09 第九次 高阶导数公式,柯西积分公式.pptx

第1页：柯西积分公式与高阶导数公式

§4高阶导数公式,柯西积分公式cD称为高阶导数公式一、定理

第2页：定理表述

称为柯西积分公式cD称为高阶导数公式

第3页：定理的理论作用

二、定理在理论上的作用揭示了解析函数有以下特性：1.解析函数的导函数仍为解析函数，因而具有任意阶导数；2.解析函数在边界上的函数值可决定它在区域内部点的值；换言之：若两个解析函数在边界上相等，那么二者在区域内必恒等！

第4页：边界值决定内部值

证明:设二函数为f(z), g(z),在c上f(z)=g(z)考擦F(z)=f(z)－g(z),则在区域内

第5页：定理用于计算积分

三、定理在计算积分中的应用由定理，若f(z)在c内解析（无奇点），则c特别的柯西型积分

第6页：柯西型积分示例

如注：0

第7页：积分计算例题

解：

第8页：三定理结合求积分

例：柯西积分公式、高阶导数公式与复合闭路定理结合求积分。-1。0cc1c2解：首先检查被积函数的奇点情况，因此由复合闭路定理得路径内有两个奇点

第9页：

第10页：积分定理法小结

用定理求积分方法（积分定理法）小结：若被积函数在闭合路径内只有一个奇点z0，则将带奇点的项放在分母，其余项提到分子，化为再用柯西积分公式或高阶导数公式若被积函数在闭合路径内有多个奇点，则先应用复合闭路定理化为只有一个奇点的情况

第11页：含两个奇点的积分例题

。i。-icc1c2=0

第12页：积分例题演算

解：

第13页：方法局限性说明

注：显然并不是所有积分都能用上述方法求出！如：

第14页：调和函数的定义

• §6解析函数与调和函数之间的关系
• 一、定义
• 二、解析与调和的关系

第15页：

第16页：解析与调和关系注解

注：易证

第17页：共轭函数的解析性

答案：不能！若u+iv解析，则v+iu一定不解析！因为：

第18页：共轭调和函数的求法

三、共轭调和函数的求法

第19页：用C-R方程求共轭调和函数

由柯西-黎曼方程

第20页：求共轭调和函数法二

法二、先求柯西-黎曼定理，得任意纯虚数

第21页：

第22页：

第23页：

第24页：调和函数小结

• 小结：调和函数也是实际问题中的一类常见函数，如不可压缩的理想流体的速度势，静电场的电位，稳定状态下的热传导问题的温度等，皆为调和函数
• 1、调和函数的概念：即拉普拉斯方程的解要求掌握：
• 2、解析与调和的关系；共轭调和函数概念
• 3、共轭调和函数的求法（进一步，已知解析函数的实或虚部，要求解析函数）

第25页：第三章内容小结

• 本章内容小结：
• 一、复积分的概念、性质及基本计算方法——参数方程法
• 三、调和函数，解析与调和的关系，共轭调和函数的求法

第26页：共轭调和函数基本方法

• 基本方法：从柯西—黎曼方程出发，对其中一个两端积分，另外一个方程用于确定积分常数（函数！）其它方法：
• 1）复积分法：
• 2）线积分法：

第27页：求电场复势例题

例：已知一电场的电力线方程为：要求该电场的复势函数解：相当于已知

第28页：复势求解演算

对y积分，得

第29页：

第30页：

第31页：第三章内容小结（续）

• 本章内容小结：
• 一、复积分的概念、性质及基本计算方法——参数方程法
• 三、调和函数，解析与调和的关系，共轭调和函数的求法

第32页：代数基本定理简介

简介：代数基本定理及其证明背景：所谓代数基本定理，即：任一代数方程在复数范围内至少有一根。进而得到：n次代数方程在复数范围内有且仅有n个根。该结论最初是通过猜测的方式给出。早期，达朗贝尔、欧拉、拉格朗日都试图证明过，但后来发现都有缺陷。第一次对代数定理给出严格证明的是高斯，这就是1799年，高斯在哥廷根大学完成的著名的博士论文

第33页：刘维尔定理

整个定理的证明是代数与几何相结合，很复杂，也很难看懂。后来，人们陆续给出定理的其它一些证明方法，比如高斯一生给出四个证明（最后一个是1850年，已73岁）下面介绍一种复变函数证明法：关键是刘维尔定理：复平面上的有界整函数一定为常数所谓整函数指复平面上处处解析的函数刘维尔定理的证明：只需证明导数处处为0即可

第34页：刘维尔定理的证明

.z0RcR为此，任取z0,对任意大的R,在以z0为心半径为R的圆周cR上应用高阶导数公式，有：因对任意R都成立，故此令R→∞，有

第35页：代数基本定理的证明

代数基本定理的证明：反证：设方程其中pn(z)为多项式下面说明f(z)有界：首先另外，解析必连续，因而在闭区域必有最大模，即这样综合起来，在整个复平面上，

第36页：推出矛盾完成证明

这样由刘维尔定理，f(z)为常数，因而Pn(z)也为常数矛盾！