11 第十一次 级数.pptx

第1页：第四章 级数

• 第四章级数主要内容：
• 1、复常数项级数及其敛性
• 2、幂级数及其收敛半径
• 3、函数的泰勒展开
• 4、函数的罗朗展开

第2页：复数列的极限

§1复数项级数一、复数列的极限数列极限的描叙性

定义

数列极限的ε-N定义：

第3页：复数列与实数列收敛关系

定理一（复数列与实数列的收敛性关系）：

第4页：复级数的收敛性

二、复级数及其收敛性

第5页：复级数敛散性判别法

• 复级数敛散性的判别可问题化为相应的实级数问题！常见实级数敛散性判别法：
• 1）正项级数比较法：
• 2）正项级数比值法（达朗贝尔判别法）大的收敛，小的也收敛；小的发散，大的也发散收敛发散
• 3）正项级数根值法

第6页：莱布尼兹判别法

4）交错级数的莱布尼兹判别法:则收敛

第7页：比值法判别示例

发散（因一般项不趋于0）绝对收敛用比值法，前者发散，后者收敛，故此二者之和发散

第8页：分离实虚部判别

对于级数本身，分离一般项实、虚部，得

第9页：交错级数收敛判定

由莱布尼兹判别法知，收敛

第10页：发散级数判定示例

复级数敛散性判别：发散

第11页：幂级数与阿贝尔定理

§2复幂级数一、概念及阿贝尔定理本节内容：幂级数收敛半径概念、半径公式、及幂级数和函数性质

第12页：阿贝尔定理

阿贝尔定理：级数皆收敛且绝对收敛级数皆发散z0收敛点0.xyz0发散点.yx

第13页：阿贝尔定理的几何说明

以原点为心，过收敛点作圆周，则圆内点皆收敛且绝对收敛以原点为心，过发散点作圆周，则圆外点皆发散思考：

第14页：收敛半径的概念

二、幂级数收敛半径概念由阿贝尔定理：过收敛点圆周里面的都（绝对）收敛，过发散点圆周外面的都发散即：存在一由此说明:幂级数的收敛点构成的集合必定是一个圆域0R

第15页：收敛域为何是圆域

0上述结论可以这样说明:设想若收敛域不是圆域，会出现什么矛盾？此时边界上的点到原点不等距，必然会出现某个发散点比某个收敛点到原点距离近的情况，矛盾！散敛

第16页：收敛圆盘的直观解释

收敛发散直观上发散点集以圆周的形式由远处逐渐往里收缩；收敛点集以圆周的形式从原点开始逐渐往外扩大；二者最终唯一的分解线就是圆周！

第17页：收敛圆盘与收敛半径

幂级数的收敛点集构成一圆盘区域，称为收敛圆盘，称圆盘的半径为收敛半径注：收敛圆盘内部级数（绝对）收敛，外部级数发散在半径为R的圆周上0xyR可能收敛，也可能发散!

第18页：部分和法求收敛性

解：考察部分和：

第19页：收敛性思考题

思考：

第20页：收敛半径公式

三、收敛半径公式

第21页：求收敛半径例题

例：求下列幂级数的收敛半径

第22页：收敛半径计算结果

所以R=1

第23页：用根值法求收敛半径

练习：求收敛半径所以R=所以R=根值法

第24页：幂级数的运算

运算规则：即用第一个幂级数的每一项乘第二个级数，然后合并同次幂系数四、幂级数运算，和函数性质幂级数运算：加、减、乘。

第25页：和函数的性质

定理（和函数性质）：2）在收敛圆盘内可逐项求导、逐项积分，即

第26页：级数与幂级数小结

• 本节内容小结
• 一、复常数项级数
• 1）收敛、发散的概念
• 2）与相应实级数敛、散性的关系
• 3）敛散性判别法：间接：化外实级数直接：考察一般项极限；考察绝对值级数
• 二、幂级数
• 1）阿贝尔引理
• 2）收敛半径概念，收敛半径公式
• 3）幂级数的运算，和函数性质解析性，逐项求导，逐项积分）

第27页：幂级数判断题

• 练习：
• 1、判断：
• 1）每一幂级数在收敛圆周上处处收敛
• 2）幂级数和函数在收敛圆内可能有奇点
• 2、
• 3、设皆收敛