19 第十九次 卷积与卷积定理.pptx

第1页：卷积与卷积定理

§4卷积与卷积定理卷积(convolution)又称褶积，是积分变换中的一个重要概念，这一运算在实际问题如线性系统分析中有着重要应用下面着重介绍卷积概念与卷积定理：一、卷积概念实际问题中，经常会遇到这种类型的积分运算：

第2页：卷积的运算性质

• 注：
• 1、卷积是两个函数间的一种运算，结果仍为函数
• 2、卷积满足交换律，即：证：

第3页：卷积计算例题

解:由定义

第4页：卷积计算练习

解：

第5页：卷积定理

二、卷积定理卷积在积分变换中的应用主要体现在卷积定理上：两个象函数乘积的逆变换等于各自逆变换的卷乘积同理也有：两个原象函数乘积的变换等于各自变换的卷乘积（再乘）

第6页：卷积定理的证明

卷积定理的证明：以第二个式子为例：从右端出发，考察其逆变换：

第7页：卷积定理的作用

• 卷积定理的作用：
• 1、实现卷积与普通乘积之间的互相转化。如卷积运算不是很容易，因而可化为普通乘法
• 2、两个函数各自的变换知道了，那么便可由此求出二者乘积的变换

第8页：卷积定理应用例题

• 例：证明解：
• 1）证明很简单
• 2）下面求变换：由卷积定理，有

第9页：卷积例题注解

• 注：
• 1、刚才最后一步应用了一个前面未介绍的公式：
• 2、若此时有即前面的积分公式

第10页：用卷积求解微分方程

练习：求解常微分方程从而将未知函数的常为微分方程化为其象函数的代数方程。求解，得最后，取逆变换，并应用卷积定理，得：

第11页：乘积定理与能量谱密度

三、傅立叶变换的其它一些术语、结论：1、乘积定理，能量谱密度

第12页：乘积定理的含义

称为乘积定理由此，乘积定理表明：傅立叶变换保持内积不变（在相差一常数因子意义下）特别地，当二函数相等时，有以下推论：

第13页：巴斯瓦等式

称为巴斯瓦等式由此巴斯瓦等式又表明：傅立叶变换保持能量不变

定义

称为f(t)的能量谱密度

第14页：相关函数

2、相关函数及与能量谱密度的关系注：定义与二函数的顺序是有关：相关函数和能量谱密度都是频谱分析中的重要概念，而且二者之间还有如下关系：

第15页：用巴斯瓦等式求积分

最后简单提一下，我们可借助能量积分计算某些广义积分，其原理是巴斯瓦等式：

第16页：查表求变换示例

首先查表得：

第17页：傅立叶积分变换小结一

• 傅立叶积分变换内容小结
• 一、概念、术语傅立叶积分变换（正变换，逆变换）；原象函数，象函数；δ函数（单位脉冲函数）；卷积；频谱函数；能量谱密度*，相关函数*
• 二、公式、定理傅立叶积分公式；δ函数性质；傅立叶积分变换性质（线性，微分公式，积分公式，位移公式）

第18页：傅立叶积分变换小结二

卷积定理；乘积定理*；能量谱密度与相关函数的关系*三、基本运算用定义直接求简单函数的傅立叶变换用积分变换的性质、卷积定理并结合变换表间接求稍复杂些函数的变换积分变换求解微分方程

第19页：傅立叶变换练习

• 练习：
• 3、用间接法求：
• 4、求积分方程