05 第五次 初等函数.pptx

第1页：复指数函数

§3初等函数本节内容：介绍复变函数中的五类基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数一、指数函数

第2页：复指数函数的性质

2、性质：由定义，复指数函数有以下特性：

第3页：与实指数函数的比较

以上三条性质与实指数函数相同

第4页：指数函数的映射特性

例：指数函数映射特性：故此,指数函数具有这样的映射特性：将水平直线映成原点出发的射线；将水平带形域映成顶点在原点的角形域。水平直线原点出发的射线

第5页：复对数函数

wzzw二、对数函数即对数函数是指数函数的反函数。思考：垂直直线被映射成什么曲线？

第6页：对数计算公式

对数计算公式:

第7页：对数主值与多值性

• 注：称为对数主值，记为
• 1)复对数有无穷多值,特别地,当时
• 2)的定义域为即对任意非0复数都有定义!(包括负实数)主值：主值：

第8页：

第9页：对数函数的运算公式

3、性质1）运算公式

第10页：对数函数的解析性

故此左端比右端元素多2）解析性对数函数在复平面上去掉原点和负实轴后剩下部分上解析，且

第11页：对数函数的奇点

函数的奇点为：

第12页：由对数公式的推演

进一步，由对数计算公式

第13页：乘幂与对数的关系

且

第14页：一般幂函数的注解

• 注：
• 1）这里讨论的是一般的幂函数，前面的zn属于特例
• 2)可证,前面求根公式中的与这里的一致!

第15页：

第16页：

第17页：复三角函数的定义

四、三角函数，双曲函数由此，我们定义复三角函数如下：

第18页：三角函数的性质

2、三角函数性质

第19页：

第20页：三角恒等式

5）三角恒等式

第21页：

第22页：

第23页：反三角与反双曲函数

五、反三角函数，反双曲函数注:三角函数、双曲函数都是通过指数函数来表示的，故此，它们的反函数最终都可通过对数函数表示!

第24页：反函数的显式表达式

用同样的方法可以得到其它反三角函数及反双曲函数的显式表达式。注意:最终都是通过对数函数表示的。

第25页：

第26页：

第27页：初等函数小结

本节内容小结五类基本初等函数的定义、性质（解析性，运算公式）指数，对数，复乘幂，三角，反三角

第28页：初等函数练习

练习：

第29页：第二章内容小结

• 本章内容小结：
• 1、解析概念，与可导的关系
• 2、解析的判别：C-R定理
• 3、五类基本初等函数