13 第十三次 罗朗级数.pptx

第1页：罗朗级数

• §4罗朗级数本节内容：
• 1、罗朗级数的概念、收敛情况
• 2、函数的罗朗展开式
• 一、罗朗级数概念、收敛域、和函数性质特点：含有负幂次项

第2页：罗朗级数的收敛域

罗朗级数收敛域:化为幂级数，从而：

第3页：罗朗级数和函数性质

和函数性质：罗朗级数的和函数在收敛圆环内解析，且可逐项积分、逐项求导综上所述，罗朗级数收敛域存在的话应为一圆环区域

第4页：罗朗展开定理

二、函数的罗朗展开定理（罗朗展开）：。z0

第5页：系数公式说明

注：系数公式为不能象泰勒公式一样化为高阶导数：因此罗朗展开可行的方法是间接展开,即借助泰勒公式，例如

第6页：罗朗展开例题一

解：展开点应为圆环的环心，即

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第8页：泰勒展式是罗朗展式特例

解：注：这里展式不含负幂次项，即为泰勒展式，为罗朗展式特例

第9页：避免级数相乘的技巧

为避免级数相乘，改写得同上题：间接法罗朗展开，依据的还是几个基本函数的泰勒展开式！

第10页：展开域与展开点

解题时注意展开域及展开点

第11页：常见错误与正确解法

展式不符合要求！正确解法：

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第13页：展开圆环示意

13o

第14页：按展开点讨论的例题

13o首先注意，展开点为z=0

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第17页：三种情况的讨论

注：上例说明，若问题最初要求则需要分上述三种情况讨论！

第18页：罗朗展开练习

• 练习：
• 1、上题
• 2、分两种情况：三种情况：

第19页：罗朗级数小结

• 本节内容小结
• 一、罗朗级数概念，收敛域，和函数性质
• 二、函数的罗朗展开定理（条件，系数公式）
• 三、间接法将函数展成罗朗级数注意问题的两种提法：
• 1）给出展开的圆环域
• 2）给出展开点（此时需讨论）

第20页：第四章内容小结

• 本章内容小结
• 一、常数项级数收敛概念及敛散性判别
• 二、幂级数阿贝尔引理，收敛半径，半径公式，和函数性质
• 三、泰勒展开定理，将函数展成泰勒级数
• 四、罗朗展开定理，将函数展成罗朗级数

第21页：用罗朗展式计算积分

练习：2)利用罗朗展式计算积分其中C-1为罗朗展式中负一次幂的系数，c为展开区域（圆环）中且围绕z0的闭合曲线用此法计算下列积分

第22页：积分计算示例

且围绕z=0故此将函数在上述圆环内展开：

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