03 第三次 复变函数.pptx

第1页：复变函数的概念

§5复变函数本节内容：介绍复变函数、复映射的概念1、复变函数：即两个复变量w,z之间的一种对应关系，给复变量z一个值，复变量w总有确定的值对应。函数关系记为复变函数又可表示为：，故此,注：记复数w的实、虚部分别为u,v,再注意到即用一对实的二元函数表示，u,v分别称为函数的实、虚部

第2页：复变函数的表示

如:思考：复变函数如何用复数z表示？方法为：代入

第3页：映射的概念

2、映射：映射是现代数学中的一个常用概念ABab。。

定义

若对集合A中的任一元素a，按某种对应关系总有集B中的元素b相对应，则称是集合A到集合B的一个映射，记为，a、b分别称为映射的原象点和象点

第4页：复变函数的映射性质

注：按定义，所有函数，无论实的还是复的，无论一元还是多元，都可认为是一种映射——从定义域到值域的映射例：1、考察的映射性质解：记原象点，则象点因此，象点与原象点相比，模是原来的平方，幅角是原来的二倍，这样不难发现，这一映射有这样的特性：特别的，复变函数是从复平面上的一个点集到另一点集的映射，由此可揭示复变函数在几何方面的特性

第5页：角形域的映射

oxy(z)ouv(w)将顶点在原点的角形域映成角形域，只不过夹角扩大为二倍。

第6页：象限与单位圆的映射

将z平面第一象限映成w平面一、二象限zwzw将单位圆映成单位圆z

第7页：复变函数与坐标变换

注：每一复变函数同时也代表一个坐标变换据此我们可以讨论它把z平面上的一条曲线映射成w平面上的何种曲线

第8页：曲线映射为例一

例：解：即表示w平面上的一条抛物线答案为：

第9页：曲线映射为例二

例：函数把z平面上的曲线映成w平面什么曲线?解：代入x=1,得即消去参数，得表示圆周

第10页：旋转特性的思考

思考：有什么映射特性？W。。z解：则表示旋转

第11页：复变函数的极限

§6复变函数的极限和连续性本节内容：复极限、连续的概念，运算，与实极限、连续的关系一、极限1、概念：描叙性

定义

若时，则称A为时的极限，记为定义：若，总存在，使得当

第12页：复极限与实极限的关系

2、与实极限关系定理的作用：将复变函数的极限问题转化为高等数学中已经解决了的实极限问题，如

第13页：极限运算法则与连续性

• 3、极限运算法则
• 二、连续
• 1、概念：
• 2、与实函数连续的关系

第14页：连续性法则与小结

• 3、连续性法则定理
• 4、连续函数的和、差、积、商(分母不为
• 0)仍是连续函数小结：
• 1）解决了复函数的极限、连续性问题，方法是化为实问题
• 2）常见函数连续性：幂函数、多项式处处连续，有理分式除分母为零外连续

第15页：第一章内容小结

内容小结复数的乘幂、方根运算1.邻域，区域，单连通，多连通，简单曲线2.复变函数及映射概念3.复变函数的极限、连续概念及与相应实问题的关系；极限、连续性法则

第16页：课堂练习

课堂练习：

第17页：练习题解答思路

解：关键求出xn,yn,为此，有

第18页：

第19页：练习题答案·椭圆

因而是一椭圆

第20页：极限不存在的判定

先分析一下其变化趋势：这说明什么？沿不同的直线，极限也不一样所以极限不存在

第21页：三点共线示意页

z1z2z3w1w2w3

第22页：求根与不等式推导

所以右半不等式显然也成立所以再倒推回去即可求根简单：共有n个

第23页：根之和为零的证明

证明根之和为0，直接相加不方便，简单的方法为：然后呢？比较两端n-1次幂的系数！由此还可看出，n个根的乘积为（-1)n+1当然，此题完全可化为实问题，然后用中学方法下面采用复变的方法。z1。z2。z3关键是：三点共线的条件是什么？

第24页：三点共线的复数表示

。z1。z2。z3如何用复数表示这一条件呢？二者幅角之差应为：实数确为实数

第25页：三角形相似的判定

z1z2z3w1w2w3等式说明：所以表示二三角形相似！

第26页：常见公式的复数表示

9、（中学）几个常见公式的复数表示：平移旋转过两点直线的参数方程：注：上述条件也可简单地表示为：