12 第十二次 函数的泰勒级数展开.pptx

第1页：函数的泰勒级数展开

§3函数的泰勒级数展开讨论如何将函数展成幂级数：级数展开的两个问题：1.展开的条件2.系数cn的计算

第2页：泰勒展开定理

并且展式的收敛半径为：一、泰勒展开定理

第3页：泰勒展开定理的作用

• 定理作用：
• 1、解决了幂级数展式的条件及系数计算问题
• 2、给出了一种求展式收敛半径的简单方法答案：可以

第4页：整函数与多项式

思考：实函数的实幂级数展开式一样（系数一致！）2）f(z)为整函数（处处解析），存在正整数n及实数则f(z)为一阶数不超过n的多项式提示：证高次幂系数为0！

第5页：系数计算公式的运用

1）关键是：2）由系数计算公式：

第6页：简单函数的幂级数展式

二、几个简单函数的幂级数展式

第7页：

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第9页：函数的间接展开

三、函数的间接展开通过恒等变形（加项、减项，同乘、同除，三角恒等式，有理式分解）；逐项积分；逐项求导的方法将要展开的函数化成几个展式已知的基本函数

第10页：逐项积分展开示例

逐项积分，得到（逐项积分、求导，收敛半径不变）

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第12页：展开与收敛域例题

解：收敛域

第13页：间接展开演算

解：

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第15页：展式合并化简

然后，合并、化简，得

第16页：用乘法运算展开

由幂级数乘法运算规则，

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第18页：泰勒展开练习

练习：1、幂级数展开，并求收敛半径最后R=2

第19页：练习题演算

应用乘法运算乘开，得

第20页：比较系数求解

比较系数，得解得：

第21页：泰勒展开小结

• 至此，我们得到本节内容小结
• 一、泰勒展开定理（函数展成幂级数的条件，系数计算公式，收敛半径）
• 二、几个简单函数的泰勒展式
• 三、函数的间接展开

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第25页：菲波那契数列简介

菲波那契（Fibonacci)数列简介：称为菲波那契数列（1228年意大利数学家菲波那契在他的《算经》一书中首次提到）应用背景：可用来描叙小兔的繁殖规律：假定每一对小兔一月之后长成大兔，再过一月又能生出一对小兔。然后小兔长大，又生小兔。照此下去，如果不发生死亡，那么由一对大兔子开始，以后各月兔子的对数为：

第26页：菲波那契数列与黄金分割

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…...恰为菲波那契数列与菲波那契数列密切相关的一个重要极限为：该极限可用高等数学证明。其含义表示：多年以后兔子对数的月增长率。注意：这是一黄金分割率菲波那契数列是一非同寻常的数列，自然、社会以及生活中的许多现象的解释，最后往往都归结到菲波那契数列上来。如蜜蜂的“家谱”，钢琴音阶的排列，

第27页：菲波那契数列与复变函数

• 树木的分枝。正因为如此，美国专门出版了一份《菲波那契季刊》，以登载它在应用上的新发现及有关理论。回到主题，介绍一下它与复变函数的关系：
• 1、cn是一有理函数的泰勒展式的系数
• 2、可求出cn的通项表达式

第28页：求通项表达式

这样，要求cn的通项表达式，展开即可：

第29页：比内公式

这一表达式最早是由法国数学家比内（Binet)通过其它方式求出的。