页数：26页文件大小：761.7 KB来源： 复变函数与积分变换ppt课件
本课件开启留数理论，先界定孤立奇点并把它分为可去奇点、极点与本性奇点三类；随后系统归纳四种判别法：罗朗展开的定义法、考察极限、观察法以及考察倒函数零点阶数，并给出一批典型函数奇点类型的判别结果。
§1孤立奇点及其分类一、孤立奇点概念注：
皆为孤立奇点显然z=0非孤立奇点所有奇点皆非孤立!注：孤立奇点，首先应是奇点，其次还是孤立的!
二、孤立奇点分类1）可去奇点展式中不含负幂次项，即
注：本来z=0点无定义，显然，若补充定义，令,即由奇点变为解析点再如：Z=0为其可去奇点
2)极点展式中含有限负幂次项，即注：按定义，阶数指展式中负幂次的最高次数!
再如：3）本性奇点展式中含无穷多负幂次项或者说：不是可去奇点和极点的就都是本性奇点
三、孤立奇点分类判别法1、定义法即在奇点的去心邻域内将函数罗朗展开在奇点z=0处容易展开
2、考察极限在各类奇点处，函数的极限情况如下：
定理作用：比较适用于判别可去奇点及初步判别极点!如：由罗必塔法则，有极限方法无法判别极点阶数
补充：复极限的罗必塔法则:
3、极点的其它一些判别法关于极点还有下列一些专门性方法1）观察法因为此时将g(z)泰勒展开，则有
由上述结论：
2）考察倒函数的零点阶数z=0为2阶零点定理（极点与零点阶数关系）
定理将函数的极点问题化为倒函数的零点问题!定理（零点的求导判别法）证明：由泰勒展式系数计算公式从而z0为m阶零点
定理给出了判别极点阶数的又一有效方法：通过求导判别倒函数零点阶数!
1.z=0,为3阶极点2.z=1，为本性奇点3.z=2kπi，为1阶极点4.z=0，展开，展开，颠倒，求导，求极限，为可去奇点z=2kπi，为1阶极点颠倒，求导，5.z=0，颠倒，求导，为2阶极点z=kπ，k≠0,颠倒，求导，为1阶极点
3）辅助结论（间接法）mn
练习：证明罗必塔法则：
同理，对于右端导数比值，我们有：
比较，得：左=右因而结论成立。证毕
函数在无穷远点的性态内容：无穷远点为孤立奇点的概念及分类
注:也可通过直接罗朗展开而判别类型：（1）若展式中不含z的正幂次项，则无穷为可去奇点
（2）若展式中含z的有限个正幂次项，则无穷为极点（3）若展式中含z的无穷多正幂次项，则无穷为本性奇点无穷为本性奇点思考：无穷为孤立奇点时其类型与极限的关系如何？
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