）

第20页：求积分表达式

再来求f(t)的积分表达式：

第21页：傅立叶变换练习

练习：已知由付氏变换定义变换的核，固定

第22页：求变换的方法说明

注：用定义求傅立叶积分变换不做过深的要求：一些简单的积分会计算即可；复杂情况下，被积函数的原函数不存在，此时须用围道积分法：即引进辅助线，化为闭合路径上的复变函数的积分！即复变函数的方法。正因为如此，为了方便，工程中一些常见函数的傅立叶变换可通过查表得到！如查表

第23页：非周期函数的频谱

二、非周期函数的频谱：由此的物理意义为F(ω)刻画的是频率为ω的成分所占的比重

第24页：频谱图

频谱图直观反映了各频率成分所占比重的大、小。的频谱函数为频谱为

第25页：频谱示意例

因此其频谱图为：ωo.2ω／a.4ω／a.6ω／a显然，ω越大，分解式中该成分的比例越小。