页数：31页文件大小：846.6 KB来源： 复变函数与积分变换ppt课件
本课件系统讲解留数：先由闭曲线积分引出留数即罗朗展式中负一次幂的系数，给出留数定理；随后总结求极点处留数的三个准则，并通过例题对比展开法与准则法的用法；最后讨论无穷远点的留数及其计算方法。
（其中c为去心邻域内围绕z0的任一闭合曲线）§2留数本节内容：留数的概念；留数定理；留数的计算。一、留数概念.z0cr两端沿c积分
0由此得到：留数
函数在某一孤立奇点处的留数等于函数在该点的去心邻域内的罗朗展式中负一次幂的系数c-1注：可去奇点处的留数为0
思考：
二、留数定理c.z0留数定义说明：只要z0为f(z)的孤立奇点，则对于z0临近（c内只有一个奇点）且围绕z0的任一闭合曲线c，都有：若闭合曲线c内部有多个奇点c.z1c1.z2c2.zncn在c内，围绕每一奇点做小闭合曲线，则由复合闭路原理，c上的积分是各小闭合曲线上的积分值之和。
c.z1c1.z2c2.zncn留数定理：
留数定理的作用：给出了计算闭合曲线上积分的又一方法：留数法展开
三、极点处留数计算公式除了罗朗展开即定义法求留数外，求极点处的留数还有以下准则（公式）
准则1：特别地，
准则2：证明：的一阶极点，由此，由准则1，得
奇点为：满足准则3的条件，故此：练习：求留数或积分：
解：法一：故由准则2留数=
法二：应用定义，即罗朗展开并且注意，只关心c-1
分别为3阶、1阶极点，由极点处的留数准则，有：=0法二、留数法积分曲线内奇点：
用留数法，因：由留数定理
积分曲线内部奇点有3个：由准则3，所以I=
注意：z=0点不是6阶极点！展开法
二、函数在无穷远点的留数1、定义
注:无穷为可去奇点时,其留数不一定为0!
注意到：再由无穷远点留数定义及留数定理，立即得到：定理：若f(z)在扩充复平面上有有限个奇点，则f(z)在所有奇点（包括∞）处的留数值之和为0推论：函数在c外所有奇点处（包括∞）的留数值之和乘以
由此得到:
此题前面计算过，下面换一方法：
此题也可这样求留数：
练习：，求无穷处留数
=0（因为0为可去奇点）解：1.考察曲线外奇点留数:
法一、展开
法二、注：因此结果一致！
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