页数：28页文件大小：730.6 KB来源： 复变函数与积分变换ppt课件
本课件先由点电荷密度、冲激电流与瞬时冲击力引出δ函数，给出其定义、选择公式与频谱；随后说明绝对可积条件过强，引出广义傅立叶变换与单位阶跃函数；最后系统介绍傅立叶变换的线性、微分、积分与位移公式及其证明与应用。
三、单位脉冲函数（δ函数）及其傅立叶变换单位脉冲函数在数学上也叫δ函数。历史上首先是由物理学家狄拉克在量子力学中引进的，此后在经典物理及工程技术中也被广泛地采用！δ函数的产生与“点源”有着密切的联系：例如：1）点电荷的密度问题：。x0x+q在x轴上的x0点放置一点电荷，因为质点的体积非常小，所以系统的电荷密度ρ(x)可以认为在x0点无穷大，其它点处为0！
2）突变电路中的电流强度：R+q电流为0的电路中，t0时刻突然冲入电量为q的电荷，在t0时刻为无穷大，其它时刻为0！3）张紧弦线所受的瞬时冲击力：K两端张紧的弦线在t0时刻突然受到一冲击，冲量K
同样原因，弦线所受的冲击力F(t)在t0时刻为无穷，其它点处为0！小结：以上三个问题有个共同点：所考察的物理量都不是连续变化的，而是集中在某一点或某一瞬时时刻，或者说在某点处具有脉冲性质。为了描述这类函数，我们引进δ函数：
引进δ函数的概念之后，上述三个物理量便可分别描叙为：
注意：δ函数不是普通意义下的函数，比如它在某点处取值为无穷，说明不能理解为逐点定义的函数；另外，用高等数学的观点看，这个函数也是不可思议的因为按照定积分的定义，δ函数的积分不可能为1.用分割、近似、求和、取极限的方式发现，只要ξi不取x0，则积分值应为0！δ函数的积分不是用分割、求和、取极限的方式定义的.不能用高等数学中的方法计算！称δ函数的积分是一种非寻常意义下的积分！
定理（选择公式）：特别的：
例：δ函数也叫单位脉冲函数，是电子技术中的常见函数之一。试求其频谱函数（即付氏变换）核,固定
四、δ函数引出的广义傅立叶变换函数f(t)能取傅立叶积分变换的前提条件是它首先应绝对可积，即这个条件非常强，它要求f(t)在无穷远点必须快速趋于0，因而一些常见的函数都不满足这一点，如较强的条件使得傅立叶变换的应用受到限制。为克服这一缺陷，我们对积分的含义做如下推广：
视傅立叶积分变换中的积分与δ函数的积分意义相同，即视为一种非寻常意义下的积分（广义函数的积分），则称其为广义付氏变换！这样，一些本来在绝对意义下傅立叶变换不存在（积分发散！）的函数，积分意义推广后，可以取广义付氏变换。
如，称为单位阶跃函数可以证明：注：按高数的方法，积分代入上限，发散！上述积分就是所谓的“非寻常意义”下的积分，不能用牛顿-莱布尼兹公式计算。因此，u(t)的变换就是“广义付氏变换”今后不加区别，广义付氏变换仍称为付氏变换！（方法是考察逆变换）
再如，所以由此推出
2.单位阶跃函数u(t)也叫Heavside函数，它与δ-函数有着密切的联系：
§3傅立叶变换的性质为了能更好的用傅立叶变换这一工具解决各类实际问题，应当熟练掌握它的一些基本性质。本节介绍一下几条：线性关系，微分公式，积分公式，位移公式一、线性关系：傅立叶变换是一种线性运算，即：k为常数
上述性质可统一为：二、微分公式：所谓微分公式，即给出了导函数的变换与原函数的变换之间的关系：（微分公式）微分公式的作用：建立了函数与其导数的付氏变换之间的关系，这是傅立叶变换求解微分方程的基础。
证明：以n=1为例：n=2时只需分步积分两次即可，进而可证明对一般的n结论也成立。
三、积分公式：与微分公式相应地，有：证明：由变上限函数导数公式同除jω，即得到积分公式。
例：求解下面积分微分方程：
解方法：从而将未知函数x(t)的微分积分方程化为其象函数X(ω)的代数方程.求解X(ω)，得：方程两端取付氏变换原理：变换后可消除原来方程中的未知函数的导数，积分，从而将微积分方程化为代数方程
取逆变换
四、位移公式：所谓位移公式即指原函数的变换与其位移函数的变换之间的关系：（原象函数位移）（象函数位移）
证明：由定义另一个可类似证明
思考：已知
n=1证毕。同理可证其它情况。两端求导便得到象函数微分公式
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