页数：28页文件大小：764.3 KB来源： 复变函数与积分变换ppt课件
本课件把留数理论用于实定积分：通过函数延拓与引进辅助半圆周，把三角函数有理式、有理分式与含振荡因子的三类实积分化为闭路径上的复积分，分别给出计算公式；并说明实轴上出现奇点时如何用小圆周挖掉奇点。
§3留数在计算定积分中的应用本节内容：考察三种类型的实函数的定积分的计算方法：通过函数延拓、引进辅助线的方法将实函数的定积分问题化为闭合路径上的复变函数积分，从而可用留数法
后构成的函数，也称为三角函数有理式,如：
由欧拉公式：将上式代入原积分，得：从而化成了闭合路径上的复积分，而后者可用留数计算
用留数法：代入积分，并注意到
下面用留数法计算化成的复积分：首先求被积函数在c内的奇点：
且分别为二阶、一阶极点。因此由留数准则：
练习：
由此：
该类积分有意义（广义积分收敛）的前提条件：分母的阶数至少要比分子的阶数高二次！
xy-rrcr.z1.z2.zn如图所示，引进以原点为心，半径为r的辅助上半圆周cr则cr与实轴上的区间(-r,r)构成闭合路径。对其应用留数定理，得：令,左端第一项的极限便是我们所要求的。对于左端第二项的极限，我们有：
引理：证明：对积分值进行估计即可
综上所述，我们得到：其中zk是R(z)位于上半平面内的所有奇点！注：下半平面的奇点不考察
其中zk是R(z)位于上半平面内的所有奇点！注：下半平面的奇点不考察
解：由对称性：（被积函数偶）位于上半平面的奇点:,且为一阶极点
至此得到：
练习：解：由对称性：奇点情况:K=0,1,2,3
计算得：位于上半平面的两个！z1, z2由留数准则3：
最后有：
适用于下面类型定积分：首先，为保证广义积分收敛，R(x)分母次数应比分子至少高一！同第二种类型一样，通过函数延拓、引进辅助半圆周，得到一个闭合路径（圆周加区间）上的复变函数的积分，然后取极限（令半径趋于无穷），并且可证明：
这里的求和仍是对R(z)的上半平面内的所有奇点进行的！注：
例：计算解：相当于：
小结：三种类型的定积分的计算方法（公式）：
以上讨论的积分，要求有理分式R(x)在实轴上没有奇点（即分母不为0）。若R(x)分母为0呢？此时复变函数R(z)在闭合的积分路径上有奇点，因而不能直接应用留数定理。对于这种情况，我们的处理方法是：做辅助小圆周挖掉奇点！例：xy-rrcr-hhch同第三类型，先考察积分如图所示，引进辅助小半圆ch在所示闭合路径（红色）上应用留数定理，得
（因闭合路径内被积函数无奇点！）下面我们取极限，令：（在实轴上，z=x）则：（前面的结论！）下面考察最后一项：
注意ch为半圆，故此用参数方程法可计算出：（负号是由顺时针产生的！）再注意到g(z)在原点临近有界，所以：
至此，我们得到：
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