18. 轴向分散模型.doc

第1页：轴向分散模型概述

本部分主要介绍了轴向分散模型及其用于一级不可逆反应时的求解方法。

学习要求

掌握轴向分散模型参数 E_z 或 Pe 所代表的含义，及不同条件下模型参数的计算方法，掌握利用轴向分散模型计算实际反应器中一级不可逆反应的计算。

为了模拟返混所导致的影响，在平推流模型的基础上叠加轴向分散项，即得轴向分散模型。

第2页：模型方程与Peclet准数

对微元作示踪物衡算，整理得：

∂C_A/∂t = E_z ∂²C_A/∂l² − u ∂C_A/∂l

应用无因次量 C = C_A/C_A0，θ = t/t̄（t̄ = V/v₀ = A L/u），Z = l/L，得：

∂C/∂θ = (E_z/(uL))·∂²C/∂Z² − ∂C/∂Z = (1/Pe)·∂²C/∂Z² − ∂C/∂Z

其中 Pe = uL/E_z 为匹克莱（Peclet）准数，是唯一的模型参数：Pe↑，轴向返混↓。

E_z 方程中的初始条件和边界条件依反应器进出口与测量位置的不同而分为开开式、闭式、开闭式等，需按实际情况选取。

第3页：开开式边界条件的解

初始与边界条件为：Z = −∞，θ ≥ 0 时 C = 1.0；Z = +∞，θ ≥ 0 时 C = 0。求解得：

E(θ) = [1/√(4π(E_z/(uL))θ)]·exp{−(1 − θ)²/[4(E_z/(uL))θ]}

F(θ) = C = ½{1 − erf[(1 − θ)/√(4(E_z/(uL))θ)]}

其中 erf 称为误差函数，其定义为 erf(y) = (2/√π)∫₀^y e^−x2 dx。

第4页：模型参数的求取

由 E(θ) 和 F(θ) 曲线（图3 开开式边界条件的停留时间分布曲线）可看出：E_z/(uL) 很小时轴向分散小，近似平推流；E_z/(uL) 大则接近于全混流。因此，Pe 或 E_z/(uL) 是表征管内流体轴向分散程度的参数。

对于轴向分散程度小的情况（E_z/(uL) < 0.01），应用 E 曲线的最大值 E_θ,max 或拐点 E(θ)_inf 的横坐标求取模型参数；对于分散程度大的情况，则由实验测得停留时间分布的方差 σ_θ² 按 σ_θ² = 2(E_z/(uL)) 等关系反算。

第5页：闭式边界与一级反应

对于闭式反应器，边界条件为：z = 0（l = 0）处 u C_A0 = u C_A − E_z(dC_A/dz)；z = 1（l = L）处 dC_A/dz = 0。

对 n = 1（一级不可逆反应）时，有：

C_A/C_A0 = 4α exp(Pe/2)/[(1 + α)² exp(α Pe/2) − (1 − α)² exp(−α Pe/2)]

即 1 − X_A = …，其中 α = √(1 + 4k τ (E_z/(uL)))。

小结：轴向模型唯一的模型参数为 Pe = uL/E_z（或 E_z/(uL)），其值越大越接近平推流，越小越接近全混流。

源文件该页公式为抽取后的字符混排形式，上式按标准教材写法整理，符号含义与源文件一致。

第6页：自测题：出口转化率预测

自测题：在一闭式反应器入口输入理想脉冲示踪物后，其出口响应结果如下表所示：

现有某液相反应物 A 在该反应器中进行分解反应，速率方程为 −r_A = k C_A，k = 0.25 min⁻¹，若用轴向分散模型预测，该反应器的出口转化率为多少（闭式边界条件）。

表中数据由源文件表格整理还原：时间列与浓度列一一对应，共 8 组数据。